Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit QuickBASIC-Programmen:
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | Undetermined |
| Veröffentlicht: |
Mannheim [u.a.]
BI-Wissenschaftsverl.
1991
|
| Ausgabe: | 3., völlig neu bearb. u. erw. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXIV, 1006 S. |
| ISBN: | 3411143126 |
Internformat
MARC
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|---|---|
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Inhaltsverzeichnis
1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse 1
1.1 Definition von Fehlergrößen 1
1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 3
1.3 Fehlerquellen 7
1.3.1 Der Verfahrensfehler 7
1.3.2 Der Eingangsfehler 8
1.3.3 Der Rechnungsfehler 11
2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 13
2.1 Aufgabenstellung und Anwendungsempfehlungen 13
2.2 Definitionen und Sätze über Nullstellen 14
2.3 Allgemeines Iterationsverfahren 15
2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition 15
2.3.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösung 17
2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens, Fehlerabschätzungen,
Rechnungsfehler 18
2.3.4 Praktische Durchführung 21
2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens 23
2.5 Newtonsche Verfahren 25
2.5.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen 25
2.5.2 Gedämpftes Newton Verfahren 27
2.5.3 Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Nullstellen.
Das modifizierte Newtonsche Verfahren 28
2.6 Regula Falsi 29
2.6.1 Regula Falsi für einfache Nullstellen 29
2.6.2 Modifizierte Regula Falsi für mehrfache Nullstellen 30
2.6.3 Primitivform der Regula Falsi 30
XVI
2.7 Verfahren von Steffensen 31
2.7.1 Das Verfahren von Steffensen für einfache Nullstellen 31
2.7.2 Das modifizierte Steffensen Verfahren für mehrfache
Nullstellen 32
2.8 Einschlußverfahren 32
2.8.1 Das Bisektionsverfahren 33
2.8.2 Das Pegasus Verfahren 34
2.8.3 Das Verfahren von Anderson Björck 36
2.8.4 Die Verfahren von King und Anderson Björck King.
Das Illinois Verfahren 39
2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen 39
3 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 43
3.1 Vorbemerkungen 43
3.2 Das Horner Schema 44
3.2.1 Das einfache Horner Schema für reelle Argumentwerte 44
3.2.2 Das einfache Horner Schema für komplexe Argumentwerte . .45
3.2.3 Das vollständige Horner Schema für reelle Argumentwerte ..47
3.2.4 Anwendungen 49
3.3 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer
Gleichungen 50
3.3.1 Vorbemerkungen, Überblick und Entscheidungshilfen für
die Wahl der Methode 50
3.3.2 Das Verfahren von Muller 51
3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber 54
3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Txaub 56
3.4 Entscheidungshilfen 56
4 Direkte Verfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme 57
4.1 Aufgabenstellung 57
4.2 Definitionen und Sätze 58
4.3 Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem 64
4.4 Prinzip der direkten Methoden 65
4.5 Der Gauß Algorithmus 66
4.5.1 Gauß Algorithmen mit Spaltenpivotsuche 66
4.5.2 Pivotsuche 70
4.5.3 Gauß Algorithmus als Dreieckszerlegung 71
XVII
4.5.4 Der Gauß Algorithmus für Systeme mit
mehreren rechten Seiten 73
4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß Algorithmus 74
4.7 Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen 75
4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix 76
4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.
Cholesky Verfahren 76
4.7.3 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.
