Cours d'analyse de l'école polytechnique: 3, Theorie des equations. 2 Equations aux derivees partielles. Equations integrales. Calcul des variations
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
DU TOME 111 (FASCICULE II).
Pages.
Avertissement v
QUATRIÈME PARTIE
Théorie des équations.
FASCICULE II.
Équations aux dérivées partielles.
Équations intégrales. Calcul des variations.
Chapitre VI.
Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
1. Avertissement i
2. Équations aux dérivées partielles linéaires scalaires du premier ordre i
3. Interprétation géométrique. Caractéristiques. Problème de Caucliy. Intégrales
singulières 4
4. Équations générales du premier ordre à deux variables indépendantes i
5. Intégrales complètes iS
G. Méthode de Lagrange et Charpit ¦ $
7. Méthode de Lie ?.6
8. Systèmes de Pfafï l o,
9. Équations aux dérivées partielles du premier ordre à n variables indépendantes. : 3
10. Équations simultanées «j
11. Systèmes complets. Systèmes en involution 42
12. Cas des systèmes linéaires 4 i
Exercices et compléments 4
Chapitre VII.
Généralités sur les équations aux dérivées partielles. Caractéristiques.
1. Systèmes d équations aux dérivées partielles à plusieurs fonctions scalaires
inconnues 5o
1. Théorème d existence de Cauchy-Kovalevskaya 55
3. Caractéristiques 6o
4. Questions d unicité 65
5. Stabilité. Problèmes raisonnables 67
6. Solutions généralisées l 9
Exercices et Compléments 72
5 4 TABLE DES MATIERES.
Chapitre VIII.
Equations aux dérivées partielles du second ordre. Généralités.
Paies.
1. Eléments de contact intégraux. Caractères, genre de certains systèmes diffé¬
rentiels extérieurs ~
2. Caractéristiques des équations aux dérivées partielles scalaires du second ordre
u deux variables indépendantes 78
3. Kqualions de Monge-Ampère 80
1. Intégrales intermédiaires 8li
. Équations aux dérivées partielles du second ordre à une inconnue scalaire et
à trois variables indépendantes .r , x-, x3 y. Caractéristiques 92
Ci. Caractéristiques dans le champ réel et propagation par ondes 98
7. Fronts d ondes. Construction de Huyghens 100
Exercices et comjtféme/ifs 107
CiiApitre IX.
Equations aux dérivées partielles hyperboliques du second ordre.
1. Itemarqucs sur les équations complètement linéaires. Indications sur les types
de problèmes qu on rencontre en Physique mathématique nti
2. In théorème d existence 119
3. Méthode de Riemann 124
i. Equation des télégraphistes 127
5. Equation des ondes i31
fi. Hayonnement 1 4
7. Partie finie d une intégrale i4 5
S. Séparation dis variables. Usage de la transformation de Fourier i4S
9. Cordes vibrantes 1 - 6
10. Plaques vibrantes i(î
11. Opérateurs de Heaviside. Composition des distributions 164
12. Application de la transformation de Laplace 177
13. Indications sur les méthodes numériques d intégration approchée i8.
Exercices et compléments 18G
Chapitre X.
Fonctions harmoniques. Potentiel newtonien.
Équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre.
1. Avertissement et introduction 19¦
2. Théorème de la moyenne. Principe de l extrémum 198
3. Existence des dérivées partielles de tous les ordres. Égale continuité des
fonctions harmoniques également bornées 2o;i
4. Intégrale de Poisson. Analylicite 20.Ï
5. Familles de fonctions harmoniques 209
0. Problème de Dirichlet. Cas du cercle. Applications :• 13
7. Fonction de Green ¦.!•_ !
8. Mesures harmoniques 224
9. Fonctions sous-harmoniques -•-.!.
10. Existence de la solution du problème de Dirichlet ^
11. Fonctions harmoniques à plus de deux variables 53
TABLE DES MATIERES. 541
Pages.
12. Potentiel newtonien de volume 247
13. Potentiel de simple couche 2)4
14. Potentiel de volume polarisé 262
15. Potentiel de double couche 265
1G. Équations complètement linéaires du type elliptique 269
17. Méthode numérique pour le calcul approché de la solution du problème de
; Dirichlet 277
Exercices et compléments , 279
Chapitre XI.
Équations aux dérivées partielles paraboliques du second ordre.
