Mathematik für Ahnungslose: eine Einstiegshilfe für Studierende
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Stuttgart
Hirzel
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XII, 227 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 377761386X 9783777613864 |
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|---|---|
| adam_text | VII
Inhaltsverzeichnis
Vorwort .....................................................
Verzeichnis mathematischer Symbole.................................. XII
1 Grundlagen ............................................ 1
1.1 Maßeinheiten und ihre Umwandlungen ........................... 1
1.2 Bruchzahlen ............................................ 2
1.3 Dreisatzrechnung......................................... 3
1.4 Binomische Formeln ....................................... 5
1.5 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
1.5.1 Der Satz des
1.5.2 Der Kathetensatz ......................................... 8
1.5.3 Der Höhensatz........................................... 9
1.6 Trigonometrie........................................... 10
1.6.1 Sinus, Kosinus, Tangens für den Bereich 0°<o<360 ................... 10
1.6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck.......................... 11
1.6.3 Berechnungen an beliebigen Dreiecken ........................... 14
1.6.3.1 Der Sinussatz ........................................... 14
1.6.3.2 Der Kosinussatz.......................................... 17
1.7 Flächenberechnung an Vielecken ............................... 19
1.7.1 Quadrat (a ||
1.7.2 Rechteck (a ||
1.7.3 Parallelogramm (a ||
1.7.4 Allgemeines Viereck ....................................... 20
1.7.5 Trapez (a || c) ........................................... 20
1.7.6 Dreiecke............................................... 21
1.7.6.1 Allgemeines Dreieck ....................................... 21
1.7.6.2 Rechtwinkliges Dreieck (7 = 90°)............................... 21
1.7.7 Kreis (r- Radius) ......................................... 22
1.7.7.1 Kreisring (ri > r2) ........................................ 22
1.7.7.2 Kreisbogen/ausschnitt (Sektor) ............................... 22
1.7.8 Regelmäßiges n-Eck ....................................... 23
1.8 Berechnungen an Körpern.................................... 23
1.8.1 Würfel................................................ 23
1.8.2 Quader................................................ 24
1.8.3 Prisma................................................ 24
1.8.4 Kreiszylinder............................................ 24
1.8.5 Pyramide.............................................. 25
1.8.6 Pyramidenstumpf......................................... 26
1.8.7 Kegel ................................................ 26
1.8.8 Kegelstumpf............................................ 27
1.8.9 Kugel ................................................ 27
1.8.10 Regelmäßige Polyeder...................................... 27
1.8.10.1 Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke) ............................. 27
Inhaltsverzeichnis
1.8.10.2 Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke).............................. 28
1.8.10.3 Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke) ............................ 28
1.8.10.4 Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke) ........................... 28
1.9 Potenzen/Wurzeln ........................................ 29
1.9.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten........................... 29
1.9.2 Potenzen mit rationalen Exponenten............................. 29
1.10 Logarithmen............................................ 30
2
2.1 Funktionen............................................. 32
2.1.1 Definition von Funktionen................................... 32
2.1.2 Lineare Funktionen........................................ 32
2.1.2.1 Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen.......................... 36
2.1.3 Quadratische Funktionen.................................... 37
2.1.3.1 Eigenschaften der quadratischen Funktiony = x2;
2.1.3.2 Eigenschaften der quadratischen Funktion mity-ax2;
2.1.3.3 Eigenschaften der quadratischen Funktion mity = x2 + c;
2.1.3.4 Eigenschaften der quadratischen Funktion
2.1.3.5 Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen der Form x2 + bx + c= 0 ....... 41
