Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB:
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Berlin [u.a.]
Springer
2006
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Was man wissen sollte................................ 1
1.1 Reelle Zahlen...................................... 1
1.1.1 Wie wir sie darstellen......................... 2
1.1.2 Wie wir mit Floating-Point-Zahlen rechnen...... 4
1.2 Komplexe Zahlen................................... 6
1.3 Matrizen.......................................... 8
1.3.1 Vektoren.................................... 12
1.4 Reelle Funktionen.................................. 14
1.4.1 Nullstellen................................... 15
1.4.2 Polynome................................... 17
1.4.3 Integration und Differentiation................. 19
1.5 Irren ist nicht nur menschlich........................ 21
1.5.1 Sprechen wir über Kosten..................... 24
1.6 Einige Worte zu
MATLAB
.......................... 27
1.6.1 MATLAB-Statements......................... 29
1.6.2 Programmieren in
MATLAB
................... 31
1.7 Was wir nicht erwähnt haben........................ 35
1.8 Aufgaben.......................................... 35
Nichtlineare Gleichungen............................. 37
2.1 Das Bisektionsverfahren............................. 39
2.2 Das Newton-Verfahren.............................. 42
2.2.1 Abbruchkriterien für das Newton-Verfahren...... 44
2.3 Fixpunktiterationen ................................ 47
2.3.1 Wie wir die Fixpunktiteration abbrechen........ 50
2.4 Beschleunigung mit dem Aitken-Verfahren............. 51
2.5 Algebraische Polynome.............................. 55
2.5.1 Das Horner-Schema........................... 56
2.5.2 Das Newton-Homer-Verfahren................. 58
2.6 Was wir nicht erwähnt haben........................ 61
2.7 Aufgaben.......................................... 62
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Approximation von Funktionen und Daten ........... 65
3.1 Interpolation....................................... 67
3.1.1 Polynomiale Lagrange-Interpolation ............ 68
3.1.2 Chebyshev-Interpolation ...................... 74
3.1.3 Trigonometrische Interpolation und FFT........ 75
3.2 Stückweise lineare Interpolation...................... 80
3.3 Approximation durch «SpZme-Funktionen............... 81
3.4 Das Verfahren der kleinsten Quadrate................. 84
3.5 Was wir nicht erwähnt haben........................ 89
3.6 Aufgaben.......................................... 90
4 Numerische Differentiation und Integration........... 93
4.1 Approximation der Ableitung........................ 94
4.2 Numerische Integration.............................. 96
4.2.1 Die Mittelpunktsformel ....................... 97
4.2.2 Die Trapezformel............................. 99
4.2.3 Die Simpson-Formel.......................... 102
4.3 Die
adaptive
Simpson-Formel........................ 105
4.4 Was wir nicht erwähnt haben........................ 109
4.5 Aufgaben.......................................... 110
5 Lineare Systeme......................................113
5.1 Die LU-Faktorisierung..............................116
5.2
Pivoting
...........................................123
5.3 Wie genau ist die LU-Faktorisierung?.................125
5.4 Wie man ein tridiagonales System löst................130
5.5 Iterative Verfahren .................................132
5.5.1 Wie man ein iteratives Verfahren konstruiert.....133
5.6 Wann soll ein iteratives Verfahren abgebrochen werden? . 137
5.7 Das
Richardson-
Verfahren...........................140
5.8 Was wir nicht erwähnt haben........................143
5.9 Aufgaben..........................................144
6 Eigenwerte und Eigenvektoren........................147
6.1 Das Potenzverfahren................................150
6.1.1 Konvergenzanalyse...........................152
6.2 Verallgemeinerung des Potenzverfahrens...............153
6.3 Wie man den
Shift
berechnet........................156
6.4 Die Berechnung aller Eigenwerte .....................158
6.5 Was wir nicht erwähnt haben........................159
6.6 Aufgaben..........................................160
Inhaltsverzeichnis
IX
7 Gewöhnliche Differentialgleichungen..................163
7.1 Das Cauchy-Problem ...............................165
7.2 Das Euler-Verfahren................................166
7.2.1 Konvergenzanalyse...........................168
7.3 Das Crank-Nicolson-Verfahren .......................172
7.4 Nullstabilität ......................................173
7.5 Stabilität auf unbeschränkten Intervallen..............175
7.5.1 Bereiche absoluter Stabilität...................178
7.5.2 Absolute Stabilität kontrolliert Störungen.......179
7.6 Verfahren höherer Ordnung..........................186
7.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren.......................188
7.8 Systeme von Differentialgleichungen...................190
7.9 Was wir nicht erwähnt haben........................195
7.10 Aufgaben..........................................196
8 Numerische Verfahren für Randwertprobleme........199
8.1 Approximation von Randwertproblemen...............202
8.1.1 Approximation mit finiten Differenzen..........202
8.1.2 Approximation mit finiten Elementen...........204
8.2
Finite
Differenzen in zwei Dimensionen................207
8.2.1 Konsistenz und Konvergenz....................214
8.3 Was wir nicht erwähnt haben........................216
8.4 Aufgaben..........................................216
9 Lösung der Aufgaben.................................219
9.1 Kapitel 1..........................................219
9.2 Kapitel 2..........................................221
9.3 Kapitel 3..........................................227
9.4 Kapitel 4..........................................231
9.5 Kapitel 5..........................................236
9.6 Kapitel 6..........................................241
9.7 Kapitel 7..........................................245
9.8 Kapitel 8..........................................253
Literaturverzeichnis ......................................259
Index der MATLAB-Programme.........................263
Index.....................................................265
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