1. Généralités. Solution élémentaire 295
2. Principe de l extrémum. Problème aux limites 1 298
3. Propriétés des fonctions caloriques 3oo
4. Fonctions caloriques analytiques 3o5
5. Intégrales analogues au potentiel 307
6. Intégrale de Poisson. Phénomènes irréversibles in
7. Solution du problème aux limites I dans un premier cas particulier 3i5
8. Solution du problème aux limites I dans un autre cas particulier 3irj
9. Fonctions sous-caloriques. Examen du problème aux limites I dans le cas général. 3j-i
Exercices et compléments 3^7
CHAriTRE XII.
Equations intégrales.
1. Opérations complètement continues 33.1
2. Inversibilité de certains endomorphismes 3 (O
3. Spectre et résolvante des endomorphismes complètement continus, limites
d endomorphismes euclidiens 43
4. Equations de Fredholm 347
f . Noyau résolvant 35o
G. Déterminants de Fredholm 362
7. Equations de Volterra 165
8. Noyaux liermiliens. Étude dans L- 367
9. Noyaux hermitiens. Étude dans l espace des fonctions continues H7.
10. Noyaux de Schmidt
H. Remarques 391
12. Noyaux singuliers 4 11
13. Applications aux équations diliérentielles 4°2
-* 11. Applications aux équations aux dérivées partielles 41 r
Exercices et compléments 42S
Chapitre XIII.
Calcul des variations.
1. Position du problème 4î|
2. I.emme sur les fonctionnelles semi-continues 4 4°
3. Extremums fort et faible 4 l2
4. Equation d Eiiler. Extrémales. Conditions de transversalité. Problèmes iso-
périmétriques 444
542 TABLE DES MATIERES.
Pâtes.
5. Cas particuliers. Exemples 4 4
6. Forme paramétrique |C
7. Variation première d une intégrale double 4^2
8. Conditions de Weierstrass et de Legendre 4(i i
9. Condition de Jacobi 167
10. Champ d extrémalcs. Intégrale de llilbert 171
11. Conditions suffisantes pour l extrémum 17 !
12. Application « quelques exemples Ji7(
13. Sur la semi-continuité des intégrales 1S2
11. Existence de l extrémum. Hetour à l équation d Euler 488
15. Méthode directe et résolution du problème de Dirichlet l9
lfi. Problème de Plateau m-
Kxercices et compléments 11(1
Inukx )).
Fin de la table des matières du fascicule II du tome III.
|
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TABLE DES MATIÈRES
DU TOME 111 (FASCICULE II).
Pages.
Avertissement v"
QUATRIÈME PARTIE
Théorie des équations.
FASCICULE II.
Équations aux dérivées partielles.
Équations intégrales. Calcul des variations.
Chapitre VI.
Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
1. Avertissement i
2. Équations aux dérivées partielles linéaires scalaires du premier ordre i
3. Interprétation géométrique. Caractéristiques. Problème de Caucliy. Intégrales
singulières 4
4. Équations générales du premier ordre à deux variables indépendantes i
5. Intégrales complètes iS
G. Méthode de Lagrange et Charpit ¦ $
7. Méthode de Lie ?.6
8. Systèmes de Pfafï l o,
9. Équations aux dérivées partielles du premier ordre à n variables indépendantes. : 3
10. Équations simultanées «j
11. Systèmes complets. Systèmes en involution 42
12. Cas des systèmes linéaires 4 i
Exercices et compléments 4
Chapitre VII.
Généralités sur les équations aux dérivées partielles. Caractéristiques.
1. Systèmes d'équations aux dérivées partielles à plusieurs fonctions scalaires
inconnues 5o
1. Théorème d'existence de Cauchy-Kovalevskaya 55
3. Caractéristiques 6o
4. Questions d'unicité 65
5. Stabilité. Problèmes raisonnables 67
6. Solutions généralisées l 9
Exercices et Compléments 72
5 4 TABLE DES MATIERES.
Chapitre VIII.
Equations aux dérivées partielles du second ordre. Généralités.
Paies.
1. Eléments de contact intégraux. Caractères, genre de certains systèmes diffé¬
rentiels extérieurs ~\
2. Caractéristiques des équations aux dérivées partielles scalaires du second ordre
u deux variables indépendantes 78
3. Kqualions de Monge-Ampère 80
'1. Intégrales intermédiaires 8li
" . Équations aux dérivées partielles du second ordre à une inconnue scalaire et
à trois variables indépendantes .r', x-, x3 y. Caractéristiques 92
Ci. Caractéristiques dans le champ réel et propagation par ondes 98
7. Fronts d'ondes. Construction de Huyghens 100
Exercices et comjtféme/ifs 107
CiiApitre IX.
