Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
1968
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| Edition: | 2., verb. Aufl. |
| Series: | Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I. Teil
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bei elementaren
Wahrscheinlichkeitsfeldern
§ 1. Elementare Wahrscheinlichkeitsfelder 4
1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 4
2. Mengentheoretische und logische Verknüpfungen 5
3- Das elementare Wahrscheinlichkeitsfeld 6
4. PoiNCARE-SYLVESTERsche Formel 8
Aufgaben 9
§ 2. Einblick in die Kombinatorik 9
1. Permutationen und Kombinationen 9
2. Permutationen mit Einschränkungen 12
3. Ein elementares Entscheidungsproblem 13
Aufgaben 14
§ 3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 17
1. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 17
2. Zweifache Klassifikation, marginale Wahrscheinlichkeit 17
3. BAYESSche Formel 18
4. Unabhängigkeit 20
Aufgaben 22
§4. Zufällige Größen und Erwartungswert 24
1. Definition und Rechnen mit zufalligen Größen 24
2. Indikatorgrößen; SYLVESiERsche Formel 25
3. Unabhängige zufällige Größen 26
4. Verteilung, Varianz und Kovarianz 27
Aufgaben 29
§ 5. Das Gesetz großer Zahlen 33
1. TschebYscHEFFsche Ungleichung 33
2. Schwaches Gesetz der großen Zahlen 33
3. Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten und erste Be¬
schreibung des statistischen Problems 34
Aufgaben 36
§ 6. Verteilung der Summe unabhängiger ganzzahliger zufälliger Größen 37
1. Erzeugende Funktion 37
2. Binomische Verteilung (BERNOULLi-Kette) 38
3. Poisson-Verteilung (Gesetz seltener Ereignisse) 39
VIII Inhaltsverzeichnis
4. PASCALsche Verteilung (Wartezeiten bei BERNouLLi-Kette) .... 41
5- Hypergeometrische Verteilung 42
Aufgaben 45
§ 7. Zentraler Grenzwertsatz 49
1. Zentraler Grenzwertsatz im de MoiVREschen Fall 49
2. Untersuchung der Normalverteilung (Abschätzungen, asymptotische
Reihe und Kettenbruchdarstellung) 53
3. Zentraler Grenzwertsatz für die PoissoN-Verteilung, SxiRLiNGSche
Formel und Ergänzung zum de MoiVREschen Fall 59
4. Normale Approximation der hypergeometrischen Verteilung .... 62
Aufgaben 63
§ 8. Statistische Probleme im BERNOULLischen Fall 65
1. Konfidenzbereiche 65
2. Hypothesentest und Alternativfrage 69
Aufgaben 71
§ 9. Mehrdimensionale Verteilungen 72
1. Polynomialverteilung 72
2. Zentraler Grenzwertsatz für die Polynomialverteilung 74
3- Behandlung statistischer Probleme für die Polynomialverteilung durch
den j;2-Test 76
4. Kontingenztafeln 81
5. Mehrdimensionale hypergeometrische Verteilung 83
Aufgaben 84
§ 10. Stichprobentheorie 87
1. Schätzung eines Anteils 87
2. Schätzung der Summe reellwertiger Größen 91
3. Hinweis auf höhere Gesichtspunkte 93
Aufgaben 94
II. Teil
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bei zufälligen Größen
mit Verteilungsdichten
§11. Definition und Rechnen mit Dichten zufälliger Größen 96
1. Dichte einer oder mehrerer zufälliger Größen 96
2. Bedingte Dichten, Unabhängigkeit 97
3. Rechnen mit Dichten 100
4. Definition, Darstellung und Eigenschaften des Erwartungswertes. . 102
5. Varianz, Kovarianz, Gesetz großer Zahlen 104
6. Kenngrößen von Verteilungen und Abschätzung von Verteilungsfunk¬
tionen 105
7. Charakterisierung mehrdimensionaler Verteilungen durch eindimen¬
sionale 109
Aufgaben 111
§ 12. Die empirische Verteilungsfunktion unabhängiger Größen mit derselben
Verteilung 114
1. Der Zentralsatz der Statistik (Glivenko-Cantelli) 114
2. Rechnerische Behandlung und graphische Darstellung 115
3. Die Sätze von Kolmogoroff und Smirnoff 119
Aufgaben 125
Inhaltsverzeichnis IX
§ 13- Geordnete Stichproben und Anordnungseigenschaften unabhängiger
Größen mit gleicher Verteilung 127
1. Geordnete Stichprobe und Quantile 127
2. Toleranzbereiche 130
3. Größter Abstand in der geordneten Stichprobe 132
4. Überschreitungswahrscheinlichkeiten 135
5. Einige Zwei-Stichproben-Rang-Teste 140
Aufgaben 141
§ 14. Statistisches Alternativproblem 144
1. Likelihoodquotiententest 144
2. Verhalten des Testes bei wachsender Beobachtungszahl 147
3. Anwendung auf die Informationstheorie 152
4. Monotone Likelihoodquotienten 153
5. Mehrfach-Alternativen 154
Aufgaben 155
