Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen: Theorie, Verfahren und Anwendungen
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2005
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einführung und Beispiele 1
1.1 Was ist optimale Steuerung? ......................... 1
1.2 Beispiele konvexer Aufgaben.......................... 2
1.2.1 Optimale stationäre Aufheizung ................... 2
1.2.2 Optimale instationäre Randtemperatur ............... 4
1.2.3 Optimales Schwingen ......................... 5
1.3 Beispiele nichtkonvexer Probleme....................... 6
1.3.1 Aufgaben mit semilinearer elliptischer Gleichung.......... 6
1.3.2 Probleme mit semilinearer parabolischer Gleichung......... 7
1.4 Grundkonzepte im endlichdimensionalen Fall................ 8
1.4.1 Endlichdimensionale Aufgabe der optimalen Steuerung....... 8
1.4.2 Existenz optimaler Steuerungen.................... 9
1.4.3 Notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung....... 10
1.4.4 Adjungierter Zustand......................... 11
1.4.5 Lagrange-Funktion........................... 13
1.4.6 Diskussion der Variationsungleichung................. 14
1.4.7 Formulierung als Karush-Kuhn-Tucker-System........... 14
2 Linear-quadratische elliptische Probleme 17
2.1 Lineare normierte Räume........................... 17
2.2 Sobolewräume.................................. 19
2.2.1 ¿P-Räume................................ 19
2.2.2 Reguläre Gebiete............................ 21
2.2.3 Schwache Ableitungen und Sobolewräume.............. 21
2.3 Schwache Lösungen elliptischer Gleichungen................. 24
2.3.1 Poissongleichung............................ 25
2.3.2 Randbedingung dritter Art...................... 27
2.3.3 Differentialoperator in Divergenzform................ 30
2.4 Lineare Abbildungen.............................. 32
2.4.1 Lineare stetige Operatoren und Funktionale............. 32
2.4.2 Schwache Konvergenz......................... 35
2.5 Existenz optimaler Steuerungen........................ 37
2.5.1 Optimale stationäre Temperaturquelle................
2.5.2 Optimale stationäre Randtemperatur ................ 42
2.5.3 Allgemeinere elliptische Gleichungen und Zielfunktionale *..... 43
2.6 Differenzierbarkeit in Banachräumen..................... 44
2.7 Adjungierte Operatoren............................ 47
2.8 Notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung........... 49
Inhaltsverzeichnis
2.8.1 Quadratische Optimierungsaufgabe im Hilbertraum ........ 49
2.8.2 Optimale stationäre Temperaturquelle................ 51
2.8.3 Stationäre Temperaturquelle und Randbedingung dritter Art ... 59
2.8.4 Optimale stationäre Randtemperatur ................ 60
2.8.5 Ein lineares Optimalsteuerungsproblem............... 63
2.9 Konstruktion von Testaufgaben........................ 64
2.9.1 Bang-Bang-Steuerung......................... 64
2.9.2 Verteilte Steuerung und Neumann-Randbedingung......... 65
2.10 Das formale Lagrange-Prinzip......................... 67
2.11 Weitere Beispiele *............................... 71
2.11.1 Differentialoperator in Divergenzform................ 71
2.11.2 Optimale stationäre Temperaturquelle mit vorgegebener Außen¬
temperatur ............................... 72
2.12 Numerische Verfahren............................. 72
2.12.1 Bedingtes Gradientenverfahren.................... 73
2.12.2 Gradienten-Projektionsverfahren................... 76
2.12.3 Überführung in ein endlichdimensionales quadratisches
Optimierungsproblem......................... 76
2.12.4 Aktive-Mengen-Strategie........................ 81
2.13 Adjungierter Zustand als Multiplikator *................... 84
2.13.1 Elliptische Gleichungen mit Daten aus
2.13.2 Anwendung beim Beweis von Optimalitätsbedingungen...... 85
2.13.3 Adjungierter Zustand als Lagrangescher Multiplikator....... 86
2.14 Höhere Regularität für elliptische Aufgaben *................ 87
2.14.1 Grenzendes Zustandsraums
2.14.2 Sobolew-Slobodezki-Räume...................... 88
2.14.3 Höhere Regularität von Lösungen................... 89
2.14.4 Einbettungssätze............................ 90
2.15 Regularität optimaler Steuerungen *..................... 91
2.16 Übungsaufgaben................................ 92
Linear-quadratische parabolische Probleme 95
3.1 Vorbetrachtungen................................ 95
3.2 Der örtlich eindimensionale Fall........................ 98
3.2.1 Eindimensionale Modellprobleme................... 98
3.2.2 Integraldarstellung von Lösungen - Greensche Funktion...... 100
3.2.3 Notwendige Optimalitätsbedingungen................ 101
3.2.4 Bang-Bang-Prinzip........................... 106
3.3 Schwache Lösungen in W^iQ)........................ 109
3.4 Schwache Lösungen in W(Q,T)........................ 113
3.4.1 Abstrakte Funktionen......................... 113
3.4.2 Abstrakte Funktionen und parabolische Gleichungen........ 115
3.4.3 Vektorwertige Distributionen..................... 116
3.4.4 Zugehörigkeit schwacher Lösungen aus W^iQ) zu W(0, T) .... 119
3.5 Parabolische Optimalsteuerungsprobleme.................. 123
3.5.1 Optimale instationäre Randtemperatur ............... 123
3.5.2 Optimale instationäre Temperaturquelle............... 124
