Lineare Algebra für das erste Semester:
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München [u.a.]
Pearson-Studium
2006
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|---|---|
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Inhaltsverzeichnis
Einige Worte vorab 9
Kapitel 1 Ein wenig Vorbereitung 13
1.1 Ein Vorrat an Buchstaben. 14
1.2 Mengen. 15
1.2.1 Allgemeines. 15
1.2.2 Wie aus bekannten Mengen neue entstehen. 17
1.2.3 Ein kleiner Zoo wichtiger Mengen. 18
1.2.4 Die Menge der komplexen Zahlen. 19
1.3 Abbildungen. 20
1.3.1 Was ist eine Abbildung?. 20
1.3.2 Verknüpfung von Abbildungen. 21
1.3.3 Einige Eigenschaften von Abbildungen. 22
1.4 Vom richtigen Umgang mit der Aussagenlogik. 22
Kapitel 2 Was ist Lineare Algebra und wofür wird sie verwendet? 27
Kapitel 3 Vektorräume und lineare Unabhängigkeit 33
3.1 Motivation. 34
3.2 Vektorräume. 35
3.3 Der Vektorraum der reellen Zahlen. 37
3.4 Der Vektorraum reellwertiger Funktionen auf
К
. 38
3.5 Linearkombinationen. 39
3.6 Aufgaben. 45
3.7 Lösungen. 46
Kapitel 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 51
4.1 Motivation. 52
4.2 Grundlagen zu linearen Abbildungen. 52
4.3 Kern und Bild. 54
4.4 Grundlegendes zu Matrizen. 56
4.5 Rechnen mit Matrizen. 59
4.5.1 Multiplikation von Matrizen. 59
4.5.2 Vektorraumstruktur für Matrizen. 61
4.6 Besondere Matrizen. 62
4.7 Aufgaben. 65
4.8 Lösungen. 66
Kapitel
5 Lineare Gleichungssysteme 71
5.1 Motivation und elementare Anwendungen. 72
5.2 Grundlagen. 74
5.3 Gauß-Algorithmus. 75
5.3.1 Abweichungen vom Idealfall. 77
5.4 Die Struktur der Lösungsmenge. 78
5.5 Zum Invertieren von Matrizen. 81
5.6 Aufgaben. 82
5.7 Lösungen. 83
Kapitel 6 Determinanten 87
6.1 Motivation. 88
6.2 Definition und Berechnung. 88
6.2.1 Berechnung für (2
χ
2)-Matrizen. 91
6.2.2 Berechnung für (3
χ
3)-Matrizen. 91
6.2.3 Dreiecksmatrizen. 92
6.3 Geometrische Interpretation. 92
6.3.1 Determinante als Volumenform. 92
6.3.2 Determinante und Orientierung. 93
6.3.3 Determinante und lineare Unabhängigkeit. 94
6.4 Rechenregeln für die Determinante. 95
6.5 Das Kreuzprodukt. 96
6.6 Aufgaben. 97
6.7 Lösungen. 98
Kapitel 7 Norm und Skalarprodukt 101
7.1 Motivation.102
7.2 Die Norm. 102
7.3 Das Skalarprodukt.105
7.4 Orthonormalisierimg nach Schmidt. 107
7.4.1 Das Verfahren.109
7.5 Aufgaben. 112
7.6 Lösungen. 113
Kapitel 8 Basiswechsel und darstellende Matrizen 117
8.1 Motivation.118
8.2 Koordinatenvektoren. 119
8.2.1 Das Geschehen am Diagramm. 120
8.3 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen.122
8.4 Matrixtransformation bei einem Basiswechsel.123
8.5 Aufgaben. 124
8.6 Lösungen.125
Kapitel
9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit 129
9.1 Motivation.130
9.2 Grundlagen.130
9.3 Berechnung der Eigenwerte. 133
9.4 Berechnung der Eigenvektoren. 134
9.5 Vielfachheiten. 135
9.6 Hauptvektoren.137
9.7 Diagonalisierbarkeit. 139
9.7.1 Diagonalisierung am Beispiel.143
9.8 Aufgaben. 144
9.9 Lösungen. 145
Kapitel 10 Differenzialgleichungen
I
151
10.1 Motivation.152
10.2 Grundlagen.153
10.3 Umschreiben in ein System am Beispiel. 155
10.4 Wesentliche Fragestellungen. 156
10.5 Lösen durch Integration. 157
10.6 Standardlösungsansatz
1
.157
10.7 Aufgaben. 160
10.8 Lösungen. 161
Kapitel 11 Differenzialgleichungen
II
163
11.1 Motivation.164
11.2 Standardlösungsansatz
II
.164
11.3 Finden einer partikulären Lösung. 166
11.4 Anfangswertprobleme. 166
11.5 Wronski-Test. 168
11.6 Aufgaben. 170
11.7 Lösungen. 171
Kapitel 12 Erste-Hilfe-Kurs 175
12.1 Welcher Prüfer?. 177
12.2 Die Vorbereitung. 177
12.3 Prüfungsangst?!.178
12.4 Zur schriftlichen Prüfung. 178
12.5 Zur mündlichen Prüfung. 179
Symbol-Glossar 181
Sachregister 183
Dieses Lehrbuch bietet praktische Hilfestellungen, Lineare Algebra zu verstehen,
Klausuren zu bestehen und zugleich Spaß an der Mathematik zu finden. Das
ambitionierte Autorenteam bringt seine Erfahrungen aus vielen Vorlesungen
und Übungen ein und führt den Leser in einem entspannten Stil Schritt für
Schritt sicher durch das mathematische Feld der Linearen Algebra. Außerdem
behandeln die Autoren die Grundlagen der gewöhnlichen linearen
Differenzialgleichungen.
