Elemente der Gruppentheorie:
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| Published: |
Freiburg [u.a.]
Herder
1975
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Vorwort 9
I. Einfuhrung in den Begriff der Gruppe 11
1. Die Bedeutung des Gruppenbegriffs 11
2. Voraussetzungen für den Aufbau der Gruppentheorie ... 12
3. Verknüpfungen in Zahlbereichen 13
3.1. Innere Verknüpfung-Abgeschlossenheit 13
3.2. Assoziativität 14
3.3. Kommutativität 15
3.4. Das neutrale Element 15
3.5. Inverse Elemente 16
4. Verknüpfungen von Abbildungen 18
5. Präzise Fassung des Gruppenbegriffs 24
5.1. Die Gruppenaxiome 24
5.2. Die Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen
Elemente 25
//. Beispiele endlicher Gruppen 29
1. Die Drehungsgruppe des gleichseitigen Dreiecks 30
2. Eine Permutationsgruppe mit 3 Elementen 33
3. Isomorphe Gruppen 35
4. Eine Restklassengruppe 37
5. Die Symmetrische Gruppe S3 und die Diedergruppe des
Dreiecks 40
6. Vierergruppen 47
6.1. Die zyklische Vierergruppe 47
6.2. Die Kleinsche Vierergruppe 50
5
///. Einstieg in die allgemeine Theorie der Gruppen 57
1. Allgemeine Eigenschaften von Gruppen 57
2. Mögliche Änderungen im Axiomensystem 59
3. Wichtige Rechenregeln 60
4. Bedingungen für Untergruppen 62
5. Halbgruppen 65
6. Gruppenisomorphismus 66
IV. Permutationen 70
1. Definition, Schreibweise 70
2. Zerlegung in Zyklen 72
3. Verknüpfung von Permutationen 73
4. Die symmetrische Gruppe Sn 75
5. Der Satz von Cayley 77
6. Die alternierende Gruppe 80
V. Untergruppen und Nebenklassen 89
1. Nebenklassen 89
2. Der Satz von Lagrange 92
3. Normalteiler 95
4. Die Tetraedergruppe 96
5. Geometrische Bedeutung der Untergruppen. Darstellung der
Untergruppenstruktur durch Graphen 101
6. Diedergruppen 104
VI. Zyklische Gruppen . 112
1. Definition und Gruppeneigenschaft 112
2. Endliche und unendliche zyklische Gruppen . 113
3. Modelle endlicher zyklischer Gruppen 115
3.1. Deckdrehungen des regelmäßigen n-Ecks • - 115
3.2. Additive Restklassen . 116
4. Untergruppen zyklischer Gruppen ..119
5. Ordnung eines Elements 122
5.1. Begriff und einfache Folgerungen 122
5.2. Erzeugende Elemente in zyklischen Gruppen . 123
6. Erzeugendensystem einer Gruppe . 127
6
VII. Direktes Produkt von Gruppen, prime Restklassengruppen . 131
1. Zerlegung und Aufbau von Gruppen durch das direkte Pro¬
dukt in Beispielen 131
1.1. Die Kleinsche Vierergruppe 131
1.2. Achtergruppen als direkte Produkte 132
1.3. Eine Sechsergruppe als direktes Produkt 134
2. Definition und Eigenschaften des direkten Produkts . ... 135
3. Zerlegung zyklischer Gruppen 139
4. Die primen Restklassengruppen 142
VIII. Homomorphismus, Automorphismus 149
1. Begriff des Homomorphismus 149
2. Eigenschaften des Homomorphismus von Gruppen .... 152
3. Der Homomorphiesatz 154
4. Begriff des Automorphismus 157
5. Die Automorphismengruppe 159
6. Innere Automorphismen 160
7. Konjugierte Untergruppen 162
8. Invariante Untergruppen 165
9. Die Ikosaedergruppe 166
IX. Rückblick und Ausblick 174
1. Endliche Drehungsgruppen 174
2. Die kongruenten Abbildungen der Ebene 178
3. Ringe und Körper 179
X. Lösungen der Aufgaben 181
