Quantenmechanik: eine kompakte Einführung
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| Published: |
Stuttgart [u.a.]
Teubner
2005
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| Series: | Teubner Studienbücher Physik
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
1 Einteilchenquantenmechanik 9
1.1 Schrödinger-Gleichung ......................................... 9
1.2 Statistische Deutung........................................... 12
1.2.1 Kontinuitätsgleichung ................................... 12
1.2.2 Auseinanderfließen eines Wellenpaketes .................. 13
1.2.3 Aufenthaltswahrscheinlichkeit............................ 15
1.2.4 Erwartungswerte von Observablen ....................... 17
1.2.5 Hilbert-Raum ........................................... 21
1.3 Unbestimmtheitsrelationen..................................... 23
1.4 Erwartungswerte .............................................. 26
1.4.1 Erhaltungssätze ......................................... 27
1.4.2 Ehrenfest-Gleichungen................................... 28
1.4.3 Stationäre Zustände ..................................... 29
1.4.4 Selbstadjungierte Operatoren ............................ 31
1.5 Tunneleffekt ................................................... 34
2 Spezielle Einteilchensysteme 39
2.1 Harmonischer Oszillator ....................................... 39
2.1.1 Eigenwerte .............................................. 40
2.1.2 Eigenfunktionen......................................... 43
2.1.3 Dreidimensionaler harmonischer Oszillator ............... 46
2.1.4 Nullpunktsschwingung................................... 47
2.1.5 Vergleich mit der klassischen Mechanik .................. 48
2.2 Bahndrehimpuls ............................................... 51
2.2.1 Vertauschungsrelationen................................. 51
2.2.2 Erhaltungssätze ......................................... 53
2.2.3 Eigenwertgleichungen.................................... 55
2.3 Wasserstoffatom ................................................ 56
2.3.1 Schwerpunkt-und Relativkoordinaten .................... 56
2.3.2 Energieniveaus .......................................... 59
2.3.3 Eigenfunktionen......................................... 62
2.3.4 Entartung............................................... 65
2.3.5 Vergleich mit der klassischen Mechanik .................. 66
2.4 Potenzialtopf.................................................. 68
2.4.1 Grenzbedingungen ...................................... 68
2.4.2 Kugelförmiger Potenzialtopf............................. 69
2.4.3 Eindimensionaler Potenzialtopf.......................... 75
Inhalt
2.5 Streuung am Potenzial......................................... 79
2.5.1 Streuzustände........................................... 79
2.5.2 Born sche Näherung ..................................... 81
2.6 Spin........................................................... 84
2.6.1 Drehimpulsquantenzahlen ............................... 84
2.6.2 Bosonen und Fermionen ................................. 87
2.6.3 Spinabhängige Energieniveaus ........................... 88
2.6.4 Spinmatrizen und Spinoren .............................. 90
3 Mehrteilchenquantenmechanik 94
3.1 Unterscheidbare Teilchen ...................................... 95
3.1.1 Vertauschungsrelationen der Observablen ................ 96
3.1.2 Hilbert-Raum ........................................... 97
3.2 Messprozess ................................................... 98
3.2.1 Statistischer Operator ................................... 99
3.2.2 Reiner Zustand und Gemisch ............................ 100
3.3 Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte ......................... 103
3.3.1 Ehrenfest-Gleichungen................................... 106
3.3.2 Schrödinger-Bild und Heisenberg-Bild.................... 107
3.3.3 Wechselwirkungsbild .................................... 108
3.4 Kanonische Gesamtheit........................................ 110
3.5 Pauli-Prinzip.................................................. 114
3.5.1 Wechselwirkungsfreie Teilchen ........................... 119
3.6 Slater-Determinante ........................................... 120
3.6.1 Matrixelemente mit Slater-Determinanten ............... 121
4 Teilchenzahlformalismus 126
4.1 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ...................... 126
4.1.1 Bosonen................................................. 129
4.1.2 Fermionen............................................... 133