Das Buch führt zunächst in die Sprache der Mathematik ein und baut damit
eine ideale Brücke von der Schul- zur Hochschulmathematik. Jedes Kapitel
motiviert den Leser, sich mit dem Lehrstoff anhand von vielen Anschauungs¬
beispielen zu beschäftigen, und schließt mit zahlreichen Aufgaben - aus¬
nahmslos mit vollständigen Lösungen. So bleibt Lineare Algebra kein Buch
mit sieben Siegeln und der Einstieg in die Mathematik an Universitäten und
Fachhochschulen ist geschafft.
Aus dem Inhalt:
- Was ist Lineare Algebra und wofür wird sie verwendet?
- Vektorräume und lineare Unabhängigkeit
- Lineare Abbildungen und Matrizen
- Lineare Gleichungssysteme
- Determinanten
- Norm und Skalarprodukt
- Basiswechsel und darstellende Matrizen
- Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit
- Differenzialgleichungen
I
- Differenzialgleichungen
II
- Erste-Hilfe-Kurs zur optimalen Prüfungsvorbereitung |
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Inhaltsverzeichnis
Einige Worte vorab 9
Kapitel 1 Ein wenig Vorbereitung 13
1.1 Ein Vorrat an Buchstaben. 14
1.2 Mengen. 15
1.2.1 Allgemeines. 15
1.2.2 Wie aus bekannten Mengen neue entstehen. 17
1.2.3 Ein kleiner Zoo wichtiger Mengen. 18
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1.3 Abbildungen. 20
1.3.1 Was ist eine Abbildung?. 20
1.3.2 Verknüpfung von Abbildungen. 21
1.3.3 Einige Eigenschaften von Abbildungen. 22
1.4 Vom richtigen Umgang mit der Aussagenlogik. 22
Kapitel 2 Was ist Lineare Algebra und wofür wird sie verwendet? 27
Kapitel 3 Vektorräume und lineare Unabhängigkeit 33
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3.4 Der Vektorraum reellwertiger Funktionen auf
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3.5 Linearkombinationen. 39
3.6 Aufgaben. 45
3.7 Lösungen. 46
Kapitel 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 51
4.1 Motivation. 52
4.2 Grundlagen zu linearen Abbildungen. 52
4.3 Kern und Bild. 54
4.4 Grundlegendes zu Matrizen. 56
4.5 Rechnen mit Matrizen. 59
4.5.1 Multiplikation von Matrizen. 59
4.5.2 Vektorraumstruktur für Matrizen. 61
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Kapitel
5 Lineare Gleichungssysteme 71
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5.2 Grundlagen. 74
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5.3.1 Abweichungen vom Idealfall. 77
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5.6 Aufgaben. 82
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Kapitel 6 Determinanten 87
6.1 Motivation. 88
6.2 Definition und Berechnung. 88
6.2.1 Berechnung für (2
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2)-Matrizen. 91
6.2.2 Berechnung für (3
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6.2.3 Dreiecksmatrizen. 92
6.3 Geometrische Interpretation. 92
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6.3.3 Determinante und lineare Unabhängigkeit. 94
6.4 Rechenregeln für die Determinante. 95
6.5 Das Kreuzprodukt. 96
6.6 Aufgaben. 97
6.7 Lösungen. 98
Kapitel 7 Norm und Skalarprodukt 101
7.1 Motivation.102
7.2 Die Norm. 102
7.3 Das Skalarprodukt.105
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7.6 Lösungen. 113
Kapitel 8 Basiswechsel und darstellende Matrizen 117
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8.2 Koordinatenvektoren. 119
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8.3 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen.122
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Kapitel
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Kapitel 10 Differenzialgleichungen
I
151
10.1 Motivation.152
10.2 Grundlagen.153
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Kapitel 11 Differenzialgleichungen
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11.1 Motivation.164
11.2 Standardlösungsansatz
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11.3 Finden einer partikulären Lösung. 166
11.4 Anfangswertprobleme. 166
11.5 Wronski-Test. 168
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Kapitel 12 Erste-Hilfe-Kurs 175
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- Was ist Lineare Algebra und wofür wird sie verwendet?
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