Literaturverzeichnis 203
Register 209
7
|
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Inhalt
Vorwort 9
I. Einfuhrung in den Begriff der Gruppe 11
1. Die Bedeutung des Gruppenbegriffs 11
2. Voraussetzungen für den Aufbau der Gruppentheorie . 12
3. Verknüpfungen in Zahlbereichen 13
3.1. Innere Verknüpfung-Abgeschlossenheit 13
3.2. Assoziativität 14
3.3. Kommutativität 15
3.4. Das neutrale Element 15
3.5. Inverse Elemente 16
4. Verknüpfungen von Abbildungen 18
5. Präzise Fassung des Gruppenbegriffs 24
5.1. Die Gruppenaxiome 24
5.2. Die Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen
Elemente 25
//. Beispiele endlicher Gruppen 29
1. Die Drehungsgruppe des gleichseitigen Dreiecks 30
2. Eine Permutationsgruppe mit 3 Elementen 33
3. Isomorphe Gruppen 35
4. Eine Restklassengruppe 37
5. Die Symmetrische Gruppe S3 und die Diedergruppe des
Dreiecks 40
6. Vierergruppen 47
6.1. Die zyklische Vierergruppe 47
6.2. Die Kleinsche Vierergruppe 50
5
///. Einstieg in die allgemeine Theorie der Gruppen 57
1. Allgemeine Eigenschaften von Gruppen 57
2. Mögliche Änderungen im Axiomensystem 59
3. Wichtige Rechenregeln 60
4. Bedingungen für Untergruppen 62
5. Halbgruppen 65
6. Gruppenisomorphismus 66
IV. Permutationen 70
1. Definition, Schreibweise 70
2. Zerlegung in Zyklen 72
3. Verknüpfung von Permutationen 73
4. Die symmetrische Gruppe Sn 75
5. Der Satz von Cayley 77
6. Die alternierende Gruppe 80
V. Untergruppen und Nebenklassen 89
1. Nebenklassen 89
2. Der Satz von Lagrange 92
3. Normalteiler 95
4. Die Tetraedergruppe 96
5. Geometrische Bedeutung der Untergruppen. Darstellung der
Untergruppenstruktur durch Graphen 101
6. Diedergruppen 104
VI. Zyklische Gruppen . 112
1. Definition und Gruppeneigenschaft 112
2. Endliche und unendliche zyklische Gruppen . 113
3. Modelle endlicher zyklischer Gruppen 115
3.1. Deckdrehungen des regelmäßigen n-Ecks • - 115
3.2. Additive Restklassen . 116
4. Untergruppen zyklischer Gruppen .119
5. Ordnung eines Elements 122
5.1. Begriff und einfache Folgerungen 122
5.2. Erzeugende Elemente in zyklischen Gruppen . 123
6. Erzeugendensystem einer Gruppe . 127
6
VII. Direktes Produkt von Gruppen, prime Restklassengruppen . 131
1. Zerlegung und Aufbau von Gruppen durch das direkte Pro¬
dukt in Beispielen 131
1.1. Die Kleinsche Vierergruppe 131
1.2. Achtergruppen als direkte Produkte 132
1.3. Eine Sechsergruppe als direktes Produkt 134
2. Definition und Eigenschaften des direkten Produkts . . 135
3. Zerlegung zyklischer Gruppen 139
4. Die primen Restklassengruppen 142
VIII. Homomorphismus, Automorphismus 149
1. Begriff des Homomorphismus 149
2. Eigenschaften des Homomorphismus von Gruppen . 152
3. Der Homomorphiesatz 154
4. Begriff des Automorphismus 157
5. Die Automorphismengruppe 159
6. Innere Automorphismen 160
7. Konjugierte Untergruppen 162
8. Invariante Untergruppen 165
9. Die Ikosaedergruppe 166
IX. Rückblick und Ausblick 174
1. Endliche Drehungsgruppen 174
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X. Lösungen der Aufgaben 181
Literaturverzeichnis 203
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