Verfahren der konjugierten Gradienten (CG Verfahren) 80
4.8 Das Gauß Jordan Verfahren 84
4.9 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit
dem Austauschverfahren 85
4.10 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 87
4.10.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix 87
4.10.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv
definiter Matrix 89
4.11 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 91
4.11.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix 91
4.11.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix .. 93
4.12 Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen 95
4.12.1 Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen 95
4.12.2 Systeme mit symmetrischer, fünf diagonaler, positiv
definiter Matrix 98
4.13 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 100
4.14 Lösung über bestimmter linearer Gleichungssysteme
mit Householdertransformation 106
4.15 Fehler, Kondition und Nachiteration 111
4.15.1 Fehler und Kondition 111
4.15.2 Konditionsschätzung 113
4.15.3 Möglichkeiten zur Konditionsverbesserung 116
4.15.4 Nachiteration 117
4.16 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 118
4.16.1 Vorbemerkungen 118
4.16.2 Gauß Algorithmus für Blocksysteme 119
4.16.3 Gauß Algorithmus für tridiagonale Blocksysteme 121
4.16.4 Weitere Block Verfahren 121
4.17 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 122
XVIII
5 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 125
5.1 Vorbemerkungen und Entscheidungshilfen 125
5.2 Vektor und Matrizennormen 126
5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 127
5.4 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das
Gauß Seidelsche Iterationsverfahren 132
5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 133
5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 134
6 Systeme nichtlinearer Gleichungen 137
6.1 Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme 137
6.2 Spezielle Iterationsverfahren 143
6.2.1 Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme 143
6.2.1.1 Das quadratisch konvergente Newton Verfahren 143
6.2.1.2 Gedämpftes Newton Verfahren für Systeme 145
6.2.2 Regula Falsi für nichtlineare Systeme 146
6.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradienten
verfahren) für nichtlineare Systeme 147
6.2.4 Das Verfahren von Brown für Systeme 149
6.3 Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode 149
7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 151
7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 151
7.2 Diagonalähnliche Matrizen 153
7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 155
7.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des
zugehörigen Eigenvektors 155
7.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 159
7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 160
7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh Quotienten
im Falle hermitescher Matrizen 161
7.5 Das Verfahren von Krylov 162
7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte 162
7.5.2 Bestimmung der Eigenvektoren 164
7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter, symmetrischer,
tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD Algorithmus 165
7.7 Transformationen auf Hessenbergform, LR und QR Verfahren 167
7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform 167
XIX
7.7.2 LR Verfahren 169
7.7.3 QR Verfahren 171
7.8 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren
von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson 172
7.9 Entscheidungshilfen 174
8 Lineare und nichtlineare Approximation 175
8.1 Lineare Approximation 176
8.1.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 176
8.1.2 Kontinuierliche lineare Approximation im quadratischen
Mittel 180
8.1.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel .. 184
8.1.3.1 Normalgleichungen für den diskreten linearen Ausgleich . 184
8.1.3.2 Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynome
unter Verwendung orthogonaler Polynome 187
8.1.3.3 Lineare Regression. Ausgleich durch lineare
algebraische Polynome 189
8.1.3.4 Householdertransformation zur Lösung des linearen
Ausgleichsproblems 190
8.1.4 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff
Polynome 193
8.1.4.1 Beste gleichmäßige Approximation, Definition 193
8.1.4.2 Approximation durch Tschebyscheff Polynome 194
8.1.5 Approximation periodischer Funktionen 201
8.1.5.1 Approximation periodischer Punktionen im
quadratischen Mittel 202
8.1.5.2 Trigonometrische Interpolation 202
8.1.5.3 Komplexe diskrete Fourier Transformation (FFT) 205
8.2 Nichtlineare Approximation 207
8.2.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich 208
8.2.2 Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel 210
8.3 Entscheidungshilfen 210
9 Polynomiale und rationale Interpolation 213
9.1 Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische Polynome 213
9.2 Interpolationsformeln von Lagrange 215
9.2.1 Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen 215
9.2.2 Lagrangesche Formel für äquidistante Stützstellen 216
XX
9.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Sützstellen .217