2.1.4 Potenzfunktionen - Funktionen höherer Ordnung..................... 42
2.1.4.1 Eigenschaften der Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten .......... 45
2.1.4.2 Eigenschaften der Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten ... 47
2.1.4.3 Eigenschaften der Wurzelfunktionen
2.1.4.4 Lösen von Gleichungen höherer Ordnung .......................... 50
2.1.5
2.1.5.1 Exponentialfunktionen ..................................... 52
2.1.5.1.1 Eigenschaften der Exponentialfunktionen.......................... 53
2.1.5.2 Logarithmusfunktionen..................................... 53
2.1.5.2.1 Eigenschaften der Logarithmusfunktion........................... 53
2.2 Differenzialrechnung ...................................... 54
2.2.1 Grenzwerte............................................. 54
2.2.1.1 Grenzwerte einer Funktion für |x| ^ oo........................... 54
2.2.1.2 Grenzwerte einer Funktion fürx —>
2.2.2 Stetigkeit ............................................. 58
2.2.3 Differenzierbarkeit und Ableitung............................... 61
2.2.3.1 Ableitungsregeln......................................... 63
2.3 Bausteine einer Kurvendiskussion .............................. 66
2.3.1 Definitionsbereich/Wertebereich einer Funktion - Definitionslücken......... 66
2.3.1.1 Definitionsbereich/Wertebereich............................... 66
2.3.1.2 Definitionslücken......................................... 66
2.3.2 Symmetrieeigenschaften einer Funktion........................... 68
2.3.3 Asymptoten - Näherungskurven................................ 69
2.3.3.1 Vertikale Asymptoten ...................................... 69
2.3.3.2 Horizontale und schiefe Asymptoten, Näherungskurven................. 70
2.3.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen......................... 71
Inhaltsverzeichnis
2.3.4.1 Schnittpunkt mit dery-Achse ................................ 71
2.3.4.2 Schnittpunkte mit der
2.3.5 Ableitungen ........................................... 73
2.3.6 Monotonie ............................................ 76
2.3.7 Extrempunkte .......................................... 77
2.3.7.1 Notwendige Bedingung für Extrempunkte......................... 77
2.3.7.2 Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Hochpunkt............. 78
2.3.7.3 Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Tiefpunkt ............. 79
2.3.7.4 Beispiel zur Bestimmung von relativen Extrempunkten................. 79
2.3.8 Wendepunkte .......................................... 80
2.3.8.1 Notwendige Bedingung für Wendepunkte ......................... 81
2.3.8.2 Hinreichende Bedingung für Wendepunkte ........................ 81
2.3.8.3 Beispiel zur Bestimmung von Wendepunkten....................... 82
2.3.9 Koeffizientenbestimmung................................... 83
2.4 Kurvendiskussion........................................ 87
2.4.1 Ganzrationale Funktionen................................... 87
2.4.2 Gebrochenrationale Funktionen............................... 93
2.4.3 Exponentialfunktionen .................................... 98
2.4.4 Trigonometrische Funktionen ................................ 102
2.4.5 Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
(Koeffizientenbestimmung) ................................. 104
2.5 Extremwertprobleme...................................... 107
2.5.1 Grundlagen............................................ 107
2.5.2 Extremwertprobleme
2.5.3 Extremwertprobleme
2.6 Differenzialgleichungen.................................... 113
2.6.1 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ....................... 113
2.6.2 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ... 116
2.7 Integralrechnung........................................ 120
2.7.1 Flächeninhaltsfunktion .................................... 120
2.7.2 Stammfunktion ......................................... 122
2.7.3 Integralfunktion - Flächenberechnung .......................... 125
2.7.4 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven ............................ 130
2.7.5 Partielle Integration - Produktintegration ........................ 135
2.7.6 Integration durch Substitution ............................... 137
2.7.7 Uneigentliche Integrale.................................... 138
