Theoretische Physik: 3 Klassische Feldtheorie : von der Elektrodynamik zu den Eichtheorien ; mit 3 Tabellen
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Springer
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Inhaltsverzeichnis
ι.
Die
Maxwelľschen
Gleichungen
1.1 Gradient, Rotation und Divergenz.............................. 1
1.2 Die Integralsätze im Fall des
ť
................................ 7
1.3 Maxwell sche Gleichungen in integraler Form................. 10
1.3.1 Das Induktionsgesetz..................................... 10
1.3.2 Das Gauß sche Gesetz.................................... 12
1.3.3 Gesetz von Biot und Savart............................... 14
1.3.4 Die Lorentz-Kraft......................................... 15
1.3.5 Die Kontinuitätsgleichung................................. 16
1.4 Die
Maxwelľschen
Gleichungen in lokaler Form............... 20
1.4.1 Induktions- und Gauß sehes Gesetz....................... 20
1.4.2 Lokale Form des Biot-Savart Gesetzes.................... 2 )
1.4.3 Lokale Gleichungen in allen Maßsystemen............... 23
1
.4.4 Die Frage der physikalischen Einheiten................... 24
1.4.5 Die elektromagnetischen Gleichungen im Sl-System...... 26
1.4.6 Das Gauß sche Maßsystem............................... 28
1.5 Skalare Potentiale und Vektorpotentiale........................ 33
1.5.1 Einige Formeln aus der
Vektoranalysis
................... 33
1.5.2 Konstruktion eines Vektorfeldes aus seinen Quellen
und Wirbeln.............................................. 38
1.5.3 Skalare Potentiale und Vektorpotentiale................... 40
1.6 Phänomenologie der
Maxwelľschen
Gleichungen.............. 44
1.6.1 Die Grundgleichungen und ihre Interpretation............ 44
1.6.2 Zusammenhang der Verschiebung
mit dem elektrischen Feld................................ 47
1.6.3 Zusammenhang zwischen Induktions¬
und magnetischem Feld .................................. 50
1.7 Statische elektrische Zustände.................................. 53
1.7.1
Poisson-
und Laplace-Gleichung.......................... 53
1.7.2 Flächenladungen. Dipole und Dipolschichten............. 59
1.7.3 Typische Randwertprobleme.............................. 62
1.7.4 Multipolentwicklung von Potentialen...................... 66
1.8 Stationäre Ströme und statische magnetische Zustände........ 78
1.8.1 Poisson-Gleichung und Vektorpotential ................... 79
1.8.2 Magnetische Dipoldichte und magnetisches Moment...... 80
1.8.3 Felder von magnetischen und elektrischen Dipolen....... 83
1.8.4 Energie und Energiedichte................................ 87
1.8.5 Ströme und Leitfähigkeit................................. 90
2. Symmetrien und Kovarianz der
Maxwelľschen
Gleichungen
2.1 Die
Maxwelľschen
Gleichungen im festen Bezugssystem....... 91
2.1.1 Drehungen und diskrete Raum-Zeittransformationen...... 92
2.1.2 Die
Maxwelľschen
Gleichungen und äußere Formen..... 96
Xiv Inhaltsverzeichnis
2.2 Lorentz-Kovarianz der Maxwell schen Gleichungen............ 111
2.2.1
Poincaré-
und Lorentz-Gruppe............................ 113
2.2.2 Relativistische Kinematik und Dynamik.................. 116
2.2.3 Lorentz-Kraft und Feldstärkentensorfeld.................. 119
2.2.4 Kovarianz der Maxwell schen Gleichungen............... 121
2.2.5 Eichinvarianz und Potentiale.............................. 125
2.3 Felder einer gleichförmig bewegten Punktladung.............. 128
2.4 Lorentz-invariante äußere Formen
und die Maxwell schen Gleichungen............................ 132
2.4.1 Feldstärkentensor und Lorentz-Kraft...................... 133
2.4.2 Differentialgleichungen für die Zweiformen
ω
f
und
ω? .
