Einführung in die diskrete Finanzmathematik:
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Berlin [u.a.]
Springer
2006
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| Series: | Springer-Lehrbuch
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| Item Description: | 2. Aufl. u.d.T.: Kremer, Jürgen: Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten |
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Inhaltsverzeichnis
Ein-Perioden-Wertpapiermärkte. 1
1.1 Portfolios. 5
1.2 Optionen und Forward-Kontrakte. 8
1.2.1 Optionen. 8
1.2.2 Forward-Kontrakte. 10
1.3 Die Bewertung von Auszahlungsprofilen. 12
1.3.1 Die Transformation deterministischer Zahlungsströme . 12
1.3.2 Die Transformation zustandsabhängiger Zahlungsströme 14
1.3.3 Die Bewertung von Auszahlungsprofilen mit Hilfe von
Replikation. 15
1.4 Replikation und Arbitrage. 22
1.5 Der Fundamentalsatz der Preistheorie. 31
1.5.1 Trennungssätze
1.5.2 Interpretation von ip als Zustandspreisvektor. 39
1.5.3 Der Nachweis der Arbitragefreiheit. 39
1.5.4 Das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell. 40
1.6 Replizierbarkeit und Vollständigkeit. 44
1.7 Preise als diskontierte Erwartungswerte. 47
1.7.1 Interpretation von d als Diskontfaktor. 49
1.7.2 Interpretation von Q als Martingalmaß. 51
1.7.3 Erwartunpwert versus Diskontierung. 52
1.8 Wertgrenzen für
1.9 Das Auffinden von Arbitragegelegenheiten. 56
1.10 Das diskontierte Marktmodell. 58
1.10,1 Arbitragefreiheit und Gewinne. 61
1.11 Zusammenfassung. 68
1.12 Weitere Aufgaben. 69
Portfoliotheorie. 73
2.1 Rendite und Risiko. 73
2.1.1 Die erwartete Rendite. 74
XII
2.1.2 Risiko, Varianz und Volatilität. 74
2.1.3 Der rationale Investor. 76
2.1.4 Das /i-cr-Diagramm. 76
2.2 Portfolioanalyse. 77
2.2.1 Rendite und erwartete Rendite eines Portfolios. 77
2.2.2 Varianz und Standardabweichung eines Portfolios. 80
2.2.3 Relative Risikobeiträge. 83
2.2.4 Interpretation der Kovarianz. 84
2.2.5 Die Korrelation. 85
2.2.6 Diversifikation. 87
2.2.7 Die klassische Darstellung des CAPM. 91
2.3 Mean-Variance-Portfolio-Analyse. 101
2.3.1 Die Zustandsdichte.102
2.3.2 Rendite und Risiko der Zustandsdichte.104
2.3.3 CAPM und das Mean-Variance-Optimierungsproblem. 110
2.3.4 Die Bewertung von Auszahlungen mit Hilfe des
2.3.5 Anwendungsbeispiel für den Fall
2.3.6 Der Fall C eMK beliebig, C £ 1.119
2.3.7 Das Optimierungsproblem.131
2.4 Zusammenfassung.136
2.5 Weitere Aufgaben.141
3 Mehr-Perioden-Modelle .143
3.1 Modellierung der Informationszunahme.144
3.1.1 Informationsbäume,.144
3.1.2 Algebren und Partitionen.149
3.2 Stochastische Prozesse und Meßbarkeit.153
3.2.1 Die natürliche Filtration.159
3.3 Das Marktmodell.164
3.4 Die Bewertung von Auszahlungsprofilen.169
3.4.1 Lokalisierung.171
3.4.2 Ein-Perioden-Teihnodelle. 171
3.4.3 Konstruktion einer replizierenden Handelsstrategie.172
3.4.4 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz.177
3.4.5 Die Bewertung deterministischer Zahlungsströme.181
3.4.6 Die Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsströme. 183
3.4.7 Die Bestimmung von Zustandsprozessen.186
3.5 Der Diskontierungsoperator.192
3.5.1 Definition und Eigenschaften.192
3.5.2 Direktes und rekursives Verfahren zur Bestimmung
