Mathematik in der Biologie:
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Springer
[2006]
|
| Edition: | 4., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage |
| Series: | Springer-Lehrbuch
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Item Description: | mit 65 Abbildungen und 16 Tabellen |
| Physical Description: | XXVI, 242 Seiten Diagramme |
| ISBN: | 3540292543 9783540292548 |
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Inhaltsverzeichnis
Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?. 1
1.1 Unsere Welt aus biologischer Sicht. 1
1.1.1 Zustand eines Beobachtungsgegenstandes. 1
1.1.2 Beobachtung und Zeit . 2
1.1.3 Grafische Veranschaulichung einer Messreihe. 4
1.2 Evolutionen in der Natur. 5
1.2.1 Was ist eine Evolution?. 5
1.2.2 Rekonstruktion und Erkenntnis. 7
1.2.3 Sättigung einer Evolution. 8
1.3 Rekonstruktion von Funktionen. 10
1.3.1 Die Aufgabe. 10
1.3.2 Ansatzfiinktionen . 10
1.3.3 Gütemaß einer Rekonstruktion. 12
1.3.4 Rekonstruktion und Erkenntnis. 15
1.4 Veränderungen in der Natur. 16
1.4.1 Wie kann man einer 'wahren' Evolution auf die Spur
kommen?. 16
1.4.2 Veränderungsrate. 17
1.5 Mathematische Modelle in der Biologie. 18
1.5.1 Wie kommt mathematisches Denken zum Einsatz?. 18
1.5.2 Entwicklung einer Population: eine dynamische
Gleichung. 20
1.5.3 Ligandenbindung: zwei dynamische Gleichungen. 22
1.5.4 Substratfluss unter anaeroben Bedingungen: zwei
dynamische Gleichungen. 23
1.5.5 Streitbare Populationen: zwei dynamische Gleichungen . 25
Grundbestandteile mathematischer Modellierung. 29
2.1 Das Geschehen in diesem Kapitel. 29
2.2 Entwicklung von Populationen. 30
2.2.1 Zwei Experimente. 30
XXII
2.2.2 Vom Experiment zur mathematischen Beschreibung . 32
2.2.3 Veränderungen. 34
2.2.4 Ratengleichungen. 35
2.2.5 Ausblick. 37
2.3 Kombinatorik in der Biologie: Zahlen. 38
2.3.1 Eine kombinatorische Aufgabe der Enzymkinetik. 38
2.3.2 Kinetische Gastheorie als Sonderfall. 40
2.3.3 Natürliche und ganze Zahlen. 43
2.3.4 Rationale und reelle Zahlen. 43
2.3.5 Absoluter Betrag reeller Zahlen. 44
2.4 Beschreibung von Vorgängen: Funktionen. 45
2.4.1 Punktionen. 45
2.4.2 Die logistische Kurve, Verkettung von Funktionen. 46
2.4.3 Monotone Funktionen. 47
2.4.4 Die Exponentialfunktion . 48
2.4.5 Potenzen. 50
2.4.6 Polynome, rationale Funktionen. 51
2.4.7 Konstruktion von Funktionen. 53
2.4.8 Der Logarithmus. 55
2.5 Die Veränderungsrate von Vorgängen: Ableitung. 56
2.5.1 Die Idee der Veränderungsrate zu einem festen Zeitpunkt 56
2.5.2 Definition der Veränderungsrate: Ableitung einer
Funktion. 57
2.5.3 Grundregeln der Differentialrechnung. 60
2.5.4 Konsistenz der Tabellen 2.5 und 2.6. 62
2.5.5 Die logistische Kurve als Lösung der Verhulstgleichung . 62
2.5.6
2.6 Anwendungen der Ableitung: Monotonie,
2.6.1 Motivation. 65
2.6.2 Monotonie und Ableitung. 65
2.6.3 Monotonieverhalten bei der logistischen Kurve. 66
2.6.4 Qualitative Kurvendiskussion. 66
2.6.5 Krümmung und zweite Ableitung. 66
2.6.6 Ligandenbindung an Proteine. 68
2.6.7 Sigmoides Verhalten bei der logistischen Kurve. 71
2.7 Übungsaufgaben . 73
3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung 77
3.1 Das Geschehen in diesem Kapitel. 77
3.2 Qualitative Methoden. 79
