Gewöhnliche Differentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Stuttgart, [u.a.]
Teubner
2006
|
| Edition: | 5., durchgesehene Auflage |
| Series: | Mathematische Leitfäden
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| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 628 Seiten Illustrationen |
| ISBN: | 3519422271 |
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Inhalt
Einleitung . 13
I
1 Beispiele von Differentialgleichungen in der Praxis. 17
Leibnizens silberne Taschenuhr oder die Traktrix. 17
Exponentielles
Logistisches Wachstum. 22
Verbreitung von Gerüchten . 25
Freier und verzögerter Fall. 27
Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete . 30
Äquipotential- und Kraftlinien eines elektrischen Feldes . . 32
2 Grundbegriffe. 41
Historische Anmerkung. Newton und
II
3 Das Richtungsfeld und der Euler-Cauchysche Polygonzug. Das
Runge-Kutta-Verfahren. 53
4 Lineare, Bernoullische, Riccatische Differentialgleichung . 59
5 Anwendungen. 70
Die Gompertzschen Überlebens- und Wachstumsfunktionen . 70
Sättigungsprozesse . 71
Ausgleichsprozesse . 73
Exponentielle
Mischungsprozesse . 76
Wurfbahnen. 77
Stromkreise. 79
6 Die exakte Differentialgleichung . 91
7 Integrierende Faktoren. 100
8 Die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen . . . 102
9 Die eulerhomogene Differentialgleichung und die Differentialglei-
ày
drang-i-=/(------~-----1. 108
e dx J {ax+ßy+yf
10 Anwendungen. 113
Die Eisversorgung Alexanders des Großen. 113
Chemische Reaktionskinetik. 114
Informationsverbreitung . 116
Inhalt 9
Scheinwerfer . 116
Grenzgeschwindigkeit eines Autos. 118
Orthogonaltrajektorien in cartesischen Koordinaten . 118
Orthogonaltrajektorien in Polarkoordinaten. 120
Das Problem der Brachistochrone . 121
Historische Anmerkung. Jakob und Johann
III
gleichungen erster OrdnuBg
11 Der Existenzsatz von Peano. 135
12 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf . . 138
13 Abhängigkeitssätze . 143
Historische Anmerkung. Cauchy. 146
IV
Koeffizienten
14 Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung . 153
15 Die homogene lineare Differentialgleichung
16 Die inhomogene lineare Differentialgleichung
Spezielle Störfunktionen . 172
Methode der Variation der Konstanten . 181
Reihenansätze. 185
17 Die Methode der Laplacetransformation. 187
Die Laplacetransformation. 187
Das Anfangswertproblem für lineare Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten . 193
18 Anwendungen. 200
Freie Schwingungen eines Massenpunktes . 200
Erzwungene Schwingungen eines Massenpunktes bei schwacher
oder verschwindender Dämpfung . 204
Periodische Zwangskräfte und Fouriermethoden. 205
Elektrische Schwingungskreise . 212
Resonanz. 215
Mathematisches Pendel. 218
Zykloidenpendel . 219
Temperaturverteihmg in einem Stab . 221
Nochmals die Eisversorgung Alexanders des Großen oder vom
Nutzen tiefer Keller. 224
V
Koeffizienten
19 Vorbemerkungen. 237
20 Die Eulersche Differentialgleichung . 240
10 Inhalt
21 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz. 243
22 Integralbasis und allgemeine Lösung der homogenen Gleichung . 249
23 Reduktion der homogenen Gleichung. 254
24 Die Methode der Variation der Konstanten. 257
25 Stetige Abhängigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems von
den Ausgangsdaten. 259
26 Potenzreihenlösungen . 260
Die Airysche Differentialgleichung. 261
Die Hermitesche Differentialgleichung . 262
Die Legendresche Differentialgleichung . 264
Die Tschebyscheffsche Differentialgleichung . 268
27 Reihenentwicklungen um schwach
28 Besselsche Differentialgleichung und Besselsche Funktionen . . 292
29 Laguerresche Differentialgleichung und Laguerresche Polynome . 310
30 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten . 314
31 Die Mathieusche Differentialgleichung . 322
32 Trennungs-, Oszillations- und Amplitudensätze . 328
33 Anwendungen. 338
Flüssigkeitsströmung in Rohren. Das Raucherbein . 338
Potential einer elektrischen Punktladung. 341
Wasserwellen in einem Kanal. 342
Schwingungen eines frei herabhängenden Seiles . 343
Knicklast. 346
Die Keplersche Gleichung der Planetenbahn . 348
Das Wasserstoffatom. 352
Historische Anmerkung. Euler . 360
VI
34 Die schwingende Saite. 372
35 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung . 377
36 Sturmsche Randwertaufgaben. Die Greensche Funktion . . . 379
37 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgaben. 384
38 Die Integralgleichung und der Integraloperator der Sturm-Liouvil-
leschen Eigenwertaufgabe. 391
