Repetitorium der höheren Mathematik: [über 1200 Beispiele und Aufgaben ; Bachelor, Diplom, Lehramt, Fachhochschulen, Universitäten, Ingenieure,,Mathematiker, Physiker]
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| New Title: | Repetitorium höhere Mathematik |
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| Language: | German |
| Published: |
Springe
Binomi
2006
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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|---|---|
| adam_text | 6 INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
Fl Formelsammlung
F2 Formelsammlung
Alphabete 11
Zeichenindex 12
1 Grundbegriffe 14
1.1 Logische Grundlagen, Aussagen 14
1.2 Mathematische Grundlagen, Mengen 17
1.3 Vollständige Induktion 20
1.4 Kartesische Produkte 23
1.5 Abbildungen, Funktionen 24
1.6 Umkehrfunktionen 29
1.7 Einsetzen (Verketten, Substituieren) von Funktionen 31
1.8 Gerade, ungerade Funktionen 32
1.9 Grenzwerte von Funktionen 35
1.10 Stetige Funktionen 37
1.11 Aufgaben 40
1.12 Lösungen 41
2 Reelle Zahlen 44
2.1 Brüche, Potenzen, Wurzeln 44
2.2 Fakultät, Binomialkoemzienten 45
2.3 Ungleichungen, Beträge 47
2.4 Aufgaben 54
2.5 Lösungen 55
3 Elementare Funktionen 59
3.1 Polynome, ganze rationale Funktionen 59
3.1.1 Grundsätzlicher Verlauf, Verhalten im Unendlichen 59
3.1.2 Nullstellen, Linearfaktoren 60
3.1.3 Zerlegung reeller Polynome 62
3.1.4 Polynome 2-ten Grades, quadratische Gleichungen 64
3.1.5 Interpolation 65
3.1.6 HORNER-Schema 66
3.2 Rationale Funktionen 67
3.3 Trigonometrische Funktionen 75
3.4 Inveree trigonometrische Funktionen 77
3.5 Schwingungen 78
3.6 Schwingungen, komplexe Rechnung 81
3.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen 85
3.8 Hyperbelfunktionen 88
3.9 Inverse Hyperbelfunktionen, Area-Funktionen 89
INHALTSVERZEICHNIS 7
3.10 Potenzfunktionen 91
3.11 Aufgaben 91
3.12 Lösungen 91
4 Komplexe Zahlen 93
4.1 Zahlenebene 93
4.2 Betrag, Abstand, Einheitskreis 97
4.3 Konjugiert komplexe Zahl 98
4.4 Multiplikation und Division, Potenzen 99
4.5 Wurzeln aus komplexen Zahlen, Formel von Moivre 103
4.6 Quadratische Gleichungen 108
4.7 Die komplexe Exponentialfunktion 111
4.8 Die komplexe Logarithmusfunktion 113
4.9 Aufgaben 114
4.10 Lösungen 116
5 Vektorrechnung 120
5.1 Rechnen mit Vektoren 120
5.2 Vektoren in Koordinatendarstellung 121
5.3 Linear abhängig, linear unabhängig, lineare Hülle 123
5.4 Skalarprodukt 127
5.5 Vektorprodukt 133
5.6 Spatprodukt 136
5.7 Geraden im Raum 137
5.8 Ebenen im Raum 145
5.9 Vektorielle Beweise 155
5.10 Aufgaben 159
5.11 Lösungen 162
6 Matrizen 166
6.1 Bezeichnungen 166
6.2 Rechnen mit Matrizen 167
6.3 Rang einer Matrix 170
6.4 Quadratische Matrizen 172
6.5 Inverse Matrix 175
6.6 Matrizen und Basen 178
6.7 Orthogonale Matrizen, kartesische Basen 180
6.8 Koordinatenvektoren 181
7 Determinanten 183
7.1 Entwicklung nach Zeilen und Spalten 183
7.2 Elementare Umformungen 186
7.3 Flachenberechnung, Orientierung 187
7.4 Cramersche Regel 188
8 INHALTSVERZEICHNIS
8 Lineare Abbildungen und Matrizen 189
8.1 Lineare Abbildungen und Matrizen 189
8.2 Abbildungsmatrix Mg( p) 194
8.3 Abbildungsmatrix M^(id) 198
8.4 Nacheinanderausführen linearer Abbildungen, M^{^ o p) 199
8.5 Abbildungsmatrix bei spezieller Basis M $ ( p) 201
8.6 Drehungen und Drehmatrizen 205
9 Eigenwerte, Eigenvektoren 209
9.1 Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume 209
9.2 Diagonalisierung, symmetrische Matrizen 215
10 Hauptachsentransformation 219
10.1 Kegelschnitte, Kurven zweiter Ordnung 219
10.2 Quadriken, Flächen zweiter Ordnung 224
10.3 Kurven/Flächen zweiter Ordnung in allgemeiner Lage 227