3.2.1 Evolution einer reellen Variablen. 79
3.2.2 Zeitunabhängige Evolutionen: Stationäre Punkte. 81
3.2.3 Monoton wachsende Evolutionen. 81
3.2.4 Monoton fallende Evolutionen. 82
3.2.5 Langzeitverhalten von Evolutionen. 82
Inhaltsverzeichnis
3.2.6 Stabilität von stationären Punkten. 83
3.2.7 Wendepunkte. 83
3.2.8 Qualitative Analyse: die Verhulstgleichung. 84
3.2.9 Qualitative Analyse: Allgemeine Evolutionen. 85
3.3 Quantitative Methoden . 86
3.3.1 Motivation. 86
3.3.2 Die einfachste Ratengleichung. 86
3.3.3 Stammfunktion. 86
3.3.4 Angabe einfacher Stammfunktionen. 87
3.3.5 Quantitative Analyse: Separation der Variablen. 88
3.3.6 Quantitative Analyse:
Wachstum. 89
3.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung. 91
3.4.1 Motivation. 91
3.4.2 Integrale. 92
3.4.3 Geometrische Interpretation des Integrals. 92
3.4.4 Integration als Umkehrung der Differentiation. 93
3.4.5 Summenregel. 94
3.4.6 Quantitative Behandlung einer Ratengleichung. 95
3.5 Integral: partielle Integration. 98
3.5.1 Umkehrung der Produktregel. 98
3.5.2 RNA-Gehalt einer Zelle. 99
3.5.3 Zur Idee der partiellen Integration.100
3.6 Existenz und Eindeutigkeit.101
3.6.1 Lösbarkeit von Anfangswertaufgaben.101
3.6.2 Lösungsgesamtheit.102
3.7 Übungsaufgaben .102
3.7.1 Differentialgleichungen, Anfangswertaufgaben.102
3.7.2 Integration.104
4 Beschreibung von Vorgängen mit mehr als einer
unabhängigen Variablen.107
4.1 Das Geschehen in diesem Kapitel.107
4.2 Funktionen mehrerer Veränderlicher: Größen.108
4.2.1 Motivation.108
4.2.2 Wachstum einer Population auf einem Substrat.109
4.2.3 Räuber-Beute-Interaktion.110
4.2.4 Präbiotische Evolution.111
4.2.5 Zustände von natürlichen Systemen mit mehr als einer
Größe.112
4.2.6 Reelle Funktionen auf Teilmengen des RN.113
4.2.7 Graphische Darstellungsmöglichkeiten.114
4.2.8 Größen und ihre Abhängigkeiten.116
4.2.9 Implizite Gleichungen.117
4.2.10 Implizit definierte Funktionen: allgemeiner Fall.117
XXIV
4.3 Veränderungsrate in Richtung verschiedener Variabler:
partielle Ableitung.118
4.3.1 Motivation.118
4.3.2 Verschiedene Abhängigkeiten bei der logistischen Kurve 119
4.3.3 Partielle Ableitung.120
4.3.4 Zweite partielle Ableitung.121
4.4 Approximation von Punktionen: Taylor Polynome.122
4.4.1 Motivation.122
4.4.2 Taylor Polynome mit einer Veränderlichen.122
4.4.3 Taylor Polynome der Exponentialfunktion.124
4.4.4 Taylor Polynom bei mehreren Veränderlichen.125
4.4.5 Taylor Polynom beim Räuber-Beute-Modell .126
4.5 Veränderungsrate einer Größe: vollständiges Differential.127
4.5.1 Motivation und Ausblick.127
4.5.2 Abhängigkeiten von Größen und deren Veränderungen . 129
4.5.3 Idee des vollständigen Differentials .132
4.5.4 Definition des vollständigen Differentials .132
4.5.5 Wieso ist das vollständige Differential vollständig?.134
4.5.6 Vollständiges Differential bei Abhängigkeit von nur
einer Größe .134
4.5.7 Vollständiges Differential bei Abhängigkeit von zwei
Größen: Potentiale.136
4.6 Übungsaufgaben .137
4.6.1 Funktionen mehrerer Veränderlicher.137
4.6.2 Vollständige Differentiale.138
5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren:
Lineare Datenanpassung.139
5.1 Das Geschehen in diesem Kapitel.139
5.2 Rekonstruktion.141