§15- Schadensfunktion und Sequentialverfahren für das Alternativproblem. . 155
1. BAYESsche und andere Entscheidungsverfahren 155
2. Sequentialverfahren 157
3. BAYESsche Sequentialverfahren 163
Aufgaben 164
§ 16. Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz 166
1. Eindimensionale Normalverteilung 166
2. Mehrdimensionale Normalverteilung 167
3. Zentraler Grenzwertsatz 170
Aufgaben 173
§ 17. Allgemeine Schätztheorie 174
1. Maximum-Likelihood-Schätzmethode 174
2. Informationsungleichung (Ungleichung von Cramer und Rao) ..179
3. Erschöpfende Schätzfunktionen 181
4. Ausdehnung auf mehrere Parameter 184
5. BAYESsche Schätzung und andere Gesichtspunkte 187
Aufgaben 190
§ 18. Schätzungen bei linearen Modellen 192
1. Fragestellung, Methode und allgemeine Eigenschaften der Schätz¬
funktionen 192
2. Einfache lineare Regression 196
3- Konfidenzbereiche bei bekannter und unbekannter Varianz . . . .198
4. Gleichzeitige Schätzung mehrerer Parameter 202
5. Andere Regressionsmodelle und Korrelationsmaße 204
Aufgaben 207
§ 19. Allgemeine Testtheorie 208
1. Testen eines Parameters 208
2. Testen mehrerer Parameter 210
3. Anwendung auf die Polynomialverteilung (^2-Test) 211
4. Zusammengesetzte Hypothesen 212
5. Anwendungen auf den £2-Test und auf die Kontingenztafel. . . .214
Aufgaben 215
Morgenstern, Wahrscheinlichkeitsrechnung a
X Inhaltsverzeichnis
§ 20. Testtheorie bei linearen Modellen 217
1. Fragestellung und einfaches Beispiel 217
2. Die allgemeine Methode 218
3. Verhalten der Testgröße bei Gültigkeit und Nichtgültigkeit der Hypo¬
these 221
4. Beispiele von Varianzanalysen 224
5. Andere lineare Modelle 227
Aufgaben 229
Anhang
Theorie und Anwendungen der Extreme mit Ungleichungen
als Nebenbedingungen
1. Die Multiplikatorregel für lineare Funktionen 230
2. Der Dualitätssatz der linearen Optimierung 232
3. Der Hauptsatz der Theorie der Spiele 234
4. Abschätzung von Erwartungswerten und Wahrscheinlichkeiten 235
5. Aufstellung optimaler Teste 237
6. Ungünstigste Verteilungen 237
7. Nichtlineare Extremwertaufgaben 239
Aufgaben 240
Literaturverzeichnis 242
Namen- und Sachverzeichnis 246
|
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I. Teil
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bei elementaren
Wahrscheinlichkeitsfeldern
§ 1. Elementare Wahrscheinlichkeitsfelder 4
1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 4
2. Mengentheoretische und logische Verknüpfungen 5
3- Das elementare Wahrscheinlichkeitsfeld 6
4. PoiNCARE-SYLVESTERsche Formel 8
Aufgaben 9
§ 2. Einblick in die Kombinatorik 9
1. Permutationen und Kombinationen 9
2. Permutationen mit Einschränkungen 12
3. Ein elementares Entscheidungsproblem 13
Aufgaben 14
§ 3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 17
1. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 17
2. Zweifache Klassifikation, marginale Wahrscheinlichkeit 17
3. BAYESSche Formel 18
4. Unabhängigkeit 20
Aufgaben 22
§4. Zufällige Größen und Erwartungswert 24
1. Definition und Rechnen mit zufalligen Größen 24
2. Indikatorgrößen; SYLVESiERsche Formel 25
3. Unabhängige zufällige Größen 26
4. Verteilung, Varianz und Kovarianz 27
Aufgaben 29
§ 5. Das Gesetz großer Zahlen 33
1. TschebYscHEFFsche Ungleichung 33
2. Schwaches Gesetz der großen Zahlen 33
3. Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten und erste Be¬
schreibung des statistischen Problems 34
Aufgaben 36
§ 6. Verteilung der Summe unabhängiger ganzzahliger zufälliger Größen 37
1. Erzeugende Funktion 37
2. Binomische Verteilung (BERNOULLi-Kette) 38
3. Poisson-Verteilung (Gesetz seltener Ereignisse) 39
VIII Inhaltsverzeichnis
4. PASCALsche Verteilung (Wartezeiten bei BERNouLLi-Kette) . 41
5- Hypergeometrische Verteilung 42
Aufgaben 45
§ 7. Zentraler Grenzwertsatz 49
1. Zentraler Grenzwertsatz im de MoiVREschen Fall 49
2. Untersuchung der Normalverteilung (Abschätzungen, asymptotische
Reihe und Kettenbruchdarstellung) 53
3. Zentraler Grenzwertsatz für die PoissoN-Verteilung, SxiRLiNGSche
Formel und Ergänzung zum de MoiVREschen Fall 59
4. Normale Approximation der hypergeometrischen Verteilung . 62
Aufgaben 63
§ 8. Statistische Probleme im BERNOULLischen Fall 65
1. Konfidenzbereiche 65
2. Hypothesentest und Alternativfrage 69