2.7.8 Volumen eines Drehkörpers.................................. 139
2.8 Komplexe Zahlen ........................................ 141
2.8.1 Die Zahlenebene ........................................ 141
2.8.1.1 Darstellung in kartesischen Koordinaten.......................... 142
2.8.1.2 Darstellung in Polarkoordinaten............................... 143
2.8.1.3 Die
2.8.2 Betrag, Abstand, Einheitskreis................................ 146
2.8.3 Konjugierte komplexe Zahl.................................. 147
2.8.4 Multiplikation und Division komplexer Zahlen, Potenzen................ 148
Inhaltsverzeichnis
3 Lineare Algebra/Analytische
3.1 Vektoren ............................................. 151
3.1.1 Vektoren im Raum ....................................... 151
3.1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren.......................... 152
3.1.3 Vervielfachen von Vektoren.................................. 153
3.1.4 Mittelpunkt einer Strecke................................... 154
3.1.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren............................. 155
3.1.6 Betrag eines Vektors...................................... 157
3.2 Skalarproduktvon Vektoren ................................. 157
3.2.1 Das Skalarprodukt ....................................... 157
3.2.2 Rechenregeln für das Skalarprodukt ............................ 158
3.2.3 Winkel zwischen zwei Vektoren ............................... 159
3.2.4 Orthogonale und parallele Vektoren ............................ 160
3.3 Lineare Gleichungssysteme.................................. 161
3.3.1 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen........................ 161
3.3.1.1 Das Einsetzungsverfahren................................... 161
3.3.1.2 Das Gleichsetzungsverfahren................................. 163
3.3.1.3 Das Additionsverfahren.................................... 165
3.3.2 Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen - Gauß-Algorithmus........ 167
3.3.2.1 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung................... 167
3.3.2.2 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen . . . 170
3.3.3 Matrizen ............................................. 171
3.3.3.1 Addition von Matrizen..................................... 172
3.3.3.2 Vervielfachen von Matrizen.................................. 173
3.3.3.3 Multiplikation von Matrizen ................................. 173
3.3.4 Determinanten ......................................... 175
3.3.4.1 Determinante einer 2x2-Matrix ............................... 175
3.3.4.2 Determinante einer
3.3.4.2.1 Berechnung der Determinante einer
Unterdeterminanten...................................... 175
3.3.4.2.2 Berechnung der Determinanten einer
3.3.5 Lösen von linearen Gleichungssystemen mithilfe von Determinanten -
Cramer sche Regel ....................................... 178
3.4 Analytische Geometrie mit Geraden ............................ 180
3.4.1 Verschiedene Typen von Geradengleichungen ...................... 180
3.4.1.1 Parameterform einer Geraden ................................ 181
3.4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden .............................. 182
3.4.2 Lagebeziehungen von Punkten und Geraden ....................... 183
3.4.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden......................... 185
3.4.4 Lagebeziehungen von Geraden ............................... 186
3.4.5 Abstand windschiefer Geraden zueinander ........................ 190
3.5 Analytische Geometrie mit Ebenen............................. 193
3.5.1 Verschiedene Typen von Ebenengleichungen....................... 193
3.5.1.1 Parameterform einer Ebene................................. 193
3.5.1.2 Drei-Punkteform einer Ebene................................ 195
Inhaltsverzeichnis
3.5.1.3 Die Koordinatengleichung .................................. 196
3.5.1.4 Achsenabschnittsform einer Ebene............................. 197
3.5.1.5 Punkt-Normalenform einer Ebene.............................. 198
3.5.1.6 Hesse-Normalenform einer Ebene.............................. 201
3.5.2 Abstand eines Punktes von einer Ebene .......................... 204
3.5.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen........................ 205
3.5.4 Lagebeziehungen von zwei Ebenen............................. 208
