Zahlentheorie:
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|---|---|
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I Teilbarkeit ganzer Zahlen
1.1 Die Teiler einer ganzen Zahl 5
1.2 Primzahlen 7
1.3 Primfaktorzerlegung 12
1.4 Eine Formel von Legendre und die Sätze von Tschebyscheff 19
1.5 Irrationalitätsbeweise 25
1.6 Der größte gemeinsame Teiler 21
1.7 Das kleinste gemeinsame Vielfache 32
1.8 Kettenbrüche 36
1.9 Periodische Kettenbrüche ^6
1.10 Farey Folgen 52
1.11 Die Folge der Fibonacci Zahlen 57
1.12 Aufgaben 65
1.13 Lösungen der Aufgaben 13
II Integritätsbereiche
II. 1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen 83
11.2 Euklidische Ringe 89
11.3 Die ganzen gaußschen Zahlen 94
11.4 Ganzalgebraische Zahlen zweiten Grades 100
11.5 Die pellsche Gleichung 104
11.6 Aufgaben 110
11.7 Lösungen der Aufgaben 113
III Restklassen
ULI Kongruenzen und Restklassen 119
111.2 Teilbarkeitskriterien 121
111.3 Der Satz von Fermat 125
111.4 Primitive Restklassen 132
II 1.5 Dezimalbrüche 138
111.6 Ewiger Kalender 143
111.7 Magische Quadrate 145
111.8 Primzahlkriterien und Pseudoprimzahlen 151
111.9 Mersennesche und ferniatsche Primzahlen (1) 155
III. 10 Aufgaben 158
III. 11 Lösungen der Aufgaben 162
VI
IV Zahlentheoretische Algorithmen in der Kryptographie
IV. 1 Algorithmen und Komplexität 169
IV.2 Langzahl und Restklassenaritlmietik 174
IV.3 Schnelle Multiplikation 184
IV.4 Kommunikation. Kodierung. Kryptographie 188
IV.5 Diskreter Logarithmus. Diffie Hellmami Protokoll, ElGamal Chiffre 193
IV.6 Faktorisierung, RSA und Rabin Chiffre 206
IV.7 Aufgaben 219
IV.8 Lösungen der Aufgaben 223
V Kongruenzen und diophantische Gleichungen
V.l Lineare diophantische Gleichungen und Kongruenzen 229
V.2 Quadratische diophantische Gleichungen und Kongruenzen 236
V.3 Quadratische Reste 238
VA Mersennesche und fermatsche Primzahlen (2) 247
V.5 Darstellung von Zahlen als Quadratsummen 251
V.6 Pythagoräische Zahlentripel; die fermatsche Vermutung 260
V.l Rationale Punkte auf algebraischen Kurven 269
V.8 Binäre quadratische Formen 273
V.9 Ternäre quadratische Formen; der Drei Quadrate Satz 283
V.10 Figurierte Zahlen 288
V.ll Der Gitterpunktsatz von Minkowski 291
V.12 Aufgaben 296
V.13 Lösungen der Aufgaben 304
VI Zahlentheoretische Funktionen
VI.1 Das Dirichlet Produkt 315
VI.2 Multiplikative Funktionen 320
VI.3 Dirichlet Rcihen 323
VI.4 Mittelwerte zahlentheoretischer Funktionen 329
VI.5 Weitere Produkte zahlentheoretischer Funktionen 336
VI.6 Die Teilersummenfunktion 342
VI.7 Aufgaben 352
VI.8 Lösungen der Aufgaben 357
VII Der Primzahlsatz
VII. 1 Der Primzahlsatz und der dirichletsche Primzahlsatz 365
VII.2 Die selbergsche Formel 367
VII.3 Der Beweis des Primzahlsatzes 372
VII.4 Anmerkungen. Folgerungen 378
VI 1.5 Primzahlen in arithmetischen Progressionen (1) 382
VII.G Zufallsprimzahlen 394
VII.7 Aufgaben 399
VII.8 Lösungen der Aufgaben 401
VII
VIII Elemente der Additiven Zahlentheorie
VIII. 1 Problemstellungen der Additiven Zahlentheorie 405
VIII.2 Partitionen 406
VIII.3 Ein spezielles Partitionsproblem 418
VIII.4 Anzahl der Darstellungen als Quadiatsummen 426
VIII.5 Die Dichte einer Menge natürlicher Zahlen 433
VIII.6 Der Satz von Goldbach Schnirelmann 443
VIII.7 Der Satz von Waring Hilbert 446
VIII.8 Wesentliche Komponenten 454
VIII.9 Das Münzenproblem und das Briefmarkenproblem 458
VIII. 10 Aufgaben 468
VIII. 11 Lösungen der Aufgaben 470
IX Siebmethoden
IX. 1 Allgemeine Bemerkungen über Siebverfahren 479
IX.2 Die Siebmethode von Seiberg 476
IX.3 Primzahlen in arithmetischen Progressionen (2) 481
IX.4 Primzahlzwillinge 484
IX.5 Zur goldbachschen Vermutung 486
IX.6 Quadratsiimmen 489
IX.7 Stammbruchsummen 491
IX.8 Aufgaben 496
IX.9 Lösungen der Aufgaben 497
Literatur 499
Symbolverzeichnis 503
