Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen
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Berlin [u.a.]
Springer
2006
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2 Metrische Räume........................................
1.3 Der Banachsche Fixpunktsatz............................. 9
1.4 Kompakte Räume....................................... 12
2 Banach- und Hilbert-Räume............................... 17
2.1 Banach-Räume.......................................... 17
2.2 Endlich
2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum..... 21
2.4 Hilbert-Räume.......................................... 26
2.5 Räume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli ... 31
2.6 Die Hölder-Räume
3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis...................... 41
3.1 Der Satz von Baire und das Prinzip der gleichmäßigen
Beschränktheit.......................................... 41
3.2 Das Prinzip der offenen Abbildung......................... 43
3.3 Hahn-Banach-Sätze...................................... 45
3.4 Lokalkonvexe
3.5 Bidualraum und schwache Topologien...................... 51
3.6 Schwache Folgenkompaktheit und reflexive Räume........... 55
3.7 Konvexität und schwache
4 Die Lebesgue-Räume LP{Q) ............................... 65
4.1 Das Lebesgue-Integral.................................... 65
4.2 Definition der Räume LP(Ü).............................. 69
4.3 Mollifier und dichte Unterräume........................... 72
4.4 Konvergenzeigenschaften von Folgen meßbarer Funktionen .... 75
4.5 Der Dualraum von Lp(ß) ................................ 77
X
5 Die Sobolev-Räume
5.1 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung............. 85
5.2 Schwache Ableitungen ................................... 86
5.3 Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-Räume 89
5.4 Produkt- und Kettenregel................................ 93
5.5 Differenzenquotienten und schwache Differenzierbar
Lipschitzfunktionen...................................... 95
6 Portsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen 99
6.1 Gebiete................................................ 99
6.2 C^(Rn) ist dicht in
6.3 Transformationssätze ....................................102
6.4 Fortsetzungssätze........................................104
6.5 Einbettungen in Lq(ü)...................................106
6.6 Randwerte von Sobolev-Funktionen........................108
6.7 Kompakte Einbettungen in Lq{Ü).........................113
6.8 Einbettungen in Räume stetiger Funktionen................117
6.9 Dualräume von Hm P(Q) und die Räume #- ■«(<?).........119
6.10 Die gebrochenen Sobolev-Räume HS P(Q) ..................121
7 Elliptische Differentialgleichungen.........................131
7.1 Starke und schwache Lösungen der Poisson-Gleichung........131
7.2 Existenz von Lösungen elliptischer Differentialgleichungen .... 134
7.3 Die Differenzenquotienten-Technik.......................... 136
7.4 Regularität auf konvexen Gebieten.........................140
7.5 Maximumprinzipien .....................................143
7.6 Die Verfahren von Ritz und Galerkin.......................147
7.7
8 Einführung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie 159
8.1 Spektrum und Resolventenmenge..........................159
8.2 Struktur der Resolventenmenge und des Resolventenoperators . 161
8.3 Kompakte Operatoren...................................153
8.4 Adjungierte Operatoren, Annihilatoren und Gelfandscher
Dreier..................................................254
8.5 Quotientenräume........................................
8.6 Operatoren mit abgeschlossenem Bild...................
8.7 Fredholm-Operatoren und die Spektraltheorie kompakter
Operatoren..........................................
8.8 Integralgleichungen....................................
8.9
8.10 Das abstrakte Eigenwertproblem......................
8.11 Das Eigenwertproblem für den
8.12 Zur Klassifikation partieller Differentialgleichungen.......
Inhaltsverzeichnis
9 Distributionen und
9.1 Distributionen..........................................199
9.2 Die
9.3 Die
9.4 Sobolev-Räume und
9.5 Die
A
A.l Konvexität und elementare Ungleichungen..................231
A.2 Fortsetzung stetiger Funktionen...........................233
A.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz....................235
A.4 Der lokalkonvexe Raum V{Q).............................236
A.5 Harmonische Funktionen und der Satz von Liouville.........237
A.6 Polarkoordinaten........................................239
A.7 Reelle und komplexe Vektorräume.........................240
Lösungen......................................................241
Literaturverzeichnis ...........................................253
Symbol Verzeichnis.............................................257
Sachverzeichnis................................................261
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