der Preise von Auszahlungsprofilen.199
3.5.3 Darstellung der Preise als Erwartungswerte.202
3.5.4 Festverzinsliche Handelsstrategien.203
3.5.5 Der Diskontierungsoperator wird zur bedingten
Erwartung.209
Inhaltsverzeichnis
3.5.6 Preisprozesse werden zu Martingalen.211
3.6 Das diskontierte Marktmodell.212
3.7 Wertgrenzen für
3.8 Zusammenfassung.220
3.9 Weitere Aufgaben.226
Optionen,
4.1 Das Mehr-Perioden-Binomialbaum-Modell.229
4.2 Rekombinierende Binomialbäume.233
4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums.237
4.3.1 Bestimmung des Zinssatzes rn pro Periode.238
4.3.2 Die Modellierung der Aktienkurse.239
4.3.3 Binomialbäume und Binomialverteilung.242
4.3.4 Die Bestimmung der Parameter un und pn .244
4.3.5 Näherungslösungen für un und pn.246
4.4 Die Bewertung europäischer Standard-Derivate.248
4.4.1 Das direkte Bewertungsverfahren.249
4.4.2 Die Implementierung des direkten Verfahrens.251
4.4.3 Das rekursive Bewertungsverfahren.254
4.4.4 Die Implementierung des rekursiven Verfahrens.255
4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen.256
4.5.1 Die Modellierung von Aktienkursen mit
Dividendenzahlungen.256
4.5.2 Die Bewertung im Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell. 260
4.5.3 Dividenden im Mehr-Perioden-Modell.263
4.5.4 Algorithmen zur Bewertung europäischer
Auszahlungen mit Dividenden.268
4.6 Amerikanische Optionen.270
4.6.1 Die Bewertung amerikanischer Optionen ohne
Dividendenzahlungen.270
4.6.2 Ein Algorithmus zur Berechnung amerikanischer
Auszahlungen ohne Dividendenzahlung.274
4.7 Amerikanische Optionen mit Dividendenzahlungen.276
4.7.1 Ein Algorithmus zur Berechnung von amerikanischen
Optionen mit Dividendenzahlung.276
4.8 Die Black-Scholes-Formem.278
4.8.1 Bewertungsformehl im Binomialbaum-Modell.278
4.8.2 Die Konvergenz der Bewertungsformel.281
4.8.3 Die analytische Bewertung von Standard-Optionen im
Black-Scholes-Modell.284
4.8.4 Implementierung der Black-Scholes-Formeln.285
4.9
4.10
4.11 Forward-Preise.294
4.12
Inhaltsverzeichnis
4.13 Foraard-Start-Optionen.304
4.14 Forward-Start-Performance-Optionen.305
4.15 Ein strukturiertes Produkt.306
4.16 Zusammenfassung.308
4.17 Weitere Aufgaben.310
Risikomanagement.311
5.1
5.1.1 Darstellung des
Renditeverteilung eines Portfolios .313
5.1.2 Normalverteilte Portfoliorenditen.313
5.1.3 Zeitliche Skalierung.315
5.2 Die Delta-Normal-Methode.318
5.2.1 Die Portfoliorendite als Linearkombination
normalverteilter Renditen.318
5.2.2 Die Delta-Normal-Methode.322
5.2.3 Berechnung der modifizierten Sensitivitäten.325
5.3
5.4
5.5 Diskussion:
5.6 Zusammenfassung.336
5.7 Weitere Aufgaben.338
Diskrete Stochastische
6.1 Bedingte Erwartung und
6.1.1 Die Bedingte Erwartung als Projektion.345
6.1.2 Unabhängigkeit.349
6.1.3
6.2 Die Doob-Zerlegung.352
6.3 Kovariations-Prozesse.355
6.4 Orthogonale
6.5 Das diskrete stochastische Integral.360
6.6 Stochastische Integrale und Kovariations-Prozesse.361
6.7 Die
6.8 Stochastische Exponentiale.364
6.9 Der Satz von Girsanov.367
6.9.1 Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte.367
6.9.2 Der Satz von Girsanov.369
6.10 Stopzeiten.371
6.11 Zusammenfassung.375
6.12 Weitere Aufgaben.376
Inhaltsverzeichnis
