Evaluation multimedialer Teachware mit Kontrollgruppe:
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Thesis Book |
| Language: | German |
| Published: |
Aachen
Shaker
2005
|
| Series: | Berichte aus der Statistik
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XIX, 208 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 3832246010 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis xiii
Tabellenverzeichnis xv
Abkürzungsverzeichnis xvii
1 Einführung 1
1.1 „Neue Statistik Ziele, Aufgaben und Teilnehmer 2
1.2 Projekte „Neue Statistik in Nürnberg 5
1.2.1 Aufgabenbereich 5
1.2.2 Gestaltung der Vorlesung 5
1.2.3 Gestaltung der Übungen 7
1.2.4 Projektablauf 7
2 Datengewinnung und Datenergänzung 11
2.1 Datengewinnung 12
2.1.1 Fragebogengestaltung 12
2.1.2 Datenerhebung 13
2.2 Datenergänzung 17
2.2.1 Definition der Datenausfälle in Umfragen 17
2.2.2 Behandlung fehlender Werte 18
2.2.3 Notation 19
2.2.4 Einfache Ergänzung 21
2.2.5 Maximum Likelihood basierte Methoden 24
2.2.6 Simulationsverfahren 26
2.2.7 Mehrfache Ergänzung (MI) 28
2.2.7.1 Data Augmentation 30
vii
2.2.7.2 Anwendung der mehrfachen Ergänzung 31
3 Evaluationstechniken 33
3.1 Zufallsexperiment vs. Beobachtungsstiulitf 34
3.1.1 Messung der Kausalität 35
3.1.1.1 Evaluationsproblem 36
3.1.1.2 Selektionsverzerrung 39
3.1.2 Lösungswege zur Schätzung des ATET 40
3.1.2.1 Querschnittsvergleich 41
3.1.2.2 Vorher Nachher Vergleich 41
3.1.2.3 Differenz in Differenzen Vergleich ¦ 43
3.2 Differenzierung der Evaluationsmetho len 44
3.2.1 Unabhängigkeitsannahmen 47
3.2.2 Schätzfunktionen 48
3.3 Verschiedene Unabhängigkeitsannahmen 49
3.3.1 Messung des Treatmenteffekts 5°
3.3.1.1 Students i Test 52
3.3.1.2 Welch Test 53
3.3.1.3 Wilcoxon Rangsummentest 54
3.3.1.4 Jarque Bera Test 55
3.3.1.5 Test auf Gleichheit df:r Varianzen 55
3.3.2 Schätzung der Teilnahmeeffektc mit Hilfe eines linearen Modells 56
3.3.2.1 Homogene Effekte in den Gruppen . 57
3.3.2.2 Heterogene Effekte 62
3.3.3 Schätzung der Teilnahmeeffekt«; mit Hilfe einer nicht parame¬
trischen Regression 65
3.4 Beobachtungsstudie 68
34.1 Bildung einer nicht experimentellen Kontrollgruppe 69
3.4.2 Theoretische Grundlage des Propensity Score Matching . • • 73
3.4.3 Gängige Matchingverfahren 75
34.3.1 „Nächster Nachbar lVlatching 77
3.4.3.2 Radius oder Caliper Mfttching • • • 78
3.4.3.3 Kernel Matching 80
3.4.3.4 Stratification Matching 82
3.4.3.5 Schätzung des Teilnahmeeffektes durch die Gewich
tung bei Propensity Score 83
3.5 Klassisches Evaluationsmodell 83
3.5.1 Instrumentalvariablen Schätzung 85
3.5.2 Schätzung unter Kenntnis der Verteilung des Störterms .... 85
3.5.3 Schätzung unter Kenntnis der gemeinsamen Verteilung der
Störterme 86
3.5.3.1 Zweistufige Schätzung 88
3.5.3.2 Einstufige Schätzung 89
3.6 Copula basierter Ansatz 90
3.6.1 Definition und Eigenschaften 90
3.6.2 Auswahl gängiger Copulas 93
3.6.2.1 Gauß Copula 93
3.6.2.2 Archimedische Copulas 94
3.6.3 Schätzung der Parameter 96
3.6.3.1 Einstufige Schätzung 96
3.6.3.2 Zweistufige Schätzung 97
3.6.4 Anwendung der gängigen Copulas auf Selbstselektion 99
3.6.4.1 Normal Modell 99
3.6.4.2 Archimedische Copulas 101
3.7 Zusammenfassung 103
4 Durchführung der Evaluation 105