3.6 Notwendige Optimalitätsbedingungen .................... 125
Inhaltsverzeichnis
3.6.1 Hilfssatz für adjungierte Operatoren................. 125
3.6.2 Optimale instationäre Randtemperatur ............... 127
3.6.3 Optimale instationäre Temperaturquelle............... 130
3.6.4 Differentialoperator in Divergenzform *............... 131
3.7 Numerische Lösungstechniken......................... 134
3.7.1 Gradienten-Projektionsverfahren................... 134
3.7.2 Überführung in eine endlichdimensionale Aufgabe ......... 135
3.8 Parabolische Gleichungen in L2(Q,T]V*) *................. 138
3.9 Übungsaufgaben................................ 139
Steuerung semilinearer elliptischer Gleichungen 141
4.1 Die semilineare elliptische Modellgleichung.................. 141
4.1.1 Motivation des weiteren Vorgehens.................. 141
4.1.2 Lösungen in
4.1.3 Stetige Lösungen............................ 144
4.2 Nemyzki-Operatoren.............................. 147
4.2.1 Stetigkeit von Nemyzki-Operatoren.................. 147
4.2.2 Differenzierbarkeit von Nemyzki-Operatoren............. 149
4.2.3 Ableitungen in weiteren ZARäumen *................ 153
4.3 Existenz optimaler Steuerungen........................ 154
4.3.1 Grundvoraussetzung des Kapitels................... 154
4.3.2 Verteilte Steuerung........................... 155
4.4 Der Steuerungs-Zustands-Operator...................... 158
4.4.1 Verteilte Steuerung........................... 159
4.4.2 Randsteuerung............................. 161
4.5 Notwendige Optimalitätsbedingungen .................... 161
4.5.1 Verteilte Steuerung........................... 161
4.5.2 Randsteuerung............................. 164
4.6 Anwendung des formalen Lagrange-Prinzips................. 166
4.7 Pontrjaginsches Maximumprinzip *...................... 169
4.7.1 Hamilton-Funktionen ......................... 169
4.7.2 Maximumprinzip............................ 170
4.8 Ableitungen zweiter Ordnung......................... 171
4.9 Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung.................. 175
4.9.1 Einführung - Die Zwei-Norm-Diskrepanz .............. 175
4.9.2 Verteilte Steuerung........................... 179
4.9.3 Randsteuerung............................. 187
4.9.4 Berücksichtigung stark aktiver Restriktionen *........... 188
4.9.5 Fälle ohne Zwei-Norm-Diskrepanz.................. 192
4.9.6 Lokale Optimalität in Lr(Q) * .................... 193
4.10 Numerische Verfahren............................. 194
4.10.1 Gradienten-Projektionsverfahren................... 194
4.10.2 Grundidee des SQP-Verfahrens.................... 195
4.10.3 SQP-Verfahren für elliptische Probleme............... 197
4.11 Übungsaufgaben................................ 200
Inhaltsverzeichnis
5 Steuerung semilinearer parabolischer Gleichungen 201
5.1 Die semilineare parabolische Modellgleichung................ 201
5.2 Grundvoraussetzung des Kapitels....................... 204
5.3 Existenz optimaler Steuerungen........................ 205
5.4 Steuerungs-Zustands-Operator........................ 207
5.5 Notwendige Optimalitätsbedingungen .................... 211
5.5.1 Verteilte Steuerung........................... 211
5.5.2 Randsteuerung............................. 214
5.6 Pontrjaginsches Maximumprinzip *...................... 216
5.7 Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung.................. 217
5.7.1 Ableitungen zweiter Ordnung..................... 217
5.7.2 Verteilte Steuerung........................... 219
5.7.3 Randsteuerung............................. 224
5.7.4 Ein Fall ohne Zwei-Norm-Diskrepanz................. 225
5.8 Testaufgaben.................................. 226
5.8.1 Aufgabe mit Steuerungsrestriktionen................. 226
5.8.2 Aufgabe mit integraler Zustandsrestriktion *............ 228
5.9 Numerische Verfahren............................. 233
5.9.1 Gradientenverfahren.......................... 233
5.9.2 SQP-Verfahren............................. 234
5.10 Weitere parabolische Probleme *....................... 237
5.10.1 Phasenfeldmodell............................ 237
5.10.2 Instationäre Navier-Stokes-Gleichungen............... 239
5.11 Übungsaufgaben................................ 243
6 Optimierungsaufgaben im Banachraum 244
6.1 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen...................... 244
6.1.1 Konvexe Aufgaben........................... 244
6.1.2 Nichtkonvexe differenzierbare Aufgaben............... 249
6.1.3 Eine semilineare elliptische Aufgabe *................ 253
6.2 Steuerprobleme mit Zustandsbeschränkungen................ 255
6.2.1 Konvexe Aufgaben........................... 256
6.2.2 Eine nichtkonvexe Aufgabe...................... 264
6.3 Übungsaufgaben................................ 267
7 Ergänzungen zu partiellen Differentialgleichungen 268
7.1 Elliptische Gleichungen ............................ 268
7.1.1 Beweis des Existenzsatzes....................... 268
7.1.2 Methode von Stampacchia....................... 271
7.1.3 Elliptische Gleichungen mit Maßen.................. 274
7.2 Parabolische Gleichungen........................... 276
7.2.1 Lösungen in W(Q.T).......................... 276
7.2.2 Stetige Lösungen............................ 284
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