Aufgaben 71
§ 9. Mehrdimensionale Verteilungen 72
1. Polynomialverteilung 72
2. Zentraler Grenzwertsatz für die Polynomialverteilung 74
3- Behandlung statistischer Probleme für die Polynomialverteilung durch
den j;2-Test 76
4. Kontingenztafeln 81
5. Mehrdimensionale hypergeometrische Verteilung 83
Aufgaben 84
§ 10. Stichprobentheorie 87
1. Schätzung eines Anteils 87
2. Schätzung der Summe reellwertiger Größen 91
3. Hinweis auf höhere Gesichtspunkte 93
Aufgaben 94
II. Teil
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bei zufälligen Größen
mit Verteilungsdichten
§11. Definition und Rechnen mit Dichten zufälliger Größen 96
1. Dichte einer oder mehrerer zufälliger Größen 96
2. Bedingte Dichten, Unabhängigkeit 97
3. Rechnen mit Dichten 100
4. Definition, Darstellung und Eigenschaften des Erwartungswertes. . 102
5. Varianz, Kovarianz, Gesetz großer Zahlen 104
6. Kenngrößen von Verteilungen und Abschätzung von Verteilungsfunk¬
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7. Charakterisierung mehrdimensionaler Verteilungen durch eindimen¬
sionale 109
Aufgaben 111
§ 12. Die empirische Verteilungsfunktion unabhängiger Größen mit derselben
Verteilung 114
1. Der Zentralsatz der Statistik (Glivenko-Cantelli) 114
2. Rechnerische Behandlung und graphische Darstellung 115
3. Die Sätze von Kolmogoroff und Smirnoff 119
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Inhaltsverzeichnis IX
§ 13- Geordnete Stichproben und Anordnungseigenschaften unabhängiger
Größen mit gleicher Verteilung 127
1. Geordnete Stichprobe und Quantile 127
2. Toleranzbereiche 130
3. Größter Abstand in der geordneten Stichprobe 132
4. Überschreitungswahrscheinlichkeiten 135
5. Einige Zwei-Stichproben-Rang-Teste 140
Aufgaben 141
§ 14. Statistisches Alternativproblem 144
1. Likelihoodquotiententest 144
2. Verhalten des Testes bei wachsender Beobachtungszahl 147
3. Anwendung auf die Informationstheorie 152
4. Monotone Likelihoodquotienten 153
5. Mehrfach-Alternativen 154
Aufgaben 155
§15- Schadensfunktion und Sequentialverfahren für das Alternativproblem. . 155
1. BAYESsche und andere Entscheidungsverfahren 155
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3. BAYESsche Sequentialverfahren 163
Aufgaben 164
§ 16. Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz 166
1. Eindimensionale Normalverteilung 166
2. Mehrdimensionale Normalverteilung 167
3. Zentraler Grenzwertsatz 170
Aufgaben 173
§ 17. Allgemeine Schätztheorie 174
1. Maximum-Likelihood-Schätzmethode 174
2. Informationsungleichung (Ungleichung von Cramer und Rao) .179
3. Erschöpfende Schätzfunktionen 181
4. Ausdehnung auf mehrere Parameter 184
5. BAYESsche Schätzung und andere Gesichtspunkte 187
Aufgaben 190
§ 18. Schätzungen bei linearen Modellen 192
1. Fragestellung, Methode und allgemeine Eigenschaften der Schätz¬
funktionen 192
2. Einfache lineare Regression 196
3- Konfidenzbereiche bei bekannter und unbekannter Varianz . . . .198
4. Gleichzeitige Schätzung mehrerer Parameter 202
5. Andere Regressionsmodelle und Korrelationsmaße 204
Aufgaben 207
§ 19. Allgemeine Testtheorie 208
1. Testen eines Parameters 208
2. Testen mehrerer Parameter 210
3. Anwendung auf die Polynomialverteilung (^2-Test) 211
4. Zusammengesetzte Hypothesen 212
5. Anwendungen auf den £2-Test und auf die Kontingenztafel. . . .214
Aufgaben 215
Morgenstern, Wahrscheinlichkeitsrechnung a
X Inhaltsverzeichnis
§ 20. Testtheorie bei linearen Modellen 217
1. Fragestellung und einfaches Beispiel 217
2. Die allgemeine Methode 218
3. Verhalten der Testgröße bei Gültigkeit und Nichtgültigkeit der Hypo¬
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4. Beispiele von Varianzanalysen 224
5. Andere lineare Modelle 227
Aufgaben 229
Anhang
Theorie und Anwendungen der Extreme mit Ungleichungen
als Nebenbedingungen
1. Die Multiplikatorregel für lineare Funktionen 230
2. Der Dualitätssatz der linearen Optimierung 232
3. Der Hauptsatz der Theorie der Spiele 234
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5. Aufstellung optimaler Teste 237
6. Ungünstigste Verteilungen 237
7. Nichtlineare Extremwertaufgaben 239
Aufgaben 240
Literaturverzeichnis 242
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