9.4 Inverse Interpolation nach Aitken 219
9.5 Interpolationsformeln von Newton 220
9.5.1 Newtonsche Formel für beliebige Stützstellen 220
9.5.2 Newtonsche Formel für äquidistante Stützstellen 221
9.6 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung
und Schätzung des Interpolationsfehlers 223
9.7 Rationale Interpolation 225
9.8 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 229
9.8.1 Interpolationsformel von Lagrange bei Funktionen von
zwei Veränderlichen 229
9.8.2 Shepard Interpolation 231
9.9 Entscheidungshilfen für die Auswahl des zweckmäßigen
Interpolationsverfahrens 235
10 Interpolierende Polynomsplines zur Konstruktion glatter
Kurven 237
10.1 Polynomsplines dritten Grades 237
10.1.1 Definition der Splinefunktionen 238
10.1.2 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines .... 240
10.1.3 Berechnung der parametrischen kubischen Splines 246
10.1.4 Kombinierte interpolierende Polynom Splines 250
10.1.5 Konvergenz und Fehlerabschätzungen interpolierender
kubischer Splines 256
10.2 Hermite Splines fünften Grades 257
10.2.1 Definition der Hermite Splines 257
10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite Splines 259
10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite Splines 263
10.3 Entscheidungshilfen zur Auswahl der geeigneten inter¬
polierenden oder approximierenden Splinemethode 266
11 Polynomiale Ausgleichssplines 3. Grades 273
11.1 Problemstellung 273
11.2 Definition der Splinefunktionen 274
11.3 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Ausgleichssplines 275
11.4 Berechnung der parametrischen kubischen Ausgleichssplines .. .282
11.5 Entscheidungshilfen 283
XXI
12 Zweidimensionale Splines, Bezier Splines,
Oberflächensplines 285
12.1 Interpolierende zweidimensionale Polynomsplines dritten
Grades zur Konstruktion glatter Flächen 285
12.2 Kubische und bikubische interpolierende und approximierende
Bezier Splines 296
12.2.1 Kubische Bezier Splines zur Konstruktion glatter Kurven
und Kurven mit Knick 296
12.2.2 Approximierende bikubische Bezier Splines zur
Konstruktion glatter Flächen 300
12.2.3 Modifizierte (interpolierende) kubische Bezier Splines 307
12.3 Zweidimensionale interpolierende Oberächensplines 307
12.4 Entscheidungshilfen 310
13 Akima und Renner Subsplines 311
13.1 Akima Subsplines 311
13.2 Renner Subsplines 314
13.3 Abrundung von Ecken bei Akima und Renner Kurven 318
13.4 Näherungsweise Berechnung der Bogenlänge einer Kurve 319
13.5 Entscheidungshilfen 320
14 Numerische Differentiation 323
14.1 Aufgabenstellung 323
14.2 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynomes 324
14.3 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer
Polynom Splines 328
14.4 Differentiation nach dem Romberg Verfahren 328
14.5 Entscheidungshilfen 330
15 Numerische Quadratur 331
15.1 Vorbemerkungen 331
15.2 Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln 333
15.3 Newton Cotes Formeln 335
15.3.1 Die Sehnentrapezformel 337
15.3.2 Die Simpsonsche Formel 338
15.3.3 Die 3/8 Formel 340
15.3.4 Weitere Newton Cotes Formeln 342
XXII
15.3.5 Zusammenfassung zur Fehlerordnung von
Newton Cotes Formeln 344
15.4 Quadraturformeln von Maclaurin 345
15.4.1 Die Tangententrapezformel 345
15.4.2 Weitere Maclaurin Formeln 346
15.5 Die Euler Maclaurin Formeln 347
15.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 350
15.7 Quadraturformeln von Gauß 353
15.8 Einfache Berechnung von Gewichten und Stützstellen
verallgemeinerter Gauß Quadraturformeln 357
15.9 Quadraturformeln von Clenshaw Curtis 361
15.10 Das Verfahren von Romberg 362
15.11 Fehlerschätzung und Rechnungsfehler 364
15.12 Adaptive Quadraturverfahren 367
15.13 Konvergenz der Quadraturformeln 368
15.14 Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode . .369
16 Numerische Kubatur 371
16.1 Problemstellung 371
16.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln 374
16.3 Newton Cotes Formeln für rechteckige Integrationsbereiche 377
16.4 Newton Cotes Kubaturformeln für Dreieckbereiche 382
16.5 Das Romberg Kubaturverfahren für Rechteckbereiche 383
16.6 Gauß Kubaturformeln für Rechteckbereiche 386
16.7 Gauß Kubaturformeln für Dreieckbereiche 388
16.7.1 Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten 388
16.7.2 Dreiecke in allgemeiner Lage 389
16.8 Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals mit
bikubischen Splines 390
16.9 Entscheidungshilfen 391
17 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 393
17.1 Problemstellung 393
17.2 Prinzip der numerischen Verfahren 394
17.3 Einschrittverfahren 396
17.3.1 Das Polygonzugverfahren von Euler Cauchy 396
17.3.2 Das verbesserte Euler Cauchy Verfahren 397
XXIII
17.3.3 Praediktor Korrektor Verfahren von Heun 398
17.3.4 Explizite Runge Kutta Verfahren 400
17.3.4.1 Konstruktion von Runge Kutta Verfahren 400
17.3.4.2 Klassisches Runge Kutta Verfahren 401
17.3.4.3 Zusammenstellung expliziter Runge Kutta Formeln 403
17.3.4.4 Einbettungsformeln 407
17.3.5 Implizite Runge Kutta Verfahren vom Gauß Typ 420
17.3.6 Gemeinsame Darstellug aller Einschrittverfahren.
Verfahrensfunktion eines Einschritt Verfahrens.
