Analysis:
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| Published: |
München [u.a.]
Oldenbourg
2005
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| Edition: | 3., überarb. und verb. Aufl. |
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Aas dem Vorwort zur 1. amerikanischen Auflage
1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1
Einführung. 1
Geordnete Mengen. 3
Körper . 5
Der Körper der reellen Zahlen. 9
Die erweiterte reelle Zahlengerade. 12
Der Körper der komplexen Zahlen. 13
Euklidische Räume. 17
Anhang. 19
Übungsaufgaben. 24
2 Einführung in die
Endliche, abzahlbare und überabzählbare Mengen. 27
Metrische Räume. 34
Kompakte Mengen. 41
Vollkommene Mengen. 46
Zusammenhängende Mengen . 48
Übungsaufgaben. 49
3 Zahlenfolgen und Reihen 55
Konvergente Folgen . 55
Teilfolgen. 59
Cauchy-Folgen. 60
Obere und untere Grenzwerte . 63
Einige spezielle Folgen. 65
Reihen . 67
Reihen mit nichtnegativen Gliedern. 69
Die Zahl
Das Wurzel- und das Quotientenkriterium. 74
Potenzreihen. 78
VIH
Produkt von Parüalsummen. 79
Absolute Konvergenz. 81
Addition und Multiplikation von Reihen. 81
Umordnungen. 85
Übungsaufgaben. 88
4 Stetigkeit 95
Grenzwerte von Funktionen. 95
Stetige Funktionen. 98
Stetigkeit und Kompaktheit. 102
Stetigkeit und Zusammenhang. 106
Unstetigkeitsstellen. 107
Monotone Funktionen. 109
Unendliche Grenzwerte und Grenzwerte im Unendlichen. 111
Übungsaufgaben. 112
5 Differentiation 119
Mittelwertsätze. 122
Die Stetigkeit von Ableitungen. 124
Die l'Hospitalsche Regel. 125
Ableitungen höherer Ordnung. 127
Der Taylorsche Satz . 127
Differentiation von vektorwertigen Funktionen. 128
Übungsaufgaben. 131
6 Das Riemann-Stieltjes Integral 139
Definition und Existenz des Integrals . 139
Eigenschaften des Integrals. 148
Integration und Differentiation. 155
Integration von vektorwertigen Funktionen. 157
Rektifizierbare Kurven. 158
Übungsaufgaben. 160
7 Folgen und Reihen von Funktionen 167
Erörterung des Hauptproblems. 167
Gleichmäßige Konvergenz. 171
Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit. 173
Gleichmäßige Konvergenz und Integration. 176
Gleichmäßige Konvergenz und Differentiation . 177
Gleichgradig stetige Familien von Funktionen. 180
Der Satz von Stone-Weierstraß. 185
Übungsaufgaben. 192
jHHALTSVERZEICHNIS
g
Potenzreihen. 201
Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion. 208
Die trigonometrischen Funktionen. 212
Die algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Körpers. 215
Fourier-Reihen. 216
Die Gammafunktion. 224
Übungsaufgaben. 229
9 Funktionen mehrerer Variablen 239
Lineare Abbildungen. 239
Differentiation. 247
Das Kontraktionsprinzip. 257
Der Satz über Umkehrabbildungen. 258
Der Satz über implizite Funktionen . 261
Der Rangsatz. 266
Determinanten. 270
Ableitungen höherer Ordnung. 274
Differentiation von Integralen. 276
Übungsaufgaben. 279
10 Integration von Differentialformen 287
Integration. 287
Primitive Abbildungen. 291
Partitionen der Eins. 294
Die Substitutionsregel . 295
Differentialformen. 297
Simplexe und Ketten. 312
Der Satz von
Geschlossene und exakte Formen. 323
yektoranalysis .'. 330
Übungsaufgaben. 339
11 Die Lebesguesche Theorie 353
Mengenfunktionen. 353
Konstruktion des Lebesgueschen Maßes. 355
Maßräume . 364
Meßbare Funktionen. 364
Einfache Funktionen. 367
Integration . 368
Vergleich mit dem Riemann-Integral. 378
Integration komplexer Funktionen. 381
X
Funktionen der Klasse C? .382
Übungsaufgaben.390
Literaturverzeichnis 393
Liste spezieller Symbole 395
Sachverzeichnis 399
W. Rudin
Analysis
3., überarbeitete und verbesserte Auflage
Dieses Lehrbuch behandelt vollständig die
einer und mehrerer Variablen, also die reellen und
komplexen Zahlen, Folgen und Reihen, Stetigkeit,
Differenzierbarkeit und die Integration. Darüber hin¬
aus bietet Rudins
So werden z.B. das Riemann-Stieltjes-Integral, die
Lebesgue'sche Theorie, die Gamma-Funktion, Differen¬
tialformen oder der
führlich behandelt. In einem eigenen Abschnitt werden
das Riemann- und das Lebesgue-Integral miteinander
verglichen. Der Kalkül der alternierenden Differential¬
formen wird abstrakt eingeführt; anschließend schlägt
Rudin die Brücke zur Vektoranalysis im dreidimensio¬
nalen Raum, wie sie von jeher die Physiker anwenden.
Damit zeichnet sich das Buch gegenüber anderen ein¬
führenden Analysisbüchern aus.
Eine Vielzahl von Übungsaufgaben im Anschluß an
jedes Kapitel (ideal zur Prüfungsvorbereitung!) zeigen
an teils überraschenden Beispielen den umfassenden
Gehalt der zuvor dargelegten Theorie und führen damit
zu neuen Sichtweisen.
Wer sich einmal auf Walter Rudins klaren, prägnanten
und vor allem eleganten Stil eingelassen hat, der wird
das Buch mit großem Gewinn lesen und es als wert¬
volles Nachschlagewerk schätzen!
„Dieses Buch gehört [.] mit seinem komprimierten,
aber dennoch "klaren Stil zu den Meisterwerken der
mathematischen Lehrbuchliteratur. " |
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