Diskrete Mathematik:
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Berlin [u.a.]
Springer
2005
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 , Nun wird gezählt !
1.1 Eine Party........................................................ 3
1.2 Mengen und Ähnliches........................................ 7
1.3 Die Anzahl der Teilmengen.................................. 13
1.4 Die ungefähre Anzahl von Teilmengen.................... 19
1.5 Sequenzen....................................................... 20
1.6 Permutationen................................................... 22
1.7 · Die Anzahl geordneter Teilmengen........................ 24
1.8 Die Anzahl der Teilmengen einer vorgegebenen
Größe.............................................................. 25
2 Kombinatorische Werkzeuge
2.1 Induktion.......................................................... 35
2.2 Vergleichen und Abschätzen von Zahlen................. 41
2.3 Das Inklusion-Exklusionsprinzip............................ 43
2.4 Das Taubenschlagprinzip.................................... 46
2.5 Das Zwillingsparadoxon und der gute alte
Logarithmus..................................................... 48
3 Binomialkoeffizienten und das Pascaische Dreieck
3.1 Der Binomialsatz................................................ 57
3.2 Geschenke verteilen........................................... 58
3.3 Anagramme...................................................... 61
3.4 Geld verteilen.................................................... 62
3.5 Das Pascaische Dreieck...................................... 64
3.6 Identitäten im Pascalschen Dreieck........................ 65
3.7 Ein Blick aus der Vogelperspektive auf das Pascai¬
sche Dreieck..................................................... 69
3.8 Ein Adlerblick: Genaue Details.............................. 73
4
Fibonacci
Zahlen
4.1 Fibonaccis Aufgabe............................................ 83
4.2 Eine Menge Identitäten....................................... 86
4.3 Eine Formel für die
Fibonacci
Zahlen..................... 90
5 Kombinatorische Wahrscheinlichkeit
5.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten..................... 99
5.2 Unabhängige Wiederholung eines Experiments........ 101
5.3 Das Gesetz der großen Zahlen............................. 103
5.4 Das Gesetz der kleinen Zahlen und das Gesetz der
sehr großen Zahlen............................................ 106
6 Ganze Zahlen, Teuer und Primzahlen
6.1 Teilbarkeit ganzer Zahlen..................................... 111
6.2 Primzahlen und ihre Geschichte............................ 112
6.3 Primfaktorzerlegung........................................... 114
6.4 Über die Menge der Primzahlen............................ 117
6.5
Fermais
„kleiner Satz........................................ 122
6.6 Der euklidische Algorithmus................................ 125
6.7 Kongruenzen.................................................... 131
6.8 Seltsame Zahlen................................................ 134
6.9 Zahlentheorie und Kombinatorik............................ 142
6.10 Wie prüft man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?......... 145
7 Graphen
7.1 Gerade und ungerade Grade................................ 157
7.2 Wege, Kreise und Zusammenhang........................ 163
7.3 Euler-Touren und Hamiltonsche Kreise................... 167
8 Bäume
8.1 Wie man Bäume definiert.................................... 177
8.2 Wie man Bäume wachsen lässt............................ 179
8.3 Wie zählt man Bäume?....................................... 182
8.4 Wie man Bäume abspeichert................................ 184
8.5 Die Anzahl nicht-indizierter Bäume........................ 190
9 Bestimmung des Optimums
9.1 Bestimmung des besten Baumes.......................... 199
9.2 Das Problem des Handlungsreisenden................... 203
10 Matchings in Graphen
10.1 Ein Tanzproblem................................................ 211
10.2 Ein weiteres Matchingproblem.............................. 213
10.3 Der wichtigste Satz............................................ 215
10.4 Wie man ein perfektes
Matching
bestimmt............... 218
11 Kombinatorik in der Geometrie
11.1 Schnitte von Diagonalen...................................... 229
11.2 Zählen von Gebieten.......................................... 231
11.3 Konvexe Polygone.............................................. 234
12
Die Eulersche
Formel
12.1 Ein Planet wird angegriffen................................,. 241
12.2 Planare Graphen............................................... 244
12.3 . Die Eulersche Polyederformel............................... 246
13 Färbung von Landkarten und Graphen
13.1 Färbung von Gebieten mit zwei Farben................... 251
13.2 Färbung von Graphen mit zwei Farben................... 253
13.3 Färbung von Graphen mit vielen Farben................. 256
13.4 Färbung von Landkarten und der Vierfarbensatz....... 259
14 Endliche Geometrien, Codes, Lateinische Quadrate
und andere hübsche Geschöpfe
14.1 Kleine exotische Welten...................................... 271
14.2 Endliche affine and
projektive
Ebenen.................... 278
14.3 Blockpläne....................................................... 282
14.4 Steiner Systeme................................................. 286
14.5 ■ Lateinische Quadrate.......................................... 291
14.6 Codes............................................................. 296
15 Ein Hauch von Komplexität und Kryptographie
15.1 Eine Klasse aus Connecticut an König Arthurs Hof ... 305
15.2 Klassische Kryptographie.................................... 308
15.3 Wie man den letzten Schachzug sichern kann......... 311
15.4 Wie man ein Passwort prüft - ohne es zu kennen..... 313
15.5 Wie man diese Primzahlen findet.......................... 314
15.6 Public Key Kryptographie..................................... 314
16 Lösungen der Übungsaufgaben.................... 319
Index................................................. 359
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