4.1 Untersuchungskonzept 105
4.1.1 Untersuchungsmethoden 106
4.1.2 Variablenbeschreibung 106
4.2 Bivariate Vergleiche 109
4.2.1 Bivariater Vergleich des Fishbeinindexes der Vorlesung . . . .110
4.2.2 Bivariater Vergleich des Fishbeinindexes der Übung 112
4.2.3 Bivariater Vergleich des Fishbeinindexes des Tutoriums . . . .113
4.2.4 Bivariater Vergleich der Klausurergebnisse 114
4.2.5 Zwischenergebnis 116
ix
4.3 Multivariate Vergleiche 117
4.3.1 Regressionsanalytische Betrachtung des Fishbeinindexes der
Vorlesung 117
4.3.2 Regressionsanalytische Betrachtung der Fishbeinindizes der
Übung und des Tutoriums 120
4.3.3 Regressionsanalytische Betrachtung der Ergebnisse
der Statistik I Klausur 121
4.3.4 Regressionsanalytische Betrachtung der Ergebnisse der Statistik
I Klausur mit Berücksichtigung der Interaktionseffekte .... 123
4.3.5 Zwischenergebnis 124
4.4 Evaluation mit Kontrollgruppe 125
4.4.1 Propensity Score Matching 125
4.4.2 Zwischenergebnis 129
4.5 Klassische Evaluationsmethoden 130
4.5.1 Zweistufige Schätzung 130
4.5.2 Einstufige Schätzung 134
4.5.3 Zwischenergebnis 137
4.6 Copula basierter Ansatz 140
4.6.1 Schätzung der Parameter 140
4.6.1.1 Einstufige Schätzung 140
4.6.1.2 Zweistufige Schätzung 141
4.6.2 Ergebnisse der Copula Schätzung 141
4.6.3 Zwischenergebnis 143
5 Schlussbetrachtung 145
A Befragung 149
A.l Fragebogen, erste Befragung 149
A.2 Fragebogen, zweite Befragung 154
A.3 Datensatz für Statistik I 159
A.4 Beschreibung des Datensatzes für Statistik I 163
A.5 Datensatz für Statistik II 166
A fi Röc^Viroihiintr Hp« Fifli.pTisAt.yes für Statistik II 171
B Empirische Auswertung 173
B.l Bivariate Vergleiche 173
B.2 Multivariate Vergleiche 179
B.3 Evaluation mit Kontrollgruppe 185
B.4 Klassische Evaluation mit Selbstselektion 194
B.5 Copula basierter Ansatz 196
Literaturverzeichnis 199
Abbildungsverzeichnis
1.1 Java Applets aus „Neue Statistik 6
1.2 Flash Animationen aus „Neue Statistik 7
1.3 Statistiklabor aus „Neue Statistik 8
2.1 Mehrfache Ergänzung 29
3.1 Strukturbruch, vier mögliche Parameterkonstellationen 63
4.1 Dichteschätzer für Fishbeinindex Vorlesung 111
4.2 Dichteschätzer für Fishbeinindex Übung 113
4.3 Dichteschätzer für Fishbeinindex Tutorium 114
4.4 Dichteschätzer für die Punktzahl in der Statistik I Klausur 115
4.5 Propensity Score, relative Häufigkeit 127
4.6 Werte der Log Likelihood Funktion für den Datensatz ohne MI .... 142
B.l Propensity Score, relative Häufigkeit MI 1 bzw. MI 2 187
B.2 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 3 bzw. MI 4 187
B.3 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 5 bzw. MI 6 188
B.4 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 7 bzw. MI 8 188
B.5 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 9 bzw. MI 10 189
B.6 Propensity Score, relative Häufigkeit für den Datensatz ohne MI ... 189
B.7 Werte der Log Likelihood Funktion MI 1 bzw. MI 2 197
B.8 Werte der Log Likelihood Funktion MI 3 bzw. MI 4 1!)7
B.9 Werte der Log Likelihood Funktion MI 5 bzw. MI 6 198
B.10 Werte der Log Likelihood Funktion MI 7 bzw. MI 8 198
B.ll Werte der Log Likelihood Funktion MI 9 bzw. MI 10 198
Tabellenverzeichnis
2.1 Fishbein Modell 13
3.1 BIAS Reduktion bei Caliper Matching 79