3.6 Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln...................... 212
3.6.1 Gleichungen von Kreisen und Kugeln............................ 212
3.6.1.1 Gleichungen von Kreisen ................................... 212
3.6.1.2 Gleichungen von Kugeln.................................... 214
3.6.2 Lagebeziehungen von Geraden und Kreisen........................ 215
3.6.3 Schnittpunkte zweier Kreise ................................. 217
3.6.4 Lagebeziehungen von Geraden und Kugeln ........................ 219
3.6.5 Lagebeziehungen von Ebenen und Kugeln......................... 221
Stichwortverzeichnis............................................ 225
|
| adam_txt |
VII
Inhaltsverzeichnis
Vorwort .
Verzeichnis mathematischer Symbole. XII
1 Grundlagen . 1
1.1 Maßeinheiten und ihre Umwandlungen . 1
1.2 Bruchzahlen . 2
1.3 Dreisatzrechnung. 3
1.4 Binomische Formeln . 5
1.5 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
1.5.1 Der Satz des
1.5.2 Der Kathetensatz . 8
1.5.3 Der Höhensatz. 9
1.6 Trigonometrie. 10
1.6.1 Sinus, Kosinus, Tangens für den Bereich 0°<o<360". 10
1.6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck. 11
1.6.3 Berechnungen an beliebigen Dreiecken . 14
1.6.3.1 Der Sinussatz . 14
1.6.3.2 Der Kosinussatz. 17
1.7 Flächenberechnung an Vielecken . 19
1.7.1 Quadrat (a ||
1.7.2 Rechteck (a ||
1.7.3 Parallelogramm (a ||
1.7.4 Allgemeines Viereck . 20
1.7.5 Trapez (a || c) . 20
1.7.6 Dreiecke. 21
1.7.6.1 Allgemeines Dreieck . 21
1.7.6.2 Rechtwinkliges Dreieck (7 = 90°). 21
1.7.7 Kreis (r- Radius) . 22
1.7.7.1 Kreisring (ri > r2) . 22
1.7.7.2 Kreisbogen/ausschnitt (Sektor) . 22
1.7.8 Regelmäßiges n-Eck . 23
1.8 Berechnungen an Körpern. 23
1.8.1 Würfel. 23
1.8.2 Quader. 24
1.8.3 Prisma. 24
1.8.4 Kreiszylinder. 24
1.8.5 Pyramide. 25
1.8.6 Pyramidenstumpf. 26
1.8.7 Kegel . 26
1.8.8 Kegelstumpf. 27
1.8.9 Kugel . 27
1.8.10 Regelmäßige Polyeder. 27
1.8.10.1 Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke) . 27
Inhaltsverzeichnis
1.8.10.2 Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke). 28
1.8.10.3 Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke) . 28
1.8.10.4 Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke) . 28
1.9 Potenzen/Wurzeln . 29
1.9.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. 29
1.9.2 Potenzen mit rationalen Exponenten. 29
1.10 Logarithmen. 30
2
2.1 Funktionen. 32
2.1.1 Definition von Funktionen. 32
2.1.2 Lineare Funktionen. 32
2.1.2.1 Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen. 36
2.1.3 Quadratische Funktionen. 37
2.1.3.1 Eigenschaften der quadratischen Funktiony = x2;
2.1.3.2 Eigenschaften der quadratischen Funktion mity-ax2;
2.1.3.3 Eigenschaften der quadratischen Funktion mity = x2 + c;
2.1.3.4 Eigenschaften der quadratischen Funktion
2.1.3.5 Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen der Form x2 + bx + c= 0 . 41
2.1.4 Potenzfunktionen - Funktionen höherer Ordnung. 42
2.1.4.1 Eigenschaften der Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten . 45
2.1.4.2 Eigenschaften der Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten . 47
2.1.4.3 Eigenschaften der Wurzelfunktionen
2.1.4.4 Lösen von Gleichungen höherer Ordnung . 50
2.1.5
2.1.5.1 Exponentialfunktionen . 52
2.1.5.1.1 Eigenschaften der Exponentialfunktionen. 53
2.1.5.2 Logarithmusfunktionen. 53
2.1.5.2.1 Eigenschaften der Logarithmusfunktion. 53
2.2 Differenzialrechnung . 54
2.2.1 Grenzwerte. 54
2.2.1.1 Grenzwerte einer Funktion für |x| ^ oo. 54
2.2.1.2 Grenzwerte einer Funktion fürx —>
2.2.2 Stetigkeit . 58
2.2.3 Differenzierbarkeit und Ableitung. 61
2.2.3.1 Ableitungsregeln. 63
2.3 Bausteine einer Kurvendiskussion . 66
2.3.1 Definitionsbereich/Wertebereich einer Funktion - Definitionslücken. 66
2.3.1.1 Definitionsbereich/Wertebereich. 66
2.3.1.2 Definitionslücken. 66
2.3.2 Symmetrieeigenschaften einer Funktion. 68
2.3.3 Asymptoten - Näherungskurven. 69
2.3.3.1 Vertikale Asymptoten . 69
2.3.3.2 Horizontale und schiefe Asymptoten, Näherungskurven. 70
2.3.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. 71
Inhaltsverzeichnis
2.3.4.1 Schnittpunkt mit dery-Achse . 71
2.3.4.2 Schnittpunkte mit der
2.3.5 Ableitungen . 73
2.3.6 Monotonie . 76
2.3.7 Extrempunkte . 77
2.3.7.1 Notwendige Bedingung für Extrempunkte. 77
2.3.7.2 Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Hochpunkt. 78
2.3.7.3 Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Tiefpunkt . 79
