Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht
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Wiesbaden
Vieweg
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| Series: | Mathematik für das Lehramt
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Kapitel 1. Einleitung: Der euklidische Raum 1
Aufgaben 5
Kapitel 2. Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften 7
2.1. Die Gerade 7
2.1.1. Die Strahlensatze 7
2.1.2. Der Satz von Pappos 10
2.1.3. Der Strahlensatz im Raum 12
2.1.4. Der Satz von Desargues 14
2.2. Das Dreieck 15
2.2.1. Die Innen- und AuBenwinkel des Dreiecks 16
2.2.2. BRjhensatz, Kathetensatz, Satz von Pythagoras 18
2.2.3. Die Kongruenz- und Ahnlichkeitssatze 21
2.2.4. Der Satz von Menelaos • 22
2.2.5. Der Satz von Ceva 24
2.2.6. Besondere Linien des Dreiecks 25
2.2.7. Die Eulersche Gerade eines Dreiecks 29
2.2.8. Der Flachentinhalt des Dreiecks, die Heronsche Formel 30
2.2.9. Die In-, Urn- und Ankreise des Dreiecks 32
2.3. Der Kreis 34
2.3.1. Sehnen, Sekanten und Tangenten am Kreis 34
2.3.2. Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel 39
2.3.3. Der Feuerbachsche Kreis eines Dreiecks 41
2.3.4. Die Simsonsche und die erste Steinersche Gerade 42
2.3.5. Sehnen- und Tangentenvierecke an den Kreis 43
2.3.6. Inversion am Kreis 44
2.3.7. Der Satz von Ptolemaios uber 4 Punkte auf dem Kreis 48
2.4. Die Kegelschnitte 49
2.4.1. Der Schnitt einer Ebene mit einem Kegel 49
2.4.2. Die nummerische Exzentrizitat und der Parameter 50
2.4.3. Die Brennpunkte und Brenngeraden 52
2.4.4. Einige Eigenschaften von Kegelschnitten 55
2.4.5. Eine Kurve h5heren Grades 58
2.5. Flachen und KSrper 61
Inhaltsverzeichnis
2.5.1. Rotationsflachen und RotationskBrper 61
2.5.2. Kegel und Zylinder 63
2.5.3. Die Eulersche Polyederformel 64
2.5.4. Die platonischen Korper 65
Aufgaben ■ 69
Kapitel 3. Symmetrien der Ebene und des Raumes 75
3.1. AiBne Abbildungen und Schwerpunkte 75
3.2. Projektionen und ihre Eigenschaften 79
3.3. Zentrische Streckungen und Translationen 82
3.4. Ebene Isometrien und Ahnlichkeitstransformationen 87
3.5. Komplexe Schreibweise der Transformationen in der Ebene 97
3.6. Elementare Transformationen des Raumes S3 98
3.7. Diskrete Untergruppen der ebenen Iransformationsgruppe 104
3.8. Endliche Untergruppen der raumlichen Transformationsgruppe 113
Aufgaben 118
Kapitel 4. Hyperbolische Geometrie 127
4.1. Der axiomatische Aufbau der Elementargeometrie 127
4.2. Das Poincare-Modell 132
4.3. Das Scheibenmodell 140
4.4. Ausgewahlte Eigenschaften der hyperbolischen Ebene 141
4.5. Drei Typen von hyperbolischen Isometrien 145
4.6. Fuchssche Gruppen 149
Aufgaben 157
Kapitel 5. SpMrisclie Geometrie 161
5.1. Der Raum S2 161
5.2. Grofikreise in S2 162
5.3. Die Isometriegruppe von S2 166
5.4. Die Mobius-Gruppe von S2 167
5.5. Ausgewahlte Eigenschaften der spharischen Geometrie 168
Aufgaben 174
Literatur 177
Symbolverzeichnis 181
Namens- und Sachverzeichnis 183
Anhang A. Rahmenplan Geometrie fur BerKaer Schulen 189
Das vorliegende Lehrbuch fiihrt Sie in alle unterrichtsreleyanten Themen
der Elementargeometrie ein. Es eignet sich als Begleitbuch zur gleichnamigen
Vorlesung fiir Studierende des Lehramts Mathematik. Viele Obungsaufgaben
unterstiitzen Sie bei der Priifungsvorbereitung. Die beiden letzten Kapitel
bieten Ihnen zusatzlich Themen fiir Seminare und Studienarbeiten. Zum Teil
zweifarbige Illustrationen komplettieren das Buch.
Die Autoren bieten Ihnen einen besonderen Service an: Jeder Studierende, der
beim Losen der Ubungsaufgaben auf Schwierigkeiten stoBt, kann sich per
E-Mail direkt an die Autoren wenden.
AuBerdem besitzt das Buch eine eigene Internetseite:
www-lrm.mathematik.hu-berlin.de/~agricola/elemgeo.html
Der Inhalt
Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften (Gerade, Kreis, Drei-
eck, Kegelschnitte, Polyeder) - Symmetrien der Ebene und des Raumes (Abbil-
dungsgeometrie, Symmetrien von Bordiiren und Ornamenten) - Hyperbolische
Geometrie - Spharische Geometrie
Die Zielgruppen
• Studierende des Lehramts Mathematik (Sekundarstufe I und II)
• Dozenten an Universitaten und padagogischen Hochschulen
• Mathematiklehrer(innen) und interessierte Schuler(innen) der Klassen 11-13
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