4.1 Regressionsanalyse des Fishbeinindexes der Vorlesung 118
4.2 Regressionsanatyse des Vorlesungsbesuchs 119
4.3 Regressionsanalyse der Endmotivation 120
4.4 Regressionsanalyse der Klausurergebnisse 122
4.5 Variable der Propensity Score Schätzung 126
4.6 Ergebnisse verschiedener Matching Methoden 128
4.7 Zweistufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störter
me, Kennzahlen 131
4.8 Zweistufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme 132
4.9 Zweistufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störter¬
me, Mittelwertvergleiche der Teilnehmer und Nichtteilnehmergruppen 133
4.10 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme.
Kennzahlen I 134
4.11 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störtenne 135
4.12 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme.
Mittelwertvergleiche der Teilnehmer und Nichtteilnehmergruppen . . 136
4.13 Vergleich der OLS Schätzung ohne Selektionsbias mit zweistufigen
und einstufigen Schätzungen mit Selektionsbias ohne Datenergänzung 138
4.14 Vergleich der OLS Schätzung ohne Selektionsbias mit zweistufigen
und einstufigen Schätzungen mit Selektionsbias mit Datenergänzung . 139
4.15 Ergebnisse der Schätzung des Frank Modells für den Datensatz ohne
MI 143
4.16 Ergebnisse Normal Modell vs. Frank Modell 144
B.l Bivariate Vergleiche, Fishbeinindex Vorlesung 175
B.2 Bivariate Vergleiche, Fishbeinindex Übung 176
B.3 Bivariate Vergleiche, Fishbeinindex Tutorium 177
B.4 Bivariate Vergleiche, Ergebnisse Statistik I Klausur 178
B.5 Fishbeinindex Vorlesung, Kennzahlen des linearen Modells 180
B.6 Fishbeinindex Übung, Kennzahlen des linearen Modells 180
B.7 Fishbeinindex Tutorium, Kennzahlen des linearen Modells 181
B.8 Ergebnisse der Statistik I Klausur, Kennzahlen des linearen Modells . 181
B.9 Vorlesungsbesuch, Kennzahlen des linearen Modells 18^
B.10 Motivation am Semesterende, Kennzahlen des linearen Modells . ... 182
B.ll Fishbeinindex Übung, Schätzwerte des linearen Modells l*™
B.12 Fishbeinindex Tutorium, Schätzwerte des linearen Modells 1°
B.13 Propensity Score, Schätzwerte der Probit Schätzung ^°
B.14 Propensity Score, Kennzahlen der Probit Schätzung ^
B.15 7 fo ^ Matching, bivariate Vergleiche der Kovariablen ohne MI . ¦ ¦ ¦ 19°
B.16 7 to i Matching, bivariate Vergleiche der Kovariablen mit MI ..••! *
B. 17 Ergebnisse von 1 to l und i to 3 Matching • 192
B.18 Ergebnisse von Kernel und Raidus Matching ¦
B.19 Zweistufige Schätzung der Regression mit der Annahme der Korrela¬
tion der Störterme, Schätzwerte der Entscheidungsgleichung . • ¦ • • ^
B.20 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme,
Kennzahlen II • 195
B.21 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme,
Schätzwerte der Entscheidungsgleichung B.22 Log Likelihood Funktion des Frank Modells für STATA ¦ 196
B.23 Ergebnisse der einstufigen Schätzung der Parameter der Entschei¬
dungsgleichung des Frank Modells
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis xiii
Tabellenverzeichnis xv
Abkürzungsverzeichnis xvii
1 Einführung 1
1.1 „Neue Statistik" Ziele, Aufgaben und Teilnehmer 2
1.2 Projekte „Neue Statistik" in Nürnberg 5
1.2.1 Aufgabenbereich 5
1.2.2 Gestaltung der Vorlesung 5
1.2.3 Gestaltung der Übungen 7