2.3.7.4 Beispiel zur Bestimmung von relativen Extrempunkten. 79
2.3.8 Wendepunkte . 80
2.3.8.1 Notwendige Bedingung für Wendepunkte . 81
2.3.8.2 Hinreichende Bedingung für Wendepunkte . 81
2.3.8.3 Beispiel zur Bestimmung von Wendepunkten. 82
2.3.9 Koeffizientenbestimmung. 83
2.4 Kurvendiskussion. 87
2.4.1 Ganzrationale Funktionen. 87
2.4.2 Gebrochenrationale Funktionen. 93
2.4.3 Exponentialfunktionen . 98
2.4.4 Trigonometrische Funktionen . 102
2.4.5 Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
(Koeffizientenbestimmung) . 104
2.5 Extremwertprobleme. 107
2.5.1 Grundlagen. 107
2.5.2 Extremwertprobleme
2.5.3 Extremwertprobleme
2.6 Differenzialgleichungen. 113
2.6.1 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung . 113
2.6.2 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 116
2.7 Integralrechnung. 120
2.7.1 Flächeninhaltsfunktion . 120
2.7.2 Stammfunktion . 122
2.7.3 Integralfunktion - Flächenberechnung . 125
2.7.4 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven . 130
2.7.5 Partielle Integration - Produktintegration . 135
2.7.6 Integration durch Substitution . 137
2.7.7 Uneigentliche Integrale. 138
2.7.8 Volumen eines Drehkörpers. 139
2.8 Komplexe Zahlen . 141
2.8.1 Die Zahlenebene . 141
2.8.1.1 Darstellung in kartesischen Koordinaten. 142
2.8.1.2 Darstellung in Polarkoordinaten. 143
2.8.1.3 Die
2.8.2 Betrag, Abstand, Einheitskreis. 146
2.8.3 Konjugierte komplexe Zahl. 147
2.8.4 Multiplikation und Division komplexer Zahlen, Potenzen. 148
Inhaltsverzeichnis
3 Lineare Algebra/Analytische
3.1 Vektoren . 151
3.1.1 Vektoren im Raum . 151
3.1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren. 152
3.1.3 Vervielfachen von Vektoren. 153
3.1.4 Mittelpunkt einer Strecke. 154
3.1.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren. 155
3.1.6 Betrag eines Vektors. 157
3.2 Skalarproduktvon Vektoren . 157
3.2.1 Das Skalarprodukt . 157
3.2.2 Rechenregeln für das Skalarprodukt . 158
3.2.3 Winkel zwischen zwei Vektoren . 159
3.2.4 Orthogonale und parallele Vektoren . 160
3.3 Lineare Gleichungssysteme. 161
3.3.1 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen. 161
3.3.1.1 Das Einsetzungsverfahren. 161
3.3.1.2 Das Gleichsetzungsverfahren. 163
3.3.1.3 Das Additionsverfahren. 165
3.3.2 Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen - Gauß-Algorithmus. 167
3.3.2.1 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung. 167
3.3.2.2 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen . . . 170
3.3.3 Matrizen . 171
3.3.3.1 Addition von Matrizen. 172
3.3.3.2 Vervielfachen von Matrizen. 173
3.3.3.3 Multiplikation von Matrizen . 173
3.3.4 Determinanten . 175
3.3.4.1 Determinante einer 2x2-Matrix . 175
3.3.4.2 Determinante einer
3.3.4.2.1 Berechnung der Determinante einer
Unterdeterminanten. 175
3.3.4.2.2 Berechnung der Determinanten einer
3.3.5 Lösen von linearen Gleichungssystemen mithilfe von Determinanten -
Cramer'sche Regel . 178
3.4 Analytische Geometrie mit Geraden . 180
3.4.1 Verschiedene Typen von Geradengleichungen . 180
3.4.1.1 Parameterform einer Geraden . 181
3.4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden . 182
3.4.2 Lagebeziehungen von Punkten und Geraden . 183
3.4.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden. 185
3.4.4 Lagebeziehungen von Geraden . 186
3.4.5 Abstand windschiefer Geraden zueinander . 190
3.5 Analytische Geometrie mit Ebenen. 193
3.5.1 Verschiedene Typen von Ebenengleichungen. 193
3.5.1.1 Parameterform einer Ebene. 193
3.5.1.2 Drei-Punkteform einer Ebene. 195
Inhaltsverzeichnis
3.5.1.3 Die Koordinatengleichung . 196
3.5.1.4 Achsenabschnittsform einer Ebene. 197
3.5.1.5 Punkt-Normalenform einer Ebene. 198
3.5.1.6 Hesse-Normalenform einer Ebene. 201
3.5.2 Abstand eines Punktes von einer Ebene . 204
3.5.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen. 205
3.5.4 Lagebeziehungen von zwei Ebenen. 208
3.6 Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln. 212
3.6.1 Gleichungen von Kreisen und Kugeln. 212
3.6.1.1 Gleichungen von Kreisen . 212
3.6.1.2 Gleichungen von Kugeln. 214
3.6.2 Lagebeziehungen von Geraden und Kreisen. 215
3.6.3 Schnittpunkte zweier Kreise . 217
3.6.4 Lagebeziehungen von Geraden und Kugeln . 219
3.6.5 Lagebeziehungen von Ebenen und Kugeln. 221
Stichwortverzeichnis. 225 |
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