5.2.1 Geschwindigkeit der Michaelis-Menten-Reaktion.141
5.2.2 Rekonstruktion einer Funktion.143
5.2.3 Lineare Theoriefunktion.144
5.2.4
5.2.5 Matrixmultiplikation.146
5.3 Geometrie und lineare Abbildungen im RN.148
5.3.1 Fehlerquadratsumme.148
5.3.2 Abstand, inneres Produkt.149
5.3.3 Matrix und lineare Abbildung.152
5.3.4 Transponierte Matrix.152
5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra.153
5.4.1 Kennzeichnung der Minimalabweichung.153
5.4.2 Vollständige Beschreibung aller Minimierer.155
5.4.3 Assoziativität der Matrizenmultiplikation.156
5.4.4 Eindeutiger Minimierer .157
Inhaltsverzeichnis
5.4.5 Gradient von h(x).159
5.5 Linearer Datenausgleich: Bestimmung biologischer Konstanten 160
5.5.1 Michaelis-Menten-Bestimmung.160
5.5.2 Lineare Gleichungssysteme in der Ebene.161
5.5.3 Inversion.163
5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion.164
5.6.1 Definition der Geschwindigkeit v.164
5.6.2 Rekonstruktion von p(t) zur Bestimmung von v.166
5.6.3 Lineare Gleichungssysteme im M3.168
5.6.4 Geschwindigkeitsbestimmung aus Felddaten: die
Inversion.169
5.7 Übungsaufgaben.173
Interaktionen zweier Populationen.177
6.1 Das Geschehen in diesem Kapitel.177
6.2 Ligandenbindung.179
6.2.1 Die dynamischen Gleichungen.179
6.2.2 Eine skalare Aufgabe .181
6.2.3 Evolution der Ligandenbindung.182
6.2.4 Charakteristik und Kd .182
6.3 Substratumsetzende Organismen.185
6.3.1 Fläschchenexperiment.185
6.3.2 Erhaltungssatz.186
6.3.3 Lösungsgesamtheit.187
6.3.4 Diskussion aller Lösungen.188
6.3.5 Phasenebene.189
6.4 Lineare Räuber-Beute-Interaktion: Winkelfunktionen.191
6.4.1 Ein spezielles Räuber-Beute-Modell.191
6.4.2 sin und cos.192
6.4.3 Rückführung auf eine skalare Gleichung.193
6.4.4 Eigenschaften von cos und sin.195
6.4.5 Anwendung auf das spezielle Räuber-Beute-Modell . 196
6.5 Die Winkelfunktion tg(i).197
6.5.1 Tangens und Arcus Tangens.197
6.5.2 Ableitung und Stammfunktion.198
6.6 Lineare Differentialgleichungssysteme in der Ebene: Matrizen
und Eigenwerte.198
6.6.1 Ligandenbindung.198
6.6.2 Lineare dynamische Systeme: Räuber-Beute-Modell_201
6.6.3 Alle Lösungen von (6.100).202
6.7 Biologische Evolution.202
6.7.1 Ausgangspunkt der Überlegungen.202
6.7.2 Evolution einer einzigen Population.203
6.7.3 Replikations- und Sterberaten.204
6.7.4 Evolution zweier Populationen.206
XXVI
6.8 Übungsaufgaben.211
7 Lösungen der Übungsaufgaben.215
7.1 Lösungen zum Kapitel 2.215
7.2 Lösungen zum Kapitel 3.223
7.3 Lösungen zum Kapitel 4.228
7.4 Lösungen zum Kapitel 5.230
7.5 Lösungen zum Kapitel 6.232
Literaturverzeichnis .237
Sachverzeichnis.239
Erich Bohl findet über biologische Fragestellungen
einen natürlichen Einstieg in die mathematischen
Themen. Er beschränkt sich dabei auf die für
Biologen wichtigen mathematischen Grundlagen.
Für den Leser reicht Schulmathematik als Voraus¬
setzung zum Verständnis aus. Eine Einführung
zu jedem Kapitel erleichtert zusätzlich das Ver¬
ständnis des Textes. Sie haben Gelegenheit,
Ihr neues Wissen gleich durch Übungsaufgaben
mit Lösungen zu erproben.
Erich Bohl
Professor am Fachbereich
Mathematik und Statistik der
Universität Konstanz. Die
Universität Prag hat Professor
Bohl 1996 und 1999 mit jeweils
einer Medaille ausgezeichnet.