1.2.4 Projektablauf 7
2 Datengewinnung und Datenergänzung 11
2.1 Datengewinnung 12
2.1.1 Fragebogengestaltung 12
2.1.2 Datenerhebung 13
2.2 Datenergänzung 17
2.2.1 Definition der Datenausfälle in Umfragen 17
2.2.2 Behandlung fehlender Werte 18
2.2.3 Notation 19
2.2.4 Einfache Ergänzung 21
2.2.5 Maximum Likelihood basierte Methoden 24
2.2.6 Simulationsverfahren 26
2.2.7 Mehrfache Ergänzung (MI) 28
2.2.7.1 Data Augmentation 30
vii
2.2.7.2 Anwendung der mehrfachen Ergänzung 31
3 Evaluationstechniken 33
3.1 Zufallsexperiment vs. Beobachtungsstiulitf 34
3.1.1 Messung der Kausalität 35
3.1.1.1 Evaluationsproblem 36
3.1.1.2 Selektionsverzerrung 39
3.1.2 Lösungswege zur Schätzung des ATET 40
3.1.2.1 Querschnittsvergleich 41
3.1.2.2 Vorher Nachher Vergleich 41
3.1.2.3 Differenz in Differenzen Vergleich ¦ 43
3.2 Differenzierung der Evaluationsmetho len 44
3.2.1 Unabhängigkeitsannahmen 47
3.2.2 Schätzfunktionen 48
3.3 Verschiedene Unabhängigkeitsannahmen 49
3.3.1 Messung des Treatmenteffekts 5°
3.3.1.1 Students i Test 52
3.3.1.2 Welch Test 53
3.3.1.3 Wilcoxon Rangsummentest 54
3.3.1.4 Jarque Bera Test 55
3.3.1.5 Test auf Gleichheit df:r Varianzen 55
3.3.2 Schätzung der Teilnahmeeffektc mit Hilfe eines linearen Modells 56
3.3.2.1 Homogene Effekte in den Gruppen . 57
3.3.2.2 Heterogene Effekte 62
3.3.3 Schätzung der Teilnahmeeffekt«; mit Hilfe einer nicht parame¬
trischen Regression 65
3.4 Beobachtungsstudie 68
34.1 Bildung einer nicht experimentellen Kontrollgruppe 69
3.4.2 Theoretische Grundlage des Propensity Score Matching . • • 73
3.4.3 Gängige Matchingverfahren 75
34.3.1 „Nächster Nachbar" lVlatching 77
3.4.3.2 Radius oder Caliper Mfttching • • • 78
3.4.3.3 Kernel Matching 80
3.4.3.4 Stratification Matching 82
3.4.3.5 Schätzung des Teilnahmeeffektes durch die Gewich
tung bei Propensity Score 83
3.5 Klassisches Evaluationsmodell 83
3.5.1 Instrumentalvariablen Schätzung 85
3.5.2 Schätzung unter Kenntnis der Verteilung des Störterms . 85
3.5.3 Schätzung unter Kenntnis der gemeinsamen Verteilung der
Störterme 86
3.5.3.1 Zweistufige Schätzung 88
3.5.3.2 Einstufige Schätzung 89
3.6 Copula basierter Ansatz 90
3.6.1 Definition und Eigenschaften 90
3.6.2 Auswahl gängiger Copulas 93
3.6.2.1 Gauß Copula 93
3.6.2.2 Archimedische Copulas 94
3.6.3 Schätzung der Parameter 96
3.6.3.1 Einstufige Schätzung 96
3.6.3.2 Zweistufige Schätzung 97
3.6.4 Anwendung der gängigen Copulas auf Selbstselektion 99
3.6.4.1 Normal Modell 99
3.6.4.2 Archimedische Copulas 101
3.7 Zusammenfassung 103
4 Durchführung der Evaluation 105
4.1 Untersuchungskonzept 105
4.1.1 Untersuchungsmethoden 106
4.1.2 Variablenbeschreibung 106
4.2 Bivariate Vergleiche 109
4.2.1 Bivariater Vergleich des Fishbeinindexes der Vorlesung . . . .110
4.2.2 Bivariater Vergleich des Fishbeinindexes der Übung 112
4.2.3 Bivariater Vergleich des Fishbeinindexes des Tutoriums . . . .113
4.2.4 Bivariater Vergleich der Klausurergebnisse 114
4.2.5 Zwischenergebnis 116
ix
4.3 Multivariate Vergleiche 117
4.3.1 Regressionsanalytische Betrachtung des Fishbeinindexes der
Vorlesung 117
4.3.2 Regressionsanalytische Betrachtung der Fishbeinindizes der
Übung und des Tutoriums 120
4.3.3 Regressionsanalytische Betrachtung der Ergebnisse