10.4 Klassifizierung, Kurven/Flächen zweiter Ordnung 240
10.5 Aufgaben 241
10.6 Lösungen 241
11 Lineare Gleichungssysteme 244
11.1 Gaußsches Eliminationsverfahren 245
11.2 Lineare Gleichungssysteme mit Parameter 253
11.3 Aufgaben 256
11.4 Lösungen 257
12 Differentialrechnung 260
12.1 Differenzierbarkeit 260
12.2 Rechnen mit differenzierbaren Funktionen 264
, 12.3 Höhere Ableitungen 266
12.4 Implizites Differenzieren 267
12.5 Extremwerte von Funktionen einer Veränderlichen 268
12.6 Grenzwertbestimmung, unbestimmte Ausdrücke 273
12.7 Näherungsweise Nullstellenbestimmung 278
12.8 Aufgaben 279
12.9 Lösungen 281
13 Integralrechnung 285
13.1 Das unbestimmte Integral 285
13.1.1 Rechnen mit
unbestimmten Integralen 285
13.1.2 Integration durch Substitution 286
13.1.3 Partielle Integration 288
13.1.4 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung) . 289
13.1.5 Integration einiger nicht rationaler Funktionen 292
INHALTSVERZEICHNIS 9
13.2 Das bestimmte Integral 300
13.2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 301
13.2.2 Integration durch Substitution, partielle Integration .... 303
13.2.3 Flächenberechnung 305
13.2.4 Das bestimmte Integral als Funktion seiner oberen Grenze . 308
13.3 Uneigentliche Integrale 311
13.4 Aufgaben 319
13.5 Losungen 321
14 Folgen und Reihen 328
14.1 Zahlenfolgen 328
14.2 Numerische Reihen 335
14.3 Potenzreihen 344
14.4 Taylorreihen 354
14.5 Fourierreihen . 360
14.6 Aufgaben 365
14.7 Lösungen 366
15 Funktionen mehrerer Veränderlicher 369
15.1 Flächen im Raum, Niveaulinien, Blockbild 369
15.2 Stetigkeit 370
15.3 Differenzierbarkeit 373
15.3.1 Partielle Ableitungen, Gradient 373
15.3.2 Differenzierbarkeit, Ableitung (Gradient, Jacobi-Matrix). . 375
15.3.3 Kettenregel 380
15.3.4 Tangentialebene, totales Differential 383
15.4 Richtungsableitung 385
15.5 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 388
15.6 Implizite Funktionen 389
15.6.1 Explizite, implizite Funktionen, lokale Auflösung 389
15.6.2 Ableitung impliziter Funktionen 390
15.7 Taylorentwicklung von w=f(x,y) 395
15.8 Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher 399
15.9 Extremwerte unter Nebenbedingungen 406
15.10DifFerentiation und Integration 410
15.11Aufgaben 413
15.12Lösungen 415
16 Differentialgleichungen 418
16.1 Explizite DGL 1. Ordnung 418
16.2 DGL mit getrennten Variablen 426
16.3 Lineare DGL l.Ordnung 431
16.4 Elementar integrierbare implizite DGLn l.Ordnung 435
16.5 Einige spezielle DGLn 2.Ordnung 437
10 INHALTSVERZEICHNIS
16.6 Lineare DGL n-ter Ordnung 439
16.6.1 Homogene lineare DGL n-ter Ordnung 440
16.6.2 Inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung 444
16.7 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 448
16.8 Schwingungs-DGL 454
16.9 Eulersche DGL 457
16.10Potenzreihenansatz 458
16.11DGL-Systeme 461
16.12Lineare Systeme 462
16.13Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 469
16.13.1 Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . .469
16.13.2Inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . 476
16.14Eliminationsmethode für lineare DGL-Systeme 478
16.15Aufgaben 481
16.16Lösungen 482
17 Mehrfache Integrale 485
17.1 Doppelintegrale 485
17.2 Dreifache Integrale 490
17.3 Aufgaben 496
17.4 Lösungen 498
18 Vektoranalysis 499
18.1 Kurven in der Ebene 499
18.2 Kurven im Raum 506
18.3 Flächen im Raum 511
18.4 Skalar- und Vektorfelder 522
18.4.1 Differentialoperatoren: Gradient, Divergenz, Rotation, Nabla 523
18.4.2 Felddarstellungen in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten530
• 18.5 Kurvenintegrale, Linienintegrale 538