Konsistenz 422
17.3.7 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung 424
17.3.7.1 Fehlerschätzung 424
17.3.7.2 Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung,
adaptive Anfangswertproblemlöser 425
17.4 Mehrschrittverfahren 429
17.4.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 429
17.4.2 Das explizite Verfahren von Adams Bashforth 431
17.4.3 Das Praediktor Korrektor Verfahren von Adams Moulton . 433
17.4.4 Verfahren von Adams Störmer 437
17.4.5 Fehlerschätzungsformeln für Mehrschrittverfahren 439
17.4.6 Rechnungsfehler für Ein und Mehrschrittverfahren 440
17.5 Extrapolationsverfahren von Bulirsch Stoer Gragg 441
17.6 Stabilität 444
17.6.1 Vorbemerkungen 444
17.6.2 Stabilität der Differentialgleichung 445
17.6.3 Stabilität des numerischen Verfahrens 446
17.7 Steife Differentialgleichungssysteme 450
17.7.1 Problemstellung 450
17.7.2 Kriterien für Steifheit eines Systems 441
17.7.3 Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme ... 442
17.8 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 457
18 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 463
18.1 Problemstellung 463
18.2 Zurückführung des Randwertproblems auf ein
Anfangswertproblem 464
XXIV
18.2.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen
zweiter Ordnung 464
18.2.2 Randwertprobleme für Systeme von Differential¬
gleichungen erster Ordnung 467
18.2.3 Mehrzielverfahren 468
18.3 Differenzenverfahren 472
18.3.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 472
18.3.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 478
18.3.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme
zu speziellen Randwertproblemen 480
18.3.4 Lineare Eigenwertprobleme 481
Anhang: QuickBASIC Programme 483
Verzeichnis der Programme nach Reihenfolge im Anhang 485
Alphabetisches Verzeichnis der Programmnamen 493
Vorwort zum Anhang 501
QuickBASIC Programme 503
Literaturverzeichnis 971
Literatur zu weiteren Themengebieten 989
Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen 989
Methode der Finiten Elemente 990
Sachwortverzeichnis 995
|
| adam_txt |
XV
Inhaltsverzeichnis
1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse 1
1.1 Definition von Fehlergrößen 1
1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 3
1.3 Fehlerquellen 7
1.3.1 Der Verfahrensfehler 7
1.3.2 Der Eingangsfehler 8
1.3.3 Der Rechnungsfehler 11
2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 13
2.1 Aufgabenstellung und Anwendungsempfehlungen 13
2.2 Definitionen und Sätze über Nullstellen 14
2.3 Allgemeines Iterationsverfahren 15
2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition 15
2.3.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösung 17
2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens, Fehlerabschätzungen,
Rechnungsfehler 18
2.3.4 Praktische Durchführung 21
2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens 23
2.5 Newtonsche Verfahren 25
2.5.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen 25
2.5.2 Gedämpftes Newton Verfahren 27
2.5.3 Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Nullstellen.