der Statistik I Klausur 121
4.3.4 Regressionsanalytische Betrachtung der Ergebnisse der Statistik
I Klausur mit Berücksichtigung der Interaktionseffekte . 123
4.3.5 Zwischenergebnis 124
4.4 Evaluation mit Kontrollgruppe 125
4.4.1 Propensity Score Matching 125
4.4.2 Zwischenergebnis 129
4.5 Klassische Evaluationsmethoden 130
4.5.1 Zweistufige Schätzung 130
4.5.2 Einstufige Schätzung 134
4.5.3 Zwischenergebnis 137
4.6 Copula basierter Ansatz 140
4.6.1 Schätzung der Parameter 140
4.6.1.1 Einstufige Schätzung 140
4.6.1.2 Zweistufige Schätzung 141
4.6.2 Ergebnisse der Copula Schätzung 141
4.6.3 Zwischenergebnis 143
5 Schlussbetrachtung 145
A Befragung 149
A.l Fragebogen, erste Befragung 149
A.2 Fragebogen, zweite Befragung 154
A.3 Datensatz für Statistik I 159
A.4 Beschreibung des Datensatzes für Statistik I 163
A.5 Datensatz für Statistik II 166
A fi Röc^Viroihiintr Hp« Fifli.pTisAt.yes für Statistik II 171
B Empirische Auswertung 173
B.l Bivariate Vergleiche 173
B.2 Multivariate Vergleiche 179
B.3 Evaluation mit Kontrollgruppe 185
B.4 Klassische Evaluation mit Selbstselektion 194
B.5 Copula basierter Ansatz 196
Literaturverzeichnis 199
Abbildungsverzeichnis
1.1 Java Applets aus „Neue Statistik" 6
1.2 Flash Animationen aus „Neue Statistik" 7
1.3 Statistiklabor aus „Neue Statistik" 8
2.1 Mehrfache Ergänzung 29
3.1 Strukturbruch, vier mögliche Parameterkonstellationen 63
4.1 Dichteschätzer für Fishbeinindex Vorlesung 111
4.2 Dichteschätzer für Fishbeinindex Übung 113
4.3 Dichteschätzer für Fishbeinindex Tutorium 114
4.4 Dichteschätzer für die Punktzahl in der Statistik I Klausur 115
4.5 Propensity Score, relative Häufigkeit 127
4.6 Werte der Log Likelihood Funktion für den Datensatz ohne MI . 142
B.l Propensity Score, relative Häufigkeit MI 1 bzw. MI 2 187
B.2 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 3 bzw. MI 4 187
B.3 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 5 bzw. MI 6 188
B.4 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 7 bzw. MI 8 188
B.5 Propensity Score, relative Häufigkeit MI 9 bzw. MI 10 189
B.6 Propensity Score, relative Häufigkeit für den Datensatz ohne MI . 189
B.7 Werte der Log Likelihood Funktion MI 1 bzw. MI 2 197
B.8 Werte der Log Likelihood Funktion MI 3 bzw. MI 4 1!)7
B.9 Werte der Log Likelihood Funktion MI 5 bzw. MI 6 198
B.10 Werte der Log Likelihood Funktion MI 7 bzw. MI 8 198
B.ll Werte der Log Likelihood Funktion MI 9 bzw. MI 10 198
Tabellenverzeichnis
2.1 Fishbein Modell 13
3.1 BIAS Reduktion bei Caliper Matching 79
4.1 Regressionsanalyse des Fishbeinindexes der Vorlesung 118
4.2 Regressionsanatyse des Vorlesungsbesuchs 119
4.3 Regressionsanalyse der Endmotivation 120
4.4 Regressionsanalyse der Klausurergebnisse 122
4.5 Variable der Propensity Score Schätzung 126
4.6 Ergebnisse verschiedener Matching Methoden 128
4.7 Zweistufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störter
me, Kennzahlen 131
4.8 Zweistufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme 132
4.9 Zweistufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störter¬
me, Mittelwertvergleiche der Teilnehmer und Nichtteilnehmergruppen 133
4.10 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme.