Neu in der 4. Auflage
Ein zusätzliches Kapitel zu
Beginn erläutert an einfachen
Beispielen, wie ein mathema¬
tisches Modell überhaupt
entsteht. |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?. 1
1.1 Unsere Welt aus biologischer Sicht. 1
1.1.1 Zustand eines Beobachtungsgegenstandes. 1
1.1.2 Beobachtung und Zeit . 2
1.1.3 Grafische Veranschaulichung einer Messreihe. 4
1.2 Evolutionen in der Natur. 5
1.2.1 Was ist eine Evolution?. 5
1.2.2 Rekonstruktion und Erkenntnis. 7
1.2.3 Sättigung einer Evolution. 8
1.3 Rekonstruktion von Funktionen. 10
1.3.1 Die Aufgabe. 10
1.3.2 Ansatzfiinktionen . 10
1.3.3 Gütemaß einer Rekonstruktion. 12
1.3.4 Rekonstruktion und Erkenntnis. 15
1.4 Veränderungen in der Natur. 16
1.4.1 Wie kann man einer 'wahren' Evolution auf die Spur
kommen?. 16
1.4.2 Veränderungsrate. 17
1.5 Mathematische Modelle in der Biologie. 18
1.5.1 Wie kommt mathematisches Denken zum Einsatz?. 18
1.5.2 Entwicklung einer Population: eine dynamische
Gleichung. 20
1.5.3 Ligandenbindung: zwei dynamische Gleichungen. 22
1.5.4 Substratfluss unter anaeroben Bedingungen: zwei
dynamische Gleichungen. 23
1.5.5 Streitbare Populationen: zwei dynamische Gleichungen . 25
Grundbestandteile mathematischer Modellierung. 29
2.1 Das Geschehen in diesem Kapitel. 29
2.2 Entwicklung von Populationen. 30
2.2.1 Zwei Experimente. 30
XXII
2.2.2 Vom Experiment zur mathematischen Beschreibung . 32
2.2.3 Veränderungen. 34
2.2.4 Ratengleichungen. 35
2.2.5 Ausblick. 37
2.3 Kombinatorik in der Biologie: Zahlen. 38
2.3.1 Eine kombinatorische Aufgabe der Enzymkinetik. 38
2.3.2 Kinetische Gastheorie als Sonderfall. 40
2.3.3 Natürliche und ganze Zahlen. 43
2.3.4 Rationale und reelle Zahlen. 43
2.3.5 Absoluter Betrag reeller Zahlen. 44
2.4 Beschreibung von Vorgängen: Funktionen. 45
2.4.1 Punktionen. 45
2.4.2 Die logistische Kurve, Verkettung von Funktionen. 46
2.4.3 Monotone Funktionen. 47
2.4.4 Die Exponentialfunktion . 48
2.4.5 Potenzen. 50
2.4.6 Polynome, rationale Funktionen. 51
2.4.7 Konstruktion von Funktionen. 53
2.4.8 Der Logarithmus. 55
2.5 Die Veränderungsrate von Vorgängen: Ableitung. 56
2.5.1 Die Idee der Veränderungsrate zu einem festen Zeitpunkt 56
2.5.2 Definition der Veränderungsrate: Ableitung einer
Funktion. 57
2.5.3 Grundregeln der Differentialrechnung. 60
2.5.4 Konsistenz der Tabellen 2.5 und 2.6. 62
2.5.5 Die logistische Kurve als Lösung der Verhulstgleichung . 62
2.5.6
2.6 Anwendungen der Ableitung: Monotonie,
2.6.1 Motivation. 65
2.6.2 Monotonie und Ableitung. 65
2.6.3 Monotonieverhalten bei der logistischen Kurve. 66
2.6.4 Qualitative Kurvendiskussion. 66
2.6.5 Krümmung und zweite Ableitung. 66
2.6.6 Ligandenbindung an Proteine. 68
2.6.7 Sigmoides Verhalten bei der logistischen Kurve. 71
2.7 Übungsaufgaben . 73
3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung 77
3.1 Das Geschehen in diesem Kapitel. 77
3.2 Qualitative Methoden. 79
3.2.1 Evolution einer reellen Variablen. 79
3.2.2 Zeitunabhängige Evolutionen: Stationäre Punkte. 81
3.2.3 Monoton wachsende Evolutionen. 81
3.2.4 Monoton fallende Evolutionen. 82
3.2.5 Langzeitverhalten von Evolutionen. 82
Inhaltsverzeichnis
3.2.6 Stabilität von stationären Punkten. 83