18.6 Oberflächenintegrale 546
18.7 Integralsätze der Vektoranalysis 550
18.8 Aufgaben 556
18.9 Lösungen 557
19 Anhang 559
19.1 Ellipse 559
19.2 Hyperbel 560
19.3 Parabel 562
19.4 Kreis 564
19.5 Finanzmathematik 565
F3 Formelsammlung
F4 Formelsammlung
|
| adam_txt |
6 INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
Fl Formelsammlung
F2 Formelsammlung
Alphabete 11
Zeichenindex 12
1 Grundbegriffe 14
1.1 Logische Grundlagen, Aussagen 14
1.2 Mathematische Grundlagen, Mengen 17
1.3 Vollständige Induktion 20
1.4 Kartesische Produkte 23
1.5 Abbildungen, Funktionen 24
1.6 Umkehrfunktionen 29
1.7 Einsetzen (Verketten, Substituieren) von Funktionen 31
1.8 Gerade, ungerade Funktionen 32
1.9 Grenzwerte von Funktionen 35
1.10 Stetige Funktionen 37
1.11 Aufgaben 40
1.12 Lösungen 41
2 Reelle Zahlen 44
2.1 Brüche, Potenzen, Wurzeln 44
2.2 Fakultät, Binomialkoemzienten 45
2.3 Ungleichungen, Beträge 47
2.4 Aufgaben 54
2.5 Lösungen 55
3' Elementare Funktionen 59
3.1 Polynome, ganze rationale Funktionen 59
3.1.1 Grundsätzlicher Verlauf, Verhalten im Unendlichen 59
3.1.2 Nullstellen, Linearfaktoren 60
3.1.3 Zerlegung reeller Polynome 62
3.1.4 Polynome 2-ten Grades, quadratische Gleichungen 64
3.1.5 Interpolation 65
3.1.6 HORNER-Schema 66
3.2 Rationale Funktionen 67
3.3 Trigonometrische Funktionen 75
3.4 Inveree trigonometrische Funktionen 77
3.5 Schwingungen 78
3.6 Schwingungen, komplexe Rechnung 81
3.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen 85
3.8 Hyperbelfunktionen 88
3.9 Inverse Hyperbelfunktionen, Area-Funktionen 89
INHALTSVERZEICHNIS 7
3.10 Potenzfunktionen 91
3.11 Aufgaben 91
3.12 Lösungen 91
4 Komplexe Zahlen 93
4.1 Zahlenebene 93
4.2 Betrag, Abstand, Einheitskreis 97
4.3 Konjugiert komplexe Zahl 98
4.4 Multiplikation und Division, Potenzen 99
4.5 Wurzeln aus komplexen Zahlen, Formel von Moivre 103
4.6 Quadratische Gleichungen 108
4.7 Die komplexe Exponentialfunktion 111
4.8 Die komplexe Logarithmusfunktion 113
4.9 Aufgaben 114
4.10 Lösungen 116
5 Vektorrechnung 120
5.1 Rechnen mit Vektoren 120
5.2 Vektoren in Koordinatendarstellung 121
5.3 Linear abhängig, linear unabhängig, lineare Hülle 123
5.4 Skalarprodukt 127
5.5 Vektorprodukt 133
5.6 Spatprodukt 136
5.7 Geraden im Raum 137
5.8 Ebenen im Raum 145
5.9 Vektorielle Beweise 155
5.10 Aufgaben 159
5.11 Lösungen 162
6 Matrizen 166
6.1 Bezeichnungen 166
6.2 Rechnen mit Matrizen 167
6.3 Rang einer Matrix 170
6.4 Quadratische Matrizen 172
6.5 Inverse Matrix 175
6.6 Matrizen und Basen 178
6.7 Orthogonale Matrizen, kartesische Basen 180
6.8 Koordinatenvektoren 181
7 Determinanten 183
7.1 Entwicklung nach Zeilen und Spalten 183
7.2 Elementare Umformungen 186
7.3 Flachenberechnung, Orientierung 187
7.4 Cramersche Regel 188
8 INHALTSVERZEICHNIS
8 Lineare Abbildungen und Matrizen 189
8.1 Lineare Abbildungen und Matrizen 189
8.2 Abbildungsmatrix Mg( p) 194
8.3 Abbildungsmatrix M^(id) 198
8.4 Nacheinanderausführen linearer Abbildungen, M^{^ o p) 199
8.5 Abbildungsmatrix bei spezieller Basis M\$ ( p) 201
8.6 Drehungen und Drehmatrizen 205
9 Eigenwerte, Eigenvektoren 209
9.1 Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume 209
9.2 Diagonalisierung, symmetrische Matrizen 215
10 Hauptachsentransformation 219
10.1 Kegelschnitte, Kurven zweiter Ordnung 219
10.2 Quadriken, Flächen zweiter Ordnung 224
10.3 Kurven/Flächen zweiter Ordnung in allgemeiner Lage 227
10.4 Klassifizierung, Kurven/Flächen zweiter Ordnung 240
10.5 Aufgaben 241
10.6 Lösungen 241
11 Lineare Gleichungssysteme 244
11.1 Gaußsches Eliminationsverfahren 245
11.2 Lineare Gleichungssysteme mit Parameter 253
11.3 Aufgaben 256