136
2.4.3 Potentiale und Eichtransformationen...................... 139
2.4.4 Verhalten unter den diskreten Transformationen........... 140
2.4.5 * Kovariante Ableitung und Strukturgleichung............ 141
3. Die Maxwell-Theorie als klassische Feldtheorie
3.1 Lagrangefunktion und Symmetrien
bei endlich vielen Freiheitsgraden.............................. 143
3.1.1 Satz von Noether bei strikter Invarianz................... 145
3.1.2 Verallgemeinerter Satz von Noether....................... 145
3.2 Lagrangedichte und Bewegungsgleichungen
für eine Feldtheorie............................................. 152
3.3 Lagrangedichte für das Maxwell-Feld mit Quellen............. 157
3.4 Symmetrien und Noether sche Erhaltungsgrößen............... 163
3.4.1 Invarianz unter einparametrigen Gruppen................. 163
3.4.2 Eichtransformationen an der Lagrangedichte.............. 165
3.4.3 Invarianz unter Translationen............................. 169
3.4.4 Interpretation der Erhaltungssätze......................... 172
3.5 Wellengleichung und Green-Funktionen........................ 176
3.5.1 Lösungen in nichtkovarianter Form....................... 177
3.5.2 Lösungen der Wellengleichung in kovarianter Form...... 181
3.6 Abstrahlung einer beschleunigten Ladung...................... 185
4. Einfache Anwendungen der Maxwell-Theorie
4.1 Ebene Wellen im Vakuum
und in homogenen, nichtleitenden Medien..................... 191
4.1.1 Dispersionsrelation und harmonische Lösungen........... 191
4.1.2 Vollständig polarisierte elektromagnetische Wellen........ 197
4.1.3 Beschreibung der Polarisation............................. 200
4.2 Einfache strahlende Quellen.................................... 204
4.2.1 Typische Dimensionen strahlender Quellen............... 205
4.2.2 Beschreibung durch Multipolstrahlung.................... 207
4.2.3 Der Hertz sche Dipol..................................... 211
4.3 Brechung harmonischer Wellen................................. 215
4.3.1 Brechungsindex und Winkelrelationen.................... 215
4.3.2 Dynamik der Brechung und der Reflexion................ 217
4.4 Geometrische Optik, Linsen und negativer Brechungsindex ... 221
4.4.1 Optische Signale im Orts- und im Impulsraum........... 221
4.4.2 Geometrische Optik und dünne Linsen................... 224
4.4.3 Medien mit negativem Brechungsindex................... 227
4.4.4 Metamaterialien mit negativem Brechungsindex........... 234
Inhaltsverzeichnis
XV
4.5 Die Näherung achsennaher Strahlen............................ 236
4.5.1 Helmholtz-Gleichung in paraxialer Näherung............. 236
4.5.2 Die Gauß-Lösung......................................... 237
4.5.3 Analyse der Gauß-Lösung................................ 239
4.5.4 Weitere Eigenschaften des Gauß-Strahls.................. 243
5. Lokale Eichtheorien
5.1 Klein-Gordon-GJeichung und massive Photonen................ 247
5.2 Die Bausteine der Maxwell-Theorie............................. 251
5.3 Nicht-Abel sche Eichtheorien.................................... 254
5.3.1 Die Stmkturgruppe und ihre Lie-Algebra................. 255
5.3.2 Global invariante Lagrangedichten........................ 261
5.3.3 Die Eichgruppe........................................... 262
5.3.4 Potentiale und kovariante Ableitung...................... 263
5.3.5 Feldstärkentensor und Krümmung......................... 266
5.3.6 Eichinvariante Lagrangedichten........................... 269
5.3.7 Physikalische Interpretation............................... 272
5.3.8 * Mehr über die Eichgruppe.............................. 275
5.4 Die U(2)-Theorie der elektroschwachen Wechselwirkungen___ 279
5.4.1 Eine U(2)-Eichtheorie mit masselosen Eichfeldern........ 280
5.4.2 Spontane Symmetriebrechung............................. 282
5.4.3 Anwendung auf die U(2)-Theorie......................... 287
5.5 Epilog und Ausblick............................................. 291
6. Klassische Feldtheorie der Gravitation
6.1 Phänomenologie der
gravitati
ven
Wechselwirkung............. 294
6.1.1 Parameter und Größenordnungen......................... 294
6.1.2 Äquivalenzprinzip und Universalität....................... 296
6.1.3 Rotverschiebung und andere Effekte der Gravitation...... 300
6.1.4 Vermutungen und weiteres Programm..................... 304
6.2 Materie und nichtgravitative Felder............................ 305
6.3 Raumzeiten als glatte Mannigfaltigkeiten....................... 308
6.3.1 Mannigfaltigkeiten, Kurven und Vektorfelder............. 308
6.3.2 Einsformen, Tensoren und Tensorfelder................... 315
6.3.3 Koordinatenausdrücke und Tensorkalkül .................. 318
6.4 Paralleltransport und Zusammenhang.......................... 326
6.4.1 Metrik, Skalarprodukt und Index.......................... 326
6.4.2 Zusammenhang und kovariante Ableitung................. 328
6.4.3 Torsions- und Krömmungs-Tensorfelder................... 332
6.4.4 Der Levi-Civita Zusammenhang.......................... 334
6.4.5 Eigenschaften des Levi-Civita Zusammenhangs........... 335
6.4.6 Geodäten auf semi-Riemann schen Raumzeiten........... 338
6.4.7 Weitere Eigenschaften des Krümmungstensors............ 341
6.5 Die Einstein schen Gleichungen................................. 344
6.5.1 Energie-Impuls-Tensorfeld in gekrümmter Raumzeit...... 344
6.5.2 Ricci-Tensor, Kriimmungsskalar und Einstein-Tensor...... 345
6.5.3 Die Grundgleichungen.................................... 347
6.6 Gravitationsfeld einer kugelsymmetrischen Massenverteilung.. 352
6.6.1 Die Schwarzschild-Metrik................................. 353
6.6.2 Zwei beobachtbare Effekte................................ 355
6.7 Schlussbemerkungen............................................. 362
xvi Inhaltsverzeichnis
Historische Anmerkungen: Vier Schritte der Vereinigung....... 365
Aufgaben................................................................. 369
Ausgewählte Lösungen der Aufgaben.............................. 377
Literatur................................................................... 401
Sachverzeichnis.......................................................... 403
Namenverzeichnis....................................................... 407
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