Namensverzeichnis 505
Sachverzeichnis 506 |
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I Teilbarkeit ganzer Zahlen
1.1 Die Teiler einer ganzen Zahl 5
1.2 Primzahlen 7
1.3 Primfaktorzerlegung 12
1.4 Eine Formel von Legendre und die Sätze von Tschebyscheff 19
1.5 Irrationalitätsbeweise 25
1.6 Der größte gemeinsame Teiler 21
1.7 Das kleinste gemeinsame Vielfache 32
1.8 Kettenbrüche 36
1.9 Periodische Kettenbrüche ^6
1.10 Farey Folgen 52
1.11 Die Folge der Fibonacci Zahlen 57
1.12 Aufgaben 65
1.13 Lösungen der Aufgaben 13
II Integritätsbereiche
II. 1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen 83
11.2 Euklidische Ringe 89
11.3 Die ganzen gaußschen Zahlen 94
11.4 Ganzalgebraische Zahlen zweiten Grades 100
11.5 Die pellsche Gleichung 104
11.6 Aufgaben 110
11.7 Lösungen der Aufgaben 113
III Restklassen
ULI Kongruenzen und Restklassen 119
111.2 Teilbarkeitskriterien 121
111.3 Der Satz von Fermat 125
111.4 Primitive Restklassen 132
II 1.5 Dezimalbrüche 138
111.6 Ewiger Kalender 143
111.7 Magische Quadrate 145
111.8 Primzahlkriterien und Pseudoprimzahlen 151
111.9 Mersennesche und ferniatsche Primzahlen (1) 155
III. 10 Aufgaben 158
III. 11 Lösungen der Aufgaben 162
VI
IV Zahlentheoretische Algorithmen in der Kryptographie
IV. 1 Algorithmen und Komplexität 169
IV.2 Langzahl und Restklassenaritlmietik 174
IV.3 Schnelle Multiplikation 184
IV.4 Kommunikation. Kodierung. Kryptographie 188
IV.5 Diskreter Logarithmus. Diffie Hellmami Protokoll, ElGamal Chiffre 193
IV.6 Faktorisierung, RSA und Rabin Chiffre 206
IV.7 Aufgaben 219
IV.8 Lösungen der Aufgaben 223
V Kongruenzen und diophantische Gleichungen
V.l Lineare diophantische Gleichungen und Kongruenzen 229
V.2 Quadratische diophantische Gleichungen und Kongruenzen 236
V.3 Quadratische Reste 238
VA Mersennesche und fermatsche Primzahlen (2) 247
V.5 Darstellung von Zahlen als Quadratsummen 251
V.6 Pythagoräische Zahlentripel; die fermatsche Vermutung 260
V.l Rationale Punkte auf algebraischen Kurven 269
V.8 Binäre quadratische Formen 273
V.9 Ternäre quadratische Formen; der Drei Quadrate Satz 283
V.10 Figurierte Zahlen 288
V.ll Der Gitterpunktsatz von Minkowski 291
V.12 Aufgaben 296
V.13 Lösungen der Aufgaben 304
VI Zahlentheoretische Funktionen
VI.1 Das Dirichlet Produkt 315
VI.2 Multiplikative Funktionen 320
VI.3 Dirichlet Rcihen 323
VI.4 Mittelwerte zahlentheoretischer Funktionen 329
VI.5 Weitere Produkte zahlentheoretischer Funktionen 336
VI.6 Die Teilersummenfunktion 342
VI.7 Aufgaben 352
VI.8 Lösungen der Aufgaben 357
VII Der Primzahlsatz
VII. 1 Der Primzahlsatz und der dirichletsche Primzahlsatz 365
VII.2 Die selbergsche Formel 367
VII.3 Der Beweis des Primzahlsatzes 372
VII.4 Anmerkungen. Folgerungen 378
VI 1.5 Primzahlen in arithmetischen Progressionen (1) 382
VII.G Zufallsprimzahlen 394
VII.7 Aufgaben 399
VII.8 Lösungen der Aufgaben 401
VII
VIII Elemente der Additiven Zahlentheorie
VIII. 1 Problemstellungen der Additiven Zahlentheorie 405
VIII.2 Partitionen 406
VIII.3 Ein spezielles Partitionsproblem 418
VIII.4 Anzahl der Darstellungen als Quadiatsummen 426
VIII.5 Die Dichte einer Menge natürlicher Zahlen 433
VIII.6 Der Satz von Goldbach Schnirelmann 443
VIII.7 Der Satz von Waring Hilbert 446
VIII.8 Wesentliche Komponenten 454
VIII.9 Das Münzenproblem und das Briefmarkenproblem 458
VIII. 10 Aufgaben 468
VIII. 11 Lösungen der Aufgaben 470
IX Siebmethoden
IX. 1 Allgemeine Bemerkungen über Siebverfahren 479
IX.2 Die Siebmethode von Seiberg 476
IX.3 Primzahlen in arithmetischen Progressionen (2) 481
IX.4 Primzahlzwillinge 484
IX.5 Zur goldbachschen Vermutung 486
IX.6 Quadratsiimmen 489
IX.7 Stammbruchsummen 491
IX.8 Aufgaben 496
IX.9 Lösungen der Aufgaben 497
Literatur 499
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