39 Die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Sturm-Liouvilleschen
Aufgabe. . 398
40 Entwicklungssätze . 409
41 Die Entwicklung der Greenschen Funktion nach Eigenfunktionen 415
42 Die Auflösung halbhomogener Randwertaufgaben . 420
43 Iterative Bestimmung von Eigenwerten . 424
44 Einschließungssätze und Extremalprinzipien . 429
45 Das Ritzsehe Verfahren . 438
Historische Anmerkung: Die schwingende Saite. 441
Inhalt 11
VII
Koeffizienten
46 Beispiele und Begriffsbestimmungen. 450
Ein Gefechtsmodell . 450
Abbau eines Medikaments. 451
Begriffsbestimmungen . 453
47 Die Eliminationsmethode bei kleinen Systemen . 454
48 Vektorwertige Funktionen und die Matrixexponentialfunktion . 457
49 Existenz- und Eindeutigkeitssätze . 462
50 Das charakteristische Polynom einer Matrix . 464
51 Die Auflösung des homogenen Systems. 467
52 Die Auflösung des inhomogenen Systems . 473
53 Die Methode der Laplacetransformation. 475
54 Allgemeinere lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . 477
Die Eliminationsmethode . 478
Die Methode der Laplacetransformation. 481
55 Anwendungen. 483
Kompartimentmodelle . 483
Mischungsprozesse . 486
Radioaktive Zerfallsreihen. 488
Wiederkäuer . 489
Chemische Reaktionskinetik . 489
Luftverschmutzung bei Inversionswetterlage. 489
Der Einfluß medikamentöser Dauertherapie einer Schwangeren
auf den Fötus . 490
Bleiakkumulation im Körper. 492
Gleichstrommotoren. 493
Schwingungstilger. 494
VIII Systeme linearer Differentialgleichungen mit variablen
Koeffizienten
56 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz. 501
57 Integralbasen homogener Systeme. . 503
58 Die Auflösung inhomogener Systeme. 509
IX
Differentialgleichung
59 Beispiele und Begriffsbestimmungen. 512
60 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Systeme. 515
61 Die allgemeine Differentialgleichung
62 Reduzierbare Typen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung 519
63 Numerische Lösungsverfahren. 525
12 Inhalt
X
64 Ein Beispiel: Das
65 Grundbegriffe und Grundtatsachen . 534
66 Gleichgewichtspunkte und Stabilität bei linearen Systemen mit
konstanten Koeffizienten . 541
67 Die Ljapunoffsche Methode. 546
68 Periodische Lösungen . 556
69 Anwendungen. 559
Ausbreitungsdynamik ansteckender Krankheiten. 559
Organregeneration . 565
Das
Wettrüstungsmodelle. 568
Die van der Polsche Gleichung der Elektrotechnik . . . . 571
Anhang 1: Tabelle unbestimmter Integrale . 575
Anhang 2: Tabelle zur Laplacetransformation . 581
Lösungen ausgewählter Aufgaben . 586
Literaturverzeichnis . 617
Symbolverzeichnis. 620
Namen- und Sachverzeichnis . 621 |
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Inhalt
Einleitung . 13
I
1 Beispiele von Differentialgleichungen in der Praxis. 17
Leibnizens silberne Taschenuhr oder die Traktrix. 17
Exponentielles
Logistisches Wachstum. 22
Verbreitung von Gerüchten . 25
Freier und verzögerter Fall. 27
Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete . 30
Äquipotential- und Kraftlinien eines elektrischen Feldes . . 32
2 Grundbegriffe. 41
Historische Anmerkung. Newton und
II
3 Das Richtungsfeld und der Euler-Cauchysche Polygonzug. Das
Runge-Kutta-Verfahren. 53
4 Lineare, Bernoullische, Riccatische Differentialgleichung . 59
5 Anwendungen. 70
Die Gompertzschen Überlebens- und Wachstumsfunktionen . 70
Sättigungsprozesse . 71
Ausgleichsprozesse . 73
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Mischungsprozesse . 76
Wurfbahnen. 77
Stromkreise. 79
6 Die exakte Differentialgleichung . 91
7 Integrierende Faktoren. 100
8 Die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen . . . 102
9 Die eulerhomogene Differentialgleichung und die Differentialglei-
ày
drang-i-=/(------~-----1. 108
e dx J {ax+ßy+yf
10 Anwendungen. 113
Die Eisversorgung Alexanders des Großen. 113
Chemische Reaktionskinetik. 114
Informationsverbreitung . 116
Inhalt 9
Scheinwerfer . 116
Grenzgeschwindigkeit eines Autos. 118
Orthogonaltrajektorien in cartesischen Koordinaten . 118
Orthogonaltrajektorien in Polarkoordinaten. 120
Das Problem der Brachistochrone . 121
Historische Anmerkung. Jakob und Johann
III
gleichungen erster OrdnuBg
11 Der Existenzsatz von Peano. 135
12 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf . . 138
13 Abhängigkeitssätze . 143
Historische Anmerkung. Cauchy. 146
IV
Koeffizienten
14 Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung . 153
15 Die homogene lineare Differentialgleichung
16 Die inhomogene lineare Differentialgleichung
Spezielle Störfunktionen . 172
Methode der Variation der Konstanten . 181
Reihenansätze. 185