4.2 Feldoperatoren ................................................ 135
4.2.1 Zustände................................................ 137
4.2.2 Zeitabhängige Feldoperatoren............................ 139
4.3 Elektronengas ................................................. 142
4.4 Zweite Quantisierung .......................................... 147
5 Näherungsverfahren 154
5.1
Vari
at ions
ver
fahren............................................ 154
5.1.1 Beispiel: Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms ___ 157
5.1.2 Beispiel: Ionisierungsenergie des Heliumatoms ........... 158
5.2 Variationsprinzip von Ritz ..................................... 161
Inhalt
5.3 Störungstheorie................................................ 165
5.3.1 Nullte Näherung ........................................ 166
5.3.2 Erste Näherung ......................................... 167
5.3.3 Zweite Näherung ........................................ 169
5.3.4 Beispiel: Anharmonischer Oszillator ..................... 170
5.3.5 Beispiel: Feinstruktur des Wasserstoffspektrums ......... 172
5.4 Zeitabhängige Störungstheorie ................................. 176
5.4.1 Goldene Regel der Quantenmechanik .................... 179
6 Atome 182
6.1 Zentralfeldmodell .............................................. 183
6.2 Näherung der unveränderlichen Ionen .......................... 188
6.3 Multipletts der Mehrelektronenspektren......·.................. 189
6.3.1 Grobstruktur............................................ 190
6.3.2 Berechnung der Energieniveaus .......................... 195
6.3.3 Feinstruktur............................................. 200
6.3.4 Hyperfeinstruktur ....................................... 205
6.4
Zeeman-
Effekt................................................. 207
6.5 Stark-Effekt ................................................... 210
7 Moleküle 212
7.1 Born-Oppenheimer-Näherung.................................. 213
7.1.1 Hellmann-Feynman-Theorem ....... ...................... 220
7.2 Kinetische Energie der Atomkerne ............................. 221
7.3 Molekülschwingungen.......................................... 225
7.4 Zweiatomiges Molekül ......................................... 228
7.4.1 Heitler-London-Näherung................................ 228
7.4.2 Rotation und Schwingung ............................... 232
7.5 Elektronische Zustände ........................................ 235
7.5.1 Molekülorbitale ......................................... 236
7.5.2 Linearkombination von Atomorbitalen................... 238
8 Punktladung und Elektromagnetismus 242
8.1 Freie Elektronen im konstanten Magnetfeld .................... 245
8.1.1 Zyklotronniveaus........................................ 245
8.2 Geladener Massenpunkt im Maxwell-Feld ...................... 250
8.2.1 Lagrange-Funktion einer Punktladung................... 250
8.2.2 Lagrange-Dichte der elektromagnetischen Felder ......... 251
8.2.3 Punktladung und elektromagnetisches Feld .............. 254
8.3 Strahlungsübergänge .......................................... 256
8.3.1 Übergangswahrscheinlichkeit............................. 256
8.3.2 Multipolübergänge ...................................... 257
8.3.3 Auswahlregeln für ein Elektron im Zentralfeld ........... 261
Inhalt
9 Dichtefunktionaltheorie 265
9.1 Hohenberg-Kohn-Theorem..................................... 267
9.2 Kohn-Sham-Gleichungen....................................... 271
9.3 Austauseh-Korrelations-Funküonal............................. 277
Anhang
A
Hilbert-Raum 279
A.l Skalarprodukt................................................. 279
A.2 Orthonormalsystem........................................... 281
A.3 Spezielle Hilbert-Räume....................................... 284
A.3.1 Komplexe Zahlenfolgen ................................. 284
A.3.2 Quadratisch integrierbare Punktionen ................... 284
A.4 Lineare Operatoren ........................................... 285
A.4.1 Matrizendarstellung..................................... 286
A.4.2 Spezielle Operatoren.................................... 288
В
Kugelfunktionen 290
B.l Komplexe Kugelfunktionen.................................... 290
B.2 Reelle Kugelfunktionen........................................ 294
B.3 Theoreme mit Kugelfunktionen................................ 295
B.4 Integrale mit Kugclfunktionen................................. 297
С
Funktionalableitung 299
Literaturverzeichnis 300
Sachregister 301
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