Das modifizierte Newtonsche Verfahren 28
2.6 Regula Falsi 29
2.6.1 Regula Falsi für einfache Nullstellen 29
2.6.2 Modifizierte Regula Falsi für mehrfache Nullstellen 30
2.6.3 Primitivform der Regula Falsi 30
XVI
2.7 Verfahren von Steffensen 31
2.7.1 Das Verfahren von Steffensen für einfache Nullstellen 31
2.7.2 Das modifizierte Steffensen Verfahren für mehrfache
Nullstellen 32
2.8 Einschlußverfahren 32
2.8.1 Das Bisektionsverfahren 33
2.8.2 Das Pegasus Verfahren 34
2.8.3 Das Verfahren von Anderson Björck 36
2.8.4 Die Verfahren von King und Anderson Björck King.
Das Illinois Verfahren 39
2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen 39
3 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 43
3.1 Vorbemerkungen 43
3.2 Das Horner Schema 44
3.2.1 Das einfache Horner Schema für reelle Argumentwerte 44
3.2.2 Das einfache Horner Schema für komplexe Argumentwerte . .45
3.2.3 Das vollständige Horner Schema für reelle Argumentwerte .47
3.2.4 Anwendungen 49
3.3 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer
Gleichungen 50
3.3.1 Vorbemerkungen, Überblick und Entscheidungshilfen für
die Wahl der Methode 50
3.3.2 Das Verfahren von Muller 51
3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber 54
3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Txaub 56
3.4 Entscheidungshilfen 56
4 Direkte Verfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme 57
4.1 Aufgabenstellung 57
4.2 Definitionen und Sätze 58
4.3 Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem 64
4.4 Prinzip der direkten Methoden 65
4.5 Der Gauß Algorithmus 66
4.5.1 Gauß Algorithmen mit Spaltenpivotsuche 66
4.5.2 Pivotsuche 70
4.5.3 Gauß Algorithmus als Dreieckszerlegung 71
XVII
4.5.4 Der Gauß Algorithmus für Systeme mit
mehreren rechten Seiten 73
4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß Algorithmus 74
4.7 Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen 75
4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix 76
4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.
Cholesky Verfahren 76
4.7.3 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.
Verfahren der konjugierten Gradienten (CG Verfahren) 80
4.8 Das Gauß Jordan Verfahren 84
4.9 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit
dem Austauschverfahren 85
4.10 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 87
4.10.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix 87
4.10.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv
definiter Matrix 89
4.11 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 91
4.11.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix 91
4.11.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix . 93
4.12 Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen 95
4.12.1 Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen 95
4.12.2 Systeme mit symmetrischer, fünf diagonaler, positiv
definiter Matrix 98
4.13 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 100
4.14 Lösung über bestimmter linearer Gleichungssysteme
mit Householdertransformation 106
4.15 Fehler, Kondition und Nachiteration 111
4.15.1 Fehler und Kondition 111
4.15.2 Konditionsschätzung 113
4.15.3 Möglichkeiten zur Konditionsverbesserung 116
4.15.4 Nachiteration 117
4.16 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 118
4.16.1 Vorbemerkungen 118
4.16.2 Gauß Algorithmus für Blocksysteme 119
4.16.3 Gauß Algorithmus für tridiagonale Blocksysteme 121
4.16.4 Weitere Block Verfahren 121
4.17 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 122
XVIII
5 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 125
5.1 Vorbemerkungen und Entscheidungshilfen 125
5.2 Vektor und Matrizennormen 126
5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 127
5.4 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das
Gauß Seidelsche Iterationsverfahren 132
5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 133
5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 134
6 Systeme nichtlinearer Gleichungen 137
6.1 Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme 137
6.2 Spezielle Iterationsverfahren 143
6.2.1 Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme 143
6.2.1.1 Das quadratisch konvergente Newton Verfahren 143
6.2.1.2 Gedämpftes Newton Verfahren für Systeme 145
6.2.2 Regula Falsi für nichtlineare Systeme 146
6.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradienten
verfahren) für nichtlineare Systeme 147
6.2.4 Das Verfahren von Brown für Systeme 149
6.3 Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode 149
7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 151
7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 151
7.2 Diagonalähnliche Matrizen 153
7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 155
7.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des
zugehörigen Eigenvektors 155