3.2.7 Wendepunkte. 83
3.2.8 Qualitative Analyse: die Verhulstgleichung. 84
3.2.9 Qualitative Analyse: Allgemeine Evolutionen. 85
3.3 Quantitative Methoden . 86
3.3.1 Motivation. 86
3.3.2 Die einfachste Ratengleichung. 86
3.3.3 Stammfunktion. 86
3.3.4 Angabe einfacher Stammfunktionen. 87
3.3.5 Quantitative Analyse: Separation der Variablen. 88
3.3.6 Quantitative Analyse:
Wachstum. 89
3.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung. 91
3.4.1 Motivation. 91
3.4.2 Integrale. 92
3.4.3 Geometrische Interpretation des Integrals. 92
3.4.4 Integration als Umkehrung der Differentiation. 93
3.4.5 Summenregel. 94
3.4.6 Quantitative Behandlung einer Ratengleichung. 95
3.5 Integral: partielle Integration. 98
3.5.1 Umkehrung der Produktregel. 98
3.5.2 RNA-Gehalt einer Zelle. 99
3.5.3 Zur Idee der partiellen Integration.100
3.6 Existenz und Eindeutigkeit.101
3.6.1 Lösbarkeit von Anfangswertaufgaben.101
3.6.2 Lösungsgesamtheit.102
3.7 Übungsaufgaben .102
3.7.1 Differentialgleichungen, Anfangswertaufgaben.102
3.7.2 Integration.104
4 Beschreibung von Vorgängen mit mehr als einer
unabhängigen Variablen.107
4.1 Das Geschehen in diesem Kapitel.107
4.2 Funktionen mehrerer Veränderlicher: Größen.108
4.2.1 Motivation.108
4.2.2 Wachstum einer Population auf einem Substrat.109
4.2.3 Räuber-Beute-Interaktion.110
4.2.4 Präbiotische Evolution.111
4.2.5 Zustände von natürlichen Systemen mit mehr als einer
Größe.112
4.2.6 Reelle Funktionen auf Teilmengen des RN.113
4.2.7 Graphische Darstellungsmöglichkeiten.114
4.2.8 Größen und ihre Abhängigkeiten.116
4.2.9 Implizite Gleichungen.117
4.2.10 Implizit definierte Funktionen: allgemeiner Fall.117
XXIV
4.3 Veränderungsrate in Richtung verschiedener Variabler:
partielle Ableitung.118
4.3.1 Motivation.118
4.3.2 Verschiedene Abhängigkeiten bei der logistischen Kurve 119
4.3.3 Partielle Ableitung.120
4.3.4 Zweite partielle Ableitung.121
4.4 Approximation von Punktionen: Taylor Polynome.122
4.4.1 Motivation.122
4.4.2 Taylor Polynome mit einer Veränderlichen.122
4.4.3 Taylor Polynome der Exponentialfunktion.124
4.4.4 Taylor Polynom bei mehreren Veränderlichen.125
4.4.5 Taylor Polynom beim Räuber-Beute-Modell .126
4.5 Veränderungsrate einer Größe: vollständiges Differential.127
4.5.1 Motivation und Ausblick.127
4.5.2 Abhängigkeiten von Größen und deren Veränderungen . 129
4.5.3 Idee des vollständigen Differentials .132
4.5.4 Definition des vollständigen Differentials .132
4.5.5 Wieso ist das vollständige Differential vollständig?.134
4.5.6 Vollständiges Differential bei Abhängigkeit von nur
einer Größe .134
4.5.7 Vollständiges Differential bei Abhängigkeit von zwei
Größen: Potentiale.136
4.6 Übungsaufgaben .137
4.6.1 Funktionen mehrerer Veränderlicher.137
4.6.2 Vollständige Differentiale.138
5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren:
Lineare Datenanpassung.139
5.1 Das Geschehen in diesem Kapitel.139
5.2 Rekonstruktion.141
5.2.1 Geschwindigkeit der Michaelis-Menten-Reaktion.141
5.2.2 Rekonstruktion einer Funktion.143
5.2.3 Lineare Theoriefunktion.144
5.2.4
5.2.5 Matrixmultiplikation.146
5.3 Geometrie und lineare Abbildungen im RN.148
5.3.1 Fehlerquadratsumme.148