17 Die Methode der Laplacetransformation. 187
Die Laplacetransformation. 187
Das Anfangswertproblem für lineare Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten . 193
18 Anwendungen. 200
Freie Schwingungen eines Massenpunktes . 200
Erzwungene Schwingungen eines Massenpunktes bei schwacher
oder verschwindender Dämpfung . 204
Periodische Zwangskräfte und Fouriermethoden. 205
Elektrische Schwingungskreise . 212
Resonanz. 215
Mathematisches Pendel. 218
Zykloidenpendel . 219
Temperaturverteihmg in einem Stab . 221
Nochmals die Eisversorgung Alexanders des Großen oder vom
Nutzen tiefer Keller. 224
V
Koeffizienten
19 Vorbemerkungen. 237
20 Die Eulersche Differentialgleichung . 240
10 Inhalt
21 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz. 243
22 Integralbasis und allgemeine Lösung der homogenen Gleichung . 249
23 Reduktion der homogenen Gleichung. 254
24 Die Methode der Variation der Konstanten. 257
25 Stetige Abhängigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems von
den Ausgangsdaten. 259
26 Potenzreihenlösungen . 260
Die Airysche Differentialgleichung. 261
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27 Reihenentwicklungen um schwach
28 Besselsche Differentialgleichung und Besselsche Funktionen . . 292
29 Laguerresche Differentialgleichung und Laguerresche Polynome . 310
30 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten . 314
31 Die Mathieusche Differentialgleichung . 322
32 Trennungs-, Oszillations- und Amplitudensätze . 328
33 Anwendungen. 338
Flüssigkeitsströmung in Rohren. Das Raucherbein . 338
Potential einer elektrischen Punktladung. 341
Wasserwellen in einem Kanal. 342
Schwingungen eines frei herabhängenden Seiles . 343
Knicklast. 346
Die Keplersche Gleichung der Planetenbahn . 348
Das Wasserstoffatom. 352
Historische Anmerkung. Euler . 360
VI
34 Die schwingende Saite. 372
35 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung . 377
36 Sturmsche Randwertaufgaben. Die Greensche Funktion . . . 379
37 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgaben. 384
38 Die Integralgleichung und der Integraloperator der Sturm-Liouvil-
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39 Die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Sturm-Liouvilleschen
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40 Entwicklungssätze . 409
41 Die Entwicklung der Greenschen Funktion nach Eigenfunktionen 415
42 Die Auflösung halbhomogener Randwertaufgaben . 420
43 Iterative Bestimmung von Eigenwerten . 424
44 Einschließungssätze und Extremalprinzipien . 429
45 Das Ritzsehe Verfahren . 438
Historische Anmerkung: Die schwingende Saite. 441
Inhalt 11
VII
Koeffizienten
46 Beispiele und Begriffsbestimmungen. 450
Ein Gefechtsmodell . 450
Abbau eines Medikaments. 451
Begriffsbestimmungen . 453
47 Die Eliminationsmethode bei kleinen Systemen . 454
48 Vektorwertige Funktionen und die Matrixexponentialfunktion . 457
49 Existenz- und Eindeutigkeitssätze . 462
50 Das charakteristische Polynom einer Matrix . 464
51 Die Auflösung des homogenen Systems. 467
52 Die Auflösung des inhomogenen Systems . 473
53 Die Methode der Laplacetransformation. 475
54 Allgemeinere lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . 477
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Wiederkäuer . 489
Chemische Reaktionskinetik . 489
Luftverschmutzung bei Inversionswetterlage. 489
Der Einfluß medikamentöser Dauertherapie einer Schwangeren
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Bleiakkumulation im Körper. 492
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VIII Systeme linearer Differentialgleichungen mit variablen
Koeffizienten
56 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz. 501
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IX
Differentialgleichung
59 Beispiele und Begriffsbestimmungen. 512
60 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Systeme. 515
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62 Reduzierbare Typen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung 519
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12 Inhalt
X
64 Ein Beispiel: Das
65 Grundbegriffe und Grundtatsachen . 534
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67 Die Ljapunoffsche Methode. 546
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69 Anwendungen. 559
Ausbreitungsdynamik ansteckender Krankheiten. 559
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Wettrüstungsmodelle. 568
Die van der Polsche Gleichung der Elektrotechnik . . . . 571
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