Equations aux dérivées partielles hyperboliques du second ordre.
1. Itemarqucs sur les équations complètement linéaires. Indications sur les types
de problèmes qu'on rencontre en Physique mathématique nti
2. In théorème d'existence 119
3. Méthode de Riemann 124
i. Equation des télégraphistes 127
5. Equation des ondes i31
fi. Hayonnement 1 4"
7. Partie finie d'une intégrale i4'5
S. Séparation dis variables. Usage de la transformation de Fourier i4S
9. Cordes vibrantes 1 - 6
10. Plaques vibrantes i(î
11. Opérateurs de Heaviside. Composition des distributions 164
12. Application de la transformation de Laplace 177
13. Indications sur les méthodes numériques d'intégration approchée i8.
Exercices et compléments 18G
Chapitre X.
Fonctions harmoniques. Potentiel newtonien.
Équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre.
1. Avertissement et introduction 19¦"
2. Théorème de la moyenne. Principe de l'extrémum 198
3. Existence des dérivées partielles de tous les ordres. Égale continuité des
fonctions harmoniques également bornées 2o;i
4. Intégrale de Poisson. Analylicite 20.Ï
5. Familles de fonctions harmoniques 209
0. Problème de Dirichlet. Cas du cercle. Applications :• 13
7. Fonction de Green ¦.!•_ !
8. Mesures harmoniques 224
9. Fonctions sous-harmoniques '-•-.!.
10. Existence de la solution du problème de Dirichlet ' ^
11. Fonctions harmoniques à plus de deux variables '53
TABLE DES MATIERES. 541
Pages.
12. Potentiel newtonien de volume 247
13. Potentiel de simple couche 2)4
14. Potentiel de volume polarisé 262
15. Potentiel de double couche 265
1G. Équations complètement linéaires du type elliptique 269
17. Méthode numérique pour le calcul approché de la solution du problème de
; Dirichlet 277
Exercices et compléments , 279
Chapitre XI.
Équations aux dérivées partielles paraboliques du second ordre.
1. Généralités. Solution élémentaire 295
'2. Principe de l'extrémum. Problème aux limites 1 298
3. Propriétés des fonctions caloriques 3oo
4. Fonctions caloriques analytiques 3o5
5. Intégrales analogues au potentiel 307
6. Intégrale de Poisson. Phénomènes irréversibles in
7. Solution du problème aux limites I dans un premier cas particulier 3i5
8. Solution du problème aux limites I dans un autre cas particulier 3irj
9. Fonctions sous-caloriques. Examen du problème aux limites I dans le cas général. 3j-i
Exercices et compléments 3^7
CHAriTRE XII.
Equations intégrales.
1. Opérations complètement continues 33.1
2. Inversibilité de certains endomorphismes 3'(O
3. Spectre et résolvante des endomorphismes complètement continus, limites
d'endomorphismes euclidiens 43
4. Equations de Fredholm 347
f . Noyau résolvant 35o
G. Déterminants de Fredholm 362
7. Equations de Volterra 165
8. Noyaux liermiliens. Étude dans L- 367
9. Noyaux hermitiens. Étude dans l'espace des fonctions continues H7."
10. Noyaux de Schmidt "
H. Remarques 391
12. Noyaux singuliers 4"11
13. Applications aux équations diliérentielles 4°2
-* 11. Applications aux équations aux dérivées partielles 41 r
Exercices et compléments 42S
Chapitre XIII.
Calcul des variations.
1. Position du problème 4î|
2. I.emme sur les fonctionnelles semi-continues 4'4°
3. Extremums fort et faible 4'l2
4. Equation d'Eiiler. Extrémales. Conditions de transversalité. Problèmes iso-
périmétriques 444
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5. Cas particuliers. Exemples 4" 4
6. Forme paramétrique '|C "
7. Variation première d'une intégrale double 4^2
8. Conditions de Weierstrass et de Legendre 4(i'i
9. Condition de Jacobi '167
10. Champ d'extrémalcs. Intégrale de llilbert '171
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11. Existence de l'extrémum. Hetour à l'équation d'Euler 488
15. Méthode directe et résolution du problème de Dirichlet 'l9'
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Inukx "))."
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