7.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 159
7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 160
7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh Quotienten
im Falle hermitescher Matrizen 161
7.5 Das Verfahren von Krylov 162
7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte 162
7.5.2 Bestimmung der Eigenvektoren 164
7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter, symmetrischer,
tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD Algorithmus 165
7.7 Transformationen auf Hessenbergform, LR und QR Verfahren 167
7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform 167
XIX
7.7.2 LR Verfahren 169
7.7.3 QR Verfahren 171
7.8 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren
von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson 172
7.9 Entscheidungshilfen 174
8 Lineare und nichtlineare Approximation 175
8.1 Lineare Approximation 176
8.1.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 176
8.1.2 Kontinuierliche lineare Approximation im quadratischen
Mittel 180
8.1.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel . 184
8.1.3.1 Normalgleichungen für den diskreten linearen Ausgleich . 184
8.1.3.2 Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynome
unter Verwendung orthogonaler Polynome 187
8.1.3.3 Lineare Regression. Ausgleich durch lineare
algebraische Polynome 189
8.1.3.4 Householdertransformation zur Lösung des linearen
Ausgleichsproblems 190
8.1.4 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff
Polynome 193
8.1.4.1 Beste gleichmäßige Approximation, Definition 193
8.1.4.2 Approximation durch Tschebyscheff Polynome 194
8.1.5 Approximation periodischer Funktionen 201
8.1.5.1 Approximation periodischer Punktionen im
quadratischen Mittel 202
8.1.5.2 Trigonometrische Interpolation 202
8.1.5.3 Komplexe diskrete Fourier Transformation (FFT) 205
8.2 Nichtlineare Approximation 207
8.2.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich 208
8.2.2 Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel 210
8.3 Entscheidungshilfen 210
9 Polynomiale und rationale Interpolation 213
9.1 Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische Polynome 213
9.2 Interpolationsformeln von Lagrange 215
9.2.1 Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen 215
9.2.2 Lagrangesche Formel für äquidistante Stützstellen 216
XX
9.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Sützstellen .217
9.4 Inverse Interpolation nach Aitken 219
9.5 Interpolationsformeln von Newton 220
9.5.1 Newtonsche Formel für beliebige Stützstellen 220
9.5.2 Newtonsche Formel für äquidistante Stützstellen 221
9.6 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung
und Schätzung des Interpolationsfehlers 223
9.7 Rationale Interpolation 225
9.8 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 229
9.8.1 Interpolationsformel von Lagrange bei Funktionen von
zwei Veränderlichen 229
9.8.2 Shepard Interpolation 231
9.9 Entscheidungshilfen für die Auswahl des zweckmäßigen
Interpolationsverfahrens 235
10 Interpolierende Polynomsplines zur Konstruktion glatter
Kurven 237
10.1 Polynomsplines dritten Grades 237
10.1.1 Definition der Splinefunktionen 238
10.1.2 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines . 240
10.1.3 Berechnung der parametrischen kubischen Splines 246
10.1.4 Kombinierte interpolierende Polynom Splines 250
10.1.5 Konvergenz und Fehlerabschätzungen interpolierender
kubischer Splines 256
10.2 Hermite Splines fünften Grades 257
10.2.1 Definition der Hermite Splines 257
10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite Splines 259
10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite Splines 263
10.3 Entscheidungshilfen zur Auswahl der geeigneten inter¬
polierenden oder approximierenden Splinemethode 266
11 Polynomiale Ausgleichssplines 3. Grades 273
11.1 Problemstellung 273
11.2 Definition der Splinefunktionen 274
11.3 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Ausgleichssplines 275
11.4 Berechnung der parametrischen kubischen Ausgleichssplines . .282
11.5 Entscheidungshilfen 283
XXI
12 Zweidimensionale Splines, Bezier Splines,
Oberflächensplines 285
12.1 Interpolierende zweidimensionale Polynomsplines dritten
Grades zur Konstruktion glatter Flächen 285
12.2 Kubische und bikubische interpolierende und approximierende
Bezier Splines 296
12.2.1 Kubische Bezier Splines zur Konstruktion glatter Kurven
und Kurven mit Knick 296
12.2.2 Approximierende bikubische Bezier Splines zur
Konstruktion glatter Flächen 300
12.2.3 Modifizierte (interpolierende) kubische Bezier Splines 307
12.3 Zweidimensionale interpolierende Oberächensplines 307
12.4 Entscheidungshilfen 310
13 Akima und Renner Subsplines 311
13.1 Akima Subsplines 311
13.2 Renner Subsplines 314
13.3 Abrundung von Ecken bei Akima und Renner Kurven 318