11.4 Lösungen 257
12 Differentialrechnung 260
12.1 Differenzierbarkeit 260
12.2 Rechnen mit differenzierbaren Funktionen 264
, 12.3 Höhere Ableitungen 266
12.4 Implizites Differenzieren 267
12.5 Extremwerte von Funktionen einer Veränderlichen 268
12.6 Grenzwertbestimmung, unbestimmte Ausdrücke 273
12.7 Näherungsweise Nullstellenbestimmung 278
12.8 Aufgaben 279
12.9 Lösungen 281
13 Integralrechnung 285
13.1 Das unbestimmte Integral 285
13.1.1 Rechnen mit
unbestimmten Integralen 285
13.1.2 Integration durch Substitution 286
13.1.3 Partielle Integration 288
13.1.4 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung) . 289
13.1.5 Integration einiger nicht rationaler Funktionen 292
INHALTSVERZEICHNIS 9
13.2 Das bestimmte Integral 300
13.2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 301
13.2.2 Integration durch Substitution, partielle Integration . 303
13.2.3 Flächenberechnung 305
13.2.4 Das bestimmte Integral als Funktion seiner oberen Grenze . 308
13.3 Uneigentliche Integrale 311
13.4 Aufgaben 319
13.5 Losungen 321
14 Folgen und Reihen 328
14.1 Zahlenfolgen 328
14.2 Numerische Reihen 335
14.3 Potenzreihen 344
14.4 Taylorreihen 354
14.5 Fourierreihen . 360
14.6 Aufgaben 365
14.7 Lösungen 366
15 Funktionen mehrerer Veränderlicher 369
15.1 Flächen im Raum, Niveaulinien, Blockbild 369
15.2 Stetigkeit 370
15.3 Differenzierbarkeit 373
15.3.1 Partielle Ableitungen, Gradient 373
15.3.2 Differenzierbarkeit, Ableitung (Gradient, Jacobi-Matrix). . 375
15.3.3 Kettenregel 380
15.3.4 Tangentialebene, totales Differential 383
15.4 Richtungsableitung 385
15.5 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 388
15.6 Implizite Funktionen 389
15.6.1 Explizite, implizite Funktionen, lokale Auflösung 389
15.6.2 Ableitung impliziter Funktionen 390
15.7 Taylorentwicklung von w=f(x,y) 395
15.8 Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher 399
15.9 Extremwerte unter Nebenbedingungen 406
15.10DifFerentiation und Integration 410
15.11Aufgaben 413
15.12Lösungen 415
16 Differentialgleichungen 418
16.1 Explizite DGL 1. Ordnung 418
16.2 DGL mit getrennten Variablen 426
16.3 Lineare DGL l.Ordnung 431
16.4 Elementar integrierbare implizite DGLn l.Ordnung 435
16.5 Einige spezielle DGLn 2.Ordnung 437
10 INHALTSVERZEICHNIS
16.6 Lineare DGL n-ter Ordnung 439
16.6.1 Homogene lineare DGL n-ter Ordnung 440
16.6.2 Inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung 444
16.7 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 448
16.8 Schwingungs-DGL 454
16.9 Eulersche DGL 457
16.10Potenzreihenansatz 458
16.11DGL-Systeme 461
16.12Lineare Systeme 462
16.13Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 469
16.13.1 Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . .469
16.13.2Inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . 476
16.14Eliminationsmethode für lineare DGL-Systeme 478
16.15Aufgaben 481
16.16Lösungen 482
17 Mehrfache Integrale 485
17.1 Doppelintegrale 485
17.2 Dreifache Integrale 490
17.3 Aufgaben 496
17.4 Lösungen 498
18 Vektoranalysis 499
18.1 Kurven in der Ebene 499
18.2 Kurven im Raum 506
18.3 Flächen im Raum 511
18.4 Skalar- und Vektorfelder 522
18.4.1 Differentialoperatoren: Gradient, Divergenz, Rotation, Nabla 523
18.4.2 Felddarstellungen in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten530
• 18.5 Kurvenintegrale, Linienintegrale 538
18.6 Oberflächenintegrale 546
18.7 Integralsätze der Vektoranalysis 550
18.8 Aufgaben 556
18.9 Lösungen 557
19 Anhang 559
19.1 Ellipse 559
19.2 Hyperbel 560
19.3 Parabel 562
19.4 Kreis 564
19.5 Finanzmathematik 565
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