7 Diskrete Stochastische Finanzmathematik.377
7.1 Das Binomialbaum-Modell.377
7.1.1 Schritt 1: Konstruktion eines Martingalmaßes.378
7.1.2 Schritt 2: Definition des Preises von op als
Erwartungswert.386
7.1.3 Schritt 3: Konstruktion einer die Endauszahlung ct
replizierenden selbstfinanzierenden Handelsstrategie. 386
7.2 Die Binomialbaum-Formeln.388
7.3 Die Black-Scholes-Formeln.391
7.4 Amerikanische Optionen.395
7.5 Zusammenfassung.398
7.6 Aufgaben.399
8 Mathematische Grundlagen.401
8.1 Vektorräume.401
8.2 Skalarprodukt und Norm.402
8.3 Die Schwarzsehe Ungleichung.404
8.3.1 Der Satz des
8.3.2 Die Projektion.405
8.3.3 Die Schwarzsehe Ungleichung.407
8.3.4 Definition von Winkeln.408
8.3.5 Grenzfälle.408
8.4 Basen, Orthonormalbasen und der Projektionssatz.409
8.5 Quotientenräume.412
8.6 Lineare Abbildungen.414
8.7 Der Rieszsche Darstellungssatz.420
8.8 Adjungierte Abbildungen.421.
8.9 Lineare Optimierung.424
8.10 Landau-Symbole.425
8.11 Lagrange-Multiplikatoren.426
8.12 Der Satz von De Moivre-Laplace.428
9 Lösungen der Aufgaben.431
9.1 Ein-Perioden-Modelle.431
9.2 Portfoliotheorie.442
9.3 Mehr-Perioden-Modelle.456
9.4 Optionen,
9.5 Risikomanagement.476
9.6 Diskrete Stochastische
9.7 Diskrete Stochastische Finanzmathematik.488
Literaturverzeichnis.493
Sachverzeichnis.,.495
Jürgen Kremer
Einführung in die
Diskrete Finanzmathematik
Im vorliegenden Buch werden die wichtigsten Grundlagen
der modernen Finanzmathematik im Rahmen endlicher
Wahrscheinlichkeitsräume und unter Berücksichtigung
endlich vieler Zeitpunkte dargestellt.
Behandelte Themen sind unter anderem allgemeine Ein- und Mehr-Perioden-Modelle,
die klassische Portfoliotheorie, eine moderne Darstellung des Capital
Models (CAPM), Binomialbaum-Verfahren zur Bewertung europäischer und amerika¬
nischer Standard-Optionen, Berücksichtigung von Dividendenzahlungen, die Black-
Scholes-Formeln, das Konzept
einige ausgewählte exotische Optionen.
Zu allen dargestellten Binomialbaum-Verfahren sowie für die Black-Scholes-Formeln
werden Algorithmen angegeben, die leicht implementiert werden können. Vollständige,
in Java geschriebene Programme können von der Homepage des Autors unter
www.rheinahrcampus.de/~kremer
Der letzte Teil des Buches bietet eine Einführung in die diskrete stochastische Finanz¬
mathematik. Vorbereitend werden zentrale Konzepte der stochastischen
etwa stochastische Prozesse, Meßbarkeit, Filtrationen, stochastische Integrale, der Satz
von Girsanov oder der Martingal-Darstellungssatz im Kontext endlicher Wahrschein¬
lichkeitsräume entwickelt, so daß die notwendigen Vorkenntnisse auf die Mathematik
des Grundstudiums begrenzt werden können. Der gewählte Rahmen ist dennoch reich¬
haltig, und die wichtigsten Eigenschaften der stetigen Modelle lassen sich bereits klar
erkennen.
Das Buch kann damit in Bachelor- oder Diplom-Studiengängen mit finanz- oder wirt¬
schaftsmathematischen Schwerpunkten verwendet werden, es möchte aber auch den
Einstieg in die stetige Finanzmathematik erleichtern.
Dank vieler Beispiele, Aufgaben mit Lösungen sowie einem Kapitel mit mathematischen
Grundlagen sind die dargestellten Inhalte auch zum Selbststudium geeignet. |
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