13.4 Näherungsweise Berechnung der Bogenlänge einer Kurve 319
13.5 Entscheidungshilfen 320
14 Numerische Differentiation 323
14.1 Aufgabenstellung 323
14.2 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynomes 324
14.3 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer
Polynom Splines 328
14.4 Differentiation nach dem Romberg Verfahren 328
14.5 Entscheidungshilfen 330
15 Numerische Quadratur 331
15.1 Vorbemerkungen 331
15.2 Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln 333
15.3 Newton Cotes Formeln 335
15.3.1 Die Sehnentrapezformel 337
15.3.2 Die Simpsonsche Formel 338
15.3.3 Die 3/8 Formel 340
15.3.4 Weitere Newton Cotes Formeln 342
XXII
15.3.5 Zusammenfassung zur Fehlerordnung von
Newton Cotes Formeln 344
15.4 Quadraturformeln von Maclaurin 345
15.4.1 Die Tangententrapezformel 345
15.4.2 Weitere Maclaurin Formeln 346
15.5 Die Euler Maclaurin Formeln 347
15.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 350
15.7 Quadraturformeln von Gauß 353
15.8 Einfache Berechnung von Gewichten und Stützstellen
verallgemeinerter Gauß Quadraturformeln 357
15.9 Quadraturformeln von Clenshaw Curtis 361
15.10 Das Verfahren von Romberg 362
15.11 Fehlerschätzung und Rechnungsfehler 364
15.12 Adaptive Quadraturverfahren 367
15.13 Konvergenz der Quadraturformeln 368
15.14 Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode . .369
16 Numerische Kubatur 371
16.1 Problemstellung 371
16.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln 374
16.3 Newton Cotes Formeln für rechteckige Integrationsbereiche 377
16.4 Newton Cotes Kubaturformeln für Dreieckbereiche 382
16.5 Das Romberg Kubaturverfahren für Rechteckbereiche 383
16.6 Gauß Kubaturformeln für Rechteckbereiche 386
16.7 Gauß Kubaturformeln für Dreieckbereiche 388
16.7.1 Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten 388
16.7.2 Dreiecke in allgemeiner Lage 389
16.8 Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals mit
bikubischen Splines 390
16.9 Entscheidungshilfen 391
17 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 393
17.1 Problemstellung 393
17.2 Prinzip der numerischen Verfahren 394
17.3 Einschrittverfahren 396
17.3.1 Das Polygonzugverfahren von Euler Cauchy 396
17.3.2 Das verbesserte Euler Cauchy Verfahren 397
XXIII
17.3.3 Praediktor Korrektor Verfahren von Heun 398
17.3.4 Explizite Runge Kutta Verfahren 400
17.3.4.1 Konstruktion von Runge Kutta Verfahren 400
17.3.4.2 Klassisches Runge Kutta Verfahren 401
17.3.4.3 Zusammenstellung expliziter Runge Kutta Formeln 403
17.3.4.4 Einbettungsformeln 407
17.3.5 Implizite Runge Kutta Verfahren vom Gauß Typ 420
17.3.6 Gemeinsame Darstellug aller Einschrittverfahren.
Verfahrensfunktion eines Einschritt Verfahrens.
Konsistenz 422
17.3.7 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung 424
17.3.7.1 Fehlerschätzung 424
17.3.7.2 Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung,
adaptive Anfangswertproblemlöser 425
17.4 Mehrschrittverfahren 429
17.4.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 429
17.4.2 Das explizite Verfahren von Adams Bashforth 431
17.4.3 Das Praediktor Korrektor Verfahren von Adams Moulton . 433
17.4.4 Verfahren von Adams Störmer 437
17.4.5 Fehlerschätzungsformeln für Mehrschrittverfahren 439
17.4.6 Rechnungsfehler für Ein und Mehrschrittverfahren 440
17.5 Extrapolationsverfahren von Bulirsch Stoer Gragg 441
17.6 Stabilität 444
17.6.1 Vorbemerkungen 444
17.6.2 Stabilität der Differentialgleichung 445
17.6.3 Stabilität des numerischen Verfahrens 446
17.7 Steife Differentialgleichungssysteme 450
17.7.1 Problemstellung 450
17.7.2 Kriterien für Steifheit eines Systems 441
17.7.3 Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme . 442
17.8 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 457
18 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 463
18.1 Problemstellung 463
18.2 Zurückführung des Randwertproblems auf ein
Anfangswertproblem 464
XXIV
18.2.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen
zweiter Ordnung 464
18.2.2 Randwertprobleme für Systeme von Differential¬
gleichungen erster Ordnung 467
18.2.3 Mehrzielverfahren 468
18.3 Differenzenverfahren 472
18.3.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 472
18.3.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 478
18.3.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme
zu speziellen Randwertproblemen 480
18.3.4 Lineare Eigenwertprobleme 481
Anhang: QuickBASIC Programme 483
Verzeichnis der Programme nach Reihenfolge im Anhang 485
Alphabetisches Verzeichnis der Programmnamen 493
Vorwort zum Anhang 501
QuickBASIC Programme 503
Literaturverzeichnis 971
Literatur zu weiteren Themengebieten 989
Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen 989
Methode der Finiten Elemente 990
Sachwortverzeichnis 995 |
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