Kennzahlen I 134
4.11 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störtenne 135
4.12 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme.
Mittelwertvergleiche der Teilnehmer und Nichtteilnehmergruppen . . 136
4.13 Vergleich der OLS Schätzung ohne Selektionsbias mit zweistufigen
und einstufigen Schätzungen mit Selektionsbias ohne Datenergänzung 138
4.14 Vergleich der OLS Schätzung ohne Selektionsbias mit zweistufigen
und einstufigen Schätzungen mit Selektionsbias mit Datenergänzung . 139
4.15 Ergebnisse der Schätzung des Frank Modells für den Datensatz ohne
MI 143
4.16 Ergebnisse Normal Modell vs. Frank Modell 144
B.l Bivariate Vergleiche, Fishbeinindex Vorlesung 175
B.2 Bivariate Vergleiche, Fishbeinindex Übung 176
B.3 Bivariate Vergleiche, Fishbeinindex Tutorium 177
B.4 Bivariate Vergleiche, Ergebnisse Statistik I Klausur 178
B.5 Fishbeinindex Vorlesung, Kennzahlen des linearen Modells 180
B.6 Fishbeinindex Übung, Kennzahlen des linearen Modells 180
B.7 Fishbeinindex Tutorium, Kennzahlen des linearen Modells 181
B.8 Ergebnisse der Statistik I Klausur, Kennzahlen des linearen Modells . 181
B.9 Vorlesungsbesuch, Kennzahlen des linearen Modells 18^
B.10 Motivation am Semesterende, Kennzahlen des linearen Modells . . 182
B.ll Fishbeinindex Übung, Schätzwerte des linearen Modells l*™
B.12 Fishbeinindex Tutorium, Schätzwerte des linearen Modells 1°'
B.13 Propensity Score, Schätzwerte der Probit Schätzung ^°
B.14 Propensity Score, Kennzahlen der Probit Schätzung ^
B.15 7 fo ^ Matching, bivariate Vergleiche der Kovariablen ohne MI . ¦ ¦ ¦ 19°
B.16 7 to i Matching, bivariate Vergleiche der Kovariablen mit MI .••!"*
B. 17 Ergebnisse von 1 to l und i to 3 Matching • 192
B.18 Ergebnisse von Kernel und Raidus Matching ¦ "
B.19 Zweistufige Schätzung der Regression mit der Annahme der Korrela¬
tion der Störterme, Schätzwerte der Entscheidungsgleichung . • ¦ • • ^
B.20 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme,
Kennzahlen II • 195
B.21 Einstufige Schätzung der Regression unter Korrelation der Störterme,
Schätzwerte der Entscheidungsgleichung B.22 Log Likelihood Funktion des Frank Modells für STATA ¦ 196
B.23 Ergebnisse der einstufigen Schätzung der Parameter der Entschei¬
dungsgleichung des Frank Modells ' |
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