Schub und Torsion in geraden Stäben: Grundlagen, Berechnungsbeispiele
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| Previous Title: | Friemann, Harald Schub und Torsion in geraden Stäben |
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort...............................................................................................................................V
1 Grundlagen ...................................................................................................................1
1.1 Einführung.................................................................................................................1
1.2 Definition der Spannungen....................................................................................1
1.3 Gleichgewichtsbedingungen für ein Volumenelement....................................3
1.3.1 Kräftegleichgewicht........................................................................................4
1.3.2 Momentengleichgewicht................................................................................5
1.4 Werkstoffgesetz.........................................................................................................7
1.4.1 Lineares Spannungs-Dehnungs-Gesetz (Hooke)..........................................8
1.4.2 Gleitungen infolge Schub...............................................................................9
1.4.3 Gleitmodul G für einen isotropen Werkstoff ............................................10
1.5 Geometrische Beziehungen am Volumenelement...........................................12
1.6 Schnittgrößen der technischen Elastizitätstheorie für ein Stabelement ......14
1.7 Anmerkungen zum Sicherheitskonzept.............................................................17
2 Querkraftschubspannungen in dünnwandigen, offenen Profilen 19
2.1 Allgemeiner Verlauf der Schubspannungen.....................................................19
2.1.1 Konstante Schubspannungsverteilung über die Profildicke t
- Schubfluss T................................................................................................19
2.1.2 Gleichheit der Schubflüsse in Längs-und Querschnitten .......................25
2.1.3 Summe der Schubflüsse an Querschnittsknoten ......................................26
2.2 Ableitung der Dübelformel............................................... ...................................28
2.3 Statische Momente S..............................................................................................31
2.4 Beispiele einfach- oder doppeltsymmetrischer Profile ...................................34
2.4.1 Schmaler Rechteckquerschnitt ....................................................................34
2.4.2 Doppeltsymmetrischer I-Querschnitt ........................................................35
2.4.3 Offenes Quadratrohr ....................................................................................39
2.5 Dübelformel, bezogen auf die Hauptachsen.....................................................41
VIII Inhaltsverzeichnis
2.6 Einheitsschubflüsse................................................................................................43
2.6.1 Definition........................................................................................................43
2.6.2 Kontrollen der Schubflüsse..........................................................................45
2.7 Weitere Aussagen zum allgemeinen Schubflussverlauf.................................46
2.8 Beispiele zum Schubflussverlauf in beliebigen Profilen................................47
2.8.1 C-Profil............................................................................................................47
2.8.2 Ungleichschenkliges Winkelprofil - L-Profil ............................................49
2.8.3 Beispiel für eine praktische Anwendung...................................................56
2.8.4 Anmerkung zu den Zahlenbeispielen........................................................59
3 Schubmittelpunkt M...............................................................................................61
3.1 Definition.................................................................................................................61
3.2 Berechnung der Schubmittelpunktskoordinaten.............................................61
3.3 Beispiele zur Berechnung des Schubmittelpunktes.........................................65
3.3.1 C-Profil............................................................................................................65
3.3.2 Z-Profil............................................................................................................66
3.3.3 Längsgeschlitztes Quadratrohr...................................................................68
3.3.4 Unsymmetrischer T-Querschnitt.................................................................70
3.3.5 Längsgeschlitztes Kreisrohr.........................................................................76
3.4 Übersicht über die Lage des Schubmittelpunktes bei
offenen Querschnitten...........................................................................................77
4 Querkraftschubspannungen in dünnwandigen,
geschlossenen Profilen.........................................................................................81
4.1 Axialverschiebungen u...........................................................................................81
4.2 Kreisschubfluss T1 beim einzelligen Hohlprofil...........................................83
4.2.1 Schubfluss T2 in einem einzelligen Kastenträger......................................84
4.2.2 Doppeltsymmetrischer Kastenträger..........................................................85
4.3 Gemischt offene/geschlossene Profile................................................................86
4.4 Mehrzellige geschlossene Profile........................................................................87
4.4.1 Allgemeiner Lösungsweg ............................................................................87
4.4.2 Beispiel............................................................................................................89
4.5 Schubmittelpunkt bei geschlossenen, dünnwandigen Profilen....................92
4.6 Schubfluss in einem geschlossenen Verbundquerschnitt..............................93
Inhaltsverzeichnis IX
5 Querkraftschubspannungen in dickwandigen und
massiven Querschnitten......................................................................................99
5.1 Genauer Verlauf der Querkraftschubspannungen
in Rechteckquerschnitten .....................................................................................99
5.2 Querkraftschub in massiven Stahlbetonquerschnitten.................................101
5.3 Querkraftschub im Flansch von Plattenbalken ..............................................105
6 Torsion.........................................................................................................................109
6.1 Einführung.............................................................................................................109
6.2 Voraussetzungen...................................................................................................109
