Mathematik: geschrieben für Physiker 1 Mathematik 1 : geschrieben für Physiker
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2005
|
| Edition: | 2., korr. Aufl. |
| Series: | Springer-Lehrbuch
|
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XX, 560 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783540213925 3540213929 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Funktionen
1.1 Der Punktionsbegriff.................................1
1.2 Neue Funktionen aus alten...........................4
1.3 Notationsfragen----.................................7
1.4 Erste Beispiele von Funktionen......................9
1.5 Exponentialfunktion und Logarithmus..............11
1.6 Trigonometrische Funktionen.......................14
1.7 Die Arcusfunktionen................................15
1.8 Übungsaufgaben...................................19
2. Die Ableitung
2.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit...................21
2.2 Notationsfragen....................................24
2.3 Ableitungsregeln...................................25
2.4 Erste Beispiele.....................................28
2.5 Ableitungen elementarer Funktionen................31
2.6 Die Ableitungen der Arcus- und
Areafunktionen
----35
2.7 Übungsaufgaben...................................39
3. Integration
3.1 Riemann-integrierbare Funktionen..................41
3.2 Der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung...................................47
3.3 Partielle Integration................................51
3.4 Substitution........................................53
3.5 Übungsaufgaben................................... 59
xvi Inhaltsverzeichnis
4. Differentialgleichungen erster Ordnung
4.1 Der Begriff der Differentialgleichung erster
Ordnung...........................................61
4.2 Drei Musterbeispiele................................67
4.3 Ein Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen
erster Ordnung.....................................72
4.4 Getrennte Variable.................................75
4.5 Homogene und inhomogene lineare
Differentialgleichungen erster Ordnung..............78
4.6 Gekoppelte Systeme von Differentialgleichungen
erster Ordnung.....................................82
4.7 Übungsaufgaben...................................85
5. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
5.1 Differentialgleichungen zweiter Ordnung............88
5.2 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.....91
5.3 Konstante Koeffizienten............................93
5.4 Übungsaufgaben..................................101
6. Bereiche und Abbildungen in mehreren Variablen
6.1 Beispiele von Bereichen imKn.....................103
6.2 Offene, abgeschlossene und kompakte Bereiche.....109
6.3 Abbildungen in mehreren Variablen und ihre
Veranschaulichung................................113
6.4 Stetigkeit.........................................119
6.5 Übungsaufgaben..................................121
7. Partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale
7.1 Partielle Ableitungen..............................123
7.2 Mehrfachintegrale.................................130
7.3 Übungsaufgaben..................................138
[¡ìliahsverzeichnis
xvii
8. Grundbegriffe der linearen Algebra
8.1 Lineare Abbildungen und Matrizen................142
8.2 Untervektorräume des Rn.........................150
8.3 Lineare Abbildungen zwischen Untervektorräumen. 156
8.4 Übungsaufgaben..................................163
9. Basen und Dimensionen
9.1 Der Begriff der Basis..............................165
9.2 Basisergänzungssatz und Dimensionsbegriff........172
9.3 Der Rang.........................................177
9.4 Rangbestimmung.................................181
9.5 Übungsaufgaben..................................184
10. Lineare Approximation in der
Analysis
10.1 Die Jacobimatrix..................................186
10.2 Die Jacobimatrizen von Kurven und Funktionen ... 192
10.3 Die mehrdimensionalen Ableitungsregeln...........198
10.4 Infinitesimale Größen..............................202
10.5 Übungsaufgaben..................................210
11. Multilineare Abbildungen und die Determinante
11.1 Multilinearität....................................212
11.2 Symmetrieeigenschaften...........................217
11.3 Die Determinante.................................220
11.4 Übungsaufgaben..................................230
12. Quadratische Formen,
Skalar-
und Kreuzprodukt
12.1 Quadratische Formen..............................231
12.2 Skalarprodukte....................................238
12.3 Geometrische Bedeutung der Determinante........246
12.4 Das Kreuzprodukt................................252
12.5 Übungsaufgaben..................................255
vin
Inhaltsverzeichnis
13. Schwingungen und Fourierreihen
13.1 Erzwungene Schwingungen.........................258
13.2 Fourierreihen......................................265
13.3 Drei Konvergenzsätze für Fourierreihen............279
13.4 Übungsaufgaben..................................289
14. Dynamische Systeme
14.1 Grundbegriffe.....................................291
14.2 Maximale lokale Flüsse............................ 295
14.3 Rede über das Vektorpfeilchen.....................298
14.4 Phasenflüsse und Phasenportraits..................300
14.5 Die Abhängigkeit von den Anfangswerten..........304
14.5 Die Universelle Anwendbarkeit des Satzes
von Picard-Lindelöf...............................307
14.7 Vektorfeld und Richtungsfeld......................311
14.8 Übungsaufgaben..................................316
15. Zweidimensionale Systeme mit konstanten
Koeffizienten
15.1 Der e-Ansatz......................................318
15.2 Der Grenzfall.....................................322
15.3 Der komplexe e-Ansatz............................324
15.4 Die Phasenportraits...............................327
15.5 Linearisierung.....................................337
15.6 Übungsaufgaben..................................341
16. Linienintegrale
16.1 Kurven...........................................343
16.2 Linienintegrale in freier Wildbahn.................346
16.3 Linienintegrale über 1-Formen.....................351
16.4 Vektorfelder und 1-Formen........................355
16.5 Konservative Vektorfelder.........................358
16.6 Übungsaufgaben..................................364
lu h
nits
Verzeichnis xix
17.
Koordinatentransformationen
17.1 Koordinaten......................................366
17.2 Transformation von Koordinaten..................370
17.3 Die Integraltransformationsformel.................374
17.4 Infinitesimale Volumenelemente....................377
17.5 Übungsaufgaben..................................382
18. Algebraische Strukturen
18.1 Der Gruppenbegriff...............................385
18.2 Ringe und Körper.................................398
18.3 Der Körper der komplexen Zahlen.............----403
18.5 Vektorräume......................................408
18.5 Übungsaufgaben..................................411
19. Metrik,
Topologie
und Kompaktheit
19.1 Metrische Räume.................................414
19.2
Topologische
Räume..............................417
19.3 Kompaktheit......................................425
19.4 Wie erkennt man kompakte Räume................431
19.5 Übungsaufgaben..................................440
20. Kategorien und Quotienten
20.1 Kategorien........................................442
20.2 Äquivalenzrelationen..............................445
20.3 Quotienten........................................448
20.4 Quotienten von Gruppen und Vektorräumen.......452
20.5 Übungsaufgaben..................................459
21. Lineare Algebra in K-Vektorräumen
21.1 Was gibt es Neues?................................460
21.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.....................465
21.3 Übungsaufgaben..................................475
xx Inhaltsverzeichnis
22. Lineare Algebra in euklidischen und unitären
Räumen
22.1 Euklidische Räume................................477
22.2 Seibstadjungierte Operatoren......................482
22.3 Die Hauptachsentransformation....................488
22.4 Unitäre Räume....................................500
22.5 Hermitesche Operatoren...........................508
22.6 Übungsaufgaben..................................512
Fußnoten und Ergänzungen.............................515
Register...................................................547
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