Zahlen für Einsteiger: Elemente der Algebra und Aufbau der Zahlbereiche
Grundlagen der elementaren Zahlentheorie - Systematisierung durch die Algebra - Aufbau der Zahlbereiche - Darstellungen reeller Zahlen - Kongruenzen - Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
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Wiesbaden
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2008
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Vorwort
v
Einleitung 1
1. Zur Entwicklung der Zahlen und der Algebra . . 1
2. Ein erster Blick auf die Zahlbereiche........ 2
3. Zur Gliederung der Inhalte im Einzelnen..... 6
4. Einige Schlussbemerkungen............. 10
5. Voraussetzungen für den Leser........... 11
I
Die natürlichen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre 13
1. Die natürlichen Zahlen................ 13
2. Teilbarkeit und Primzahlen............. 21
3. Der Fundamentalsatz der elementaren
Zahlentheorie..................... 30
4. Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes
gemeinsames Vielfaches............... 35
5. Division mit Rest................... 42
II
Systematisierung durch die Algebra:
Elemente der Gruppentheorie 45
1. Halbgruppen und Monoide............. 45
2. Gruppen und Untergruppen............. 50
3. Gruppenhomomorphismen............. 58
4. Nebenklassen und Normalteiler........... 62
5. Faktorgruppen und Homomorphiesatz...... 72
6. Konstruktion von Gruppen aus regulären
Halbgruppen...................... 79
7. Die ganzen Zahlen.................. 86
viii Inhalt
III
Systematisierung durch die Algebra:
Elemente der Ringtheorie 93
1. Die ganzen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre ... 93
2. Ringe und Unterringe................. 100
3. Ringhomomorphismen, Ideale und Faktorringe . . 108
4. Körper und Schiefkörper............... 119
5. Konstruktion von Körpern aus Integritätsbereichen 122
6. Die rationalen Zahlen................. 130
7. ZPE-Ringe, Hauptidealringe und Euklidische
Ringe.......................... 133
IV
Die reellen Zahlen 147
1. Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen . . . 147
2. Konstruktion der reellen Zahlen........... 152
3. Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen..... 167
4. Äquivalente Charakterisierungen der
Vollständigkeit..................... 172
5. Die reellen Zahlen und die Zahlengerade..... 179
6. Der
axiomatische
Standpunkt............ 185
V
Komplexe Zahlen und Quaternionen,
Algebraizität und Transzendenz 191
1. Komplexe Zahlen................... 191
2. Hamiltonsche Quaternionen............. 197
3. Algebraische und transzendente Zahlen...... 200
4. Transzendenz von
e
.................. 206
VI
Kongruenzen 217
1. Restklassenringe.................... 217
2. Lösen linearer Kongruenzen............. 220
3. Quadratische Reste.................. 233
4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz ....... 253
Inhalt ix
Ausgewählte Literatur 261
1. Literatur zur elementaren Zahlentheorie...... 261
2. Literatur zur Algebra................. 262
3. Literatur zum Zahl- und Ziffernbegriff....... 263
4. Literatur zur Didaktik der Algebra und
Zahlentheorie..................... 263
Index 265
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Inhalt
Vorwort
v
Einleitung 1
1. Zur Entwicklung der Zahlen und der Algebra . . 1
2. Ein erster Blick auf die Zahlbereiche. 2
3. Zur Gliederung der Inhalte im Einzelnen. 6
4. Einige Schlussbemerkungen. 10
5. Voraussetzungen für den Leser. 11
I
Die natürlichen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre 13
1. Die natürlichen Zahlen. 13
2. Teilbarkeit und Primzahlen. 21
3. Der Fundamentalsatz der elementaren
Zahlentheorie. 30
4. Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes
gemeinsames Vielfaches. 35
5. Division mit Rest. 42
II
Systematisierung durch die Algebra:
Elemente der Gruppentheorie 45
1. Halbgruppen und Monoide. 45
2. Gruppen und Untergruppen. 50
3. Gruppenhomomorphismen. 58
4. Nebenklassen und Normalteiler. 62
5. Faktorgruppen und Homomorphiesatz. 72
6. Konstruktion von Gruppen aus regulären
Halbgruppen. 79
7. Die ganzen Zahlen. 86
viii Inhalt
III
Systematisierung durch die Algebra:
Elemente der Ringtheorie 93
1. Die ganzen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre . 93
2. Ringe und Unterringe. 100
3. Ringhomomorphismen, Ideale und Faktorringe . . 108
4. Körper und Schiefkörper. 119
5. Konstruktion von Körpern aus Integritätsbereichen 122
6. Die rationalen Zahlen. 130
7. ZPE-Ringe, Hauptidealringe und Euklidische
Ringe. 133
IV
Die reellen Zahlen 147
1. Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen . . . 147
2. Konstruktion der reellen Zahlen. 152
3. Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen. 167
4. Äquivalente Charakterisierungen der
Vollständigkeit. 172
5. Die reellen Zahlen und die Zahlengerade. 179
6. Der
axiomatische
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V
Komplexe Zahlen und Quaternionen,
Algebraizität und Transzendenz 191
1. Komplexe Zahlen. 191
2. Hamiltonsche Quaternionen. 197
3. Algebraische und transzendente Zahlen. 200
4. Transzendenz von
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VI
Kongruenzen 217
1. Restklassenringe. 217
2. Lösen linearer Kongruenzen. 220
3. Quadratische Reste. 233
4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz . 253
Inhalt ix
Ausgewählte Literatur 261
1. Literatur zur elementaren Zahlentheorie. 261
2. Literatur zur Algebra. 262
3. Literatur zum Zahl- und Ziffernbegriff. 263
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