6.3 Grundlegende Beziehungen...............................................................................110
7 Sí. Venanf sehe Torsion für Vollquerschnitte.........................................115
7.1 Ableitung der Differentialgleichung................................................................115
7.2 Randbedingung für die Spannungsfunktion y/...............................................117
7.3 Torsionswiderstand IT und elastostatische Grundgleichung
der Sí. Wttawf sehen Torsion..............................................................................118
7.4 Beispiele für Vollquerschnitte ...........................................................................121
7.5 Venvölbungen.......................................................................................................123
7.6 Lagerungsbedingungen bei der Si. Venanfschen Torsion ...........................126
7.7 Sí. Vewaní sche Torsion bei rechteckigen Stahlbetonquerschnitten...........130
8 Sí. Ve/íanf sche Torsion dünnwandiger, offener Profile...................133
8.1 Das schmale Rechteckprofil................................................................................133
8.2 Beliebige dünnwandige, offene Querschnitte ................................................135
8.3 Beispiel ...................................................................................................................137
8.4 Venvölbungen dünnwandiger, offener Querschnitte ...................................138
8.4.1 Grund- und Hauptverwölbungen............................................................138
8.4.2 Umrechnung der Verwölbungen für verschiedene Drehachsen..........141
8.4.3 Bestimmung der Integrationskonstanten coa und der
Schubmittelpunktskoordinaten yM und zM...............................................141
X Inhaltsverzeichnis
8.5 Beispiele..................................................................................................................145
8.5.1 Wölbflächen eines I-Querschnitts .............................................................145
8.5.2 Wölbfläche eines C-Profils .........................................................................147
8.5.3 Wölbfläche eines Z-Profils für D = M = S.................................................147
8.5.4 Schubmittelpunkt eines längsgeschlitzten Rechteckrohres...................148
8.5.5 Schubmittelpunkt bei einem Kammquerschnitt.....................................150
8.6 Verbundquerschnitt.............................................................................................153
9 St. Venant sche Torsion dünnwandiger, geschlossener Profile.....155
9.1 Einzelliger Hohlquerschnitt................................................................................155
9.2 Mehrzellige Hohlquerschnitte ...........................................................................158
9.3 Verwölbungen von Hohlquerschnitten............................................................159
9.4 Beispiele einzelliger Hohlquerschnitte............................................................161
9.4.1 Rechteckkasten mit unterschiedlichen Wanddicken..............................161
9.4.2 Unsymmetrischer gemischt offen/geschlossener Kasten.......................164
9.5 Verbundquerschnitt.............................................................................................167
9.6 Torsionsnachweis von Stahlbeton-Hohlprofilen ...........................................168
10 Wölbkrafttorsion für dünnwandige, offene Profile.........................179
10.1 Ableitung der Differentialgleichung ...........................................................179
10.1.1 Einführung..............................................................................................179
10.1.2 Wölbnormalspannungen rw, und Wölbschubfluss Tw.....................180
10.1.3 Gesamttorsionsmoment........................................................................182
10.2 Wölbmoment Mw..............................................................................................184
10.3 Lösung der Differentialgleichung und Randbedingungen.....................186
10.3.1 Allgemeine Hinweise............................................................................186
10.3.2 Lösung der Differentialgleichung........................................................186
10.3.3 Randbedingungen .................................................................................187
10.3.4 Symmetrie-und Antimetriebedingungen..........................................188
10.3.5 Anfangswerte-Lösung...........................................................................189
10.4 Beispiele.............................................................................................................192
10.4.1 Kragträger mit einem Einzeltorsionsmoment am freien Ende........192
10.4.2 Kragträger mit konstanter Torsionsbelastung...................................197
10.4.3 Längswandriegel einer Industriehalle ................................................203
10.4.4 Gabelgelagerter Träger mit Kragarm..................................................210
Inhaltsverzeichnis XI
10.5 Wölbfeder..........................................................................................................215
10.5.1 Kopfplatte oder Steife............................................................................216
10.5.2 Trägerüberstand (Petersen, 1990) .........................................................217
10.5.3 Hohlsteife................................................................................................217
10.5.4 Aufgeschweißte Bindebleche...............................................................218
11 Analogien für die Lösung von Aufgaben zur Torsion.....................229
11.1 Einführung ........................................................................................................229
11.2 Membrananalogie............................................................................................229
11.3 Zugstabanalogie ...............................................................................................234
11.3.1 Einleitung................................................................................................234
11.3.2 Analogie..................................................................................................234
11.3.3 Gegenüberstellung der Formeln..........................................................236
11.3.4 Zeitgemäße Anwendung der Zugstabanalogie.................................239
11.4 Beispiele.............................................................................................................242
11.4.1 Kragträger mit konstanter Torsionsbelastung...................................243
11.4.2 Stütze eines Hinweisschildes ...............................................................249
Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungen................................263
Literaturverzeichnis...................................................................................................265
Sachwortverzeichnis .................................................................................................271
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