5.3.2 Abstand, inneres Produkt.149
5.3.3 Matrix und lineare Abbildung.152
5.3.4 Transponierte Matrix.152
5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra.153
5.4.1 Kennzeichnung der Minimalabweichung.153
5.4.2 Vollständige Beschreibung aller Minimierer.155
5.4.3 Assoziativität der Matrizenmultiplikation.156
5.4.4 Eindeutiger Minimierer .157
Inhaltsverzeichnis
5.4.5 Gradient von h(x).159
5.5 Linearer Datenausgleich: Bestimmung biologischer Konstanten 160
5.5.1 Michaelis-Menten-Bestimmung.160
5.5.2 Lineare Gleichungssysteme in der Ebene.161
5.5.3 Inversion.163
5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion.164
5.6.1 Definition der Geschwindigkeit v.164
5.6.2 Rekonstruktion von p(t) zur Bestimmung von v.166
5.6.3 Lineare Gleichungssysteme im M3.168
5.6.4 Geschwindigkeitsbestimmung aus Felddaten: die
Inversion.169
5.7 Übungsaufgaben.173
Interaktionen zweier Populationen.177
6.1 Das Geschehen in diesem Kapitel.177
6.2 Ligandenbindung.179
6.2.1 Die dynamischen Gleichungen.179
6.2.2 Eine skalare Aufgabe .181
6.2.3 Evolution der Ligandenbindung.182
6.2.4 Charakteristik und Kd .182
6.3 Substratumsetzende Organismen.185
6.3.1 Fläschchenexperiment.185
6.3.2 Erhaltungssatz.186
6.3.3 Lösungsgesamtheit.187
6.3.4 Diskussion aller Lösungen.188
6.3.5 Phasenebene.189
6.4 Lineare Räuber-Beute-Interaktion: Winkelfunktionen.191
6.4.1 Ein spezielles Räuber-Beute-Modell.191
6.4.2 sin und cos.192
6.4.3 Rückführung auf eine skalare Gleichung.193
6.4.4 Eigenschaften von cos und sin.195
6.4.5 Anwendung auf das spezielle Räuber-Beute-Modell . 196
6.5 Die Winkelfunktion tg(i).197
6.5.1 Tangens und Arcus Tangens.197
6.5.2 Ableitung und Stammfunktion.198
6.6 Lineare Differentialgleichungssysteme in der Ebene: Matrizen
und Eigenwerte.198
6.6.1 Ligandenbindung.198
6.6.2 Lineare dynamische Systeme: Räuber-Beute-Modell_201
6.6.3 Alle Lösungen von (6.100).202
6.7 Biologische Evolution.202
6.7.1 Ausgangspunkt der Überlegungen.202
6.7.2 Evolution einer einzigen Population.203
6.7.3 Replikations- und Sterberaten.204
6.7.4 Evolution zweier Populationen.206
XXVI
6.8 Übungsaufgaben.211
7 Lösungen der Übungsaufgaben.215
7.1 Lösungen zum Kapitel 2.215
7.2 Lösungen zum Kapitel 3.223
7.3 Lösungen zum Kapitel 4.228
7.4 Lösungen zum Kapitel 5.230
7.5 Lösungen zum Kapitel 6.232
Literaturverzeichnis .237
Sachverzeichnis.239
Erich Bohl findet über biologische Fragestellungen
einen natürlichen Einstieg in die mathematischen
Themen. Er beschränkt sich dabei auf die für
Biologen wichtigen mathematischen Grundlagen.
Für den Leser reicht Schulmathematik als Voraus¬
setzung zum Verständnis aus. Eine Einführung
zu jedem Kapitel erleichtert zusätzlich das Ver¬
ständnis des Textes. Sie haben Gelegenheit,
Ihr neues Wissen gleich durch Übungsaufgaben
mit Lösungen zu erproben.
Erich Bohl
Professor am Fachbereich
Mathematik und Statistik der
Universität Konstanz. Die
Universität Prag hat Professor
Bohl 1996 und 1999 mit jeweils
einer Medaille ausgezeichnet.
Neu in der 4. Auflage
Ein zusätzliches Kapitel zu
Beginn erläutert an einfachen
Beispielen, wie ein mathema¬
tisches Modell überhaupt
entsteht. |
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