Operations Research: deterministische Modelle und Methoden
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Wiesbaden
Teubner
2006
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| adam_text | Inhalt
1 Lineare Optimierung 13
1.1 Das Modell der linearen Optimierung..................... 13
1.2 Graphische Lösung................................ 20
1.3 Der
1.3.1 Grundlagen.................................... 24
1.3.2 Der Optimalitätstest............................... 27
1.3.3 Verbesserungsschritt............................... 29
1.3.4 Der Algorithmus................................. 31
1.3.5 Zyklenvermeidung................................ 34
1.3.6 Berechnung einer ersten zulässigen Basislösung................ 35
1.4 Duale lineare Optimierung........................... 39
1.4.1 Konstruktionsprinzipien............................. 39
1.4.2 Dualitätssätze.................................. 41
1.4.3 Interpretation der dualen Aufgabe....................... 45
1.4.4 Der
1.5 Einparametrische lineare Optimierungsaufgaben............... 52
1.5.1 Aufgaben mit einem Parameter in der Zielfunktion.............. 52
1.5.2 Aufgaben mit einem Parameter in der rechten Seite der
Nebenbedingungen................................ 56
1.6 Vektoroptimierung................................ 60
1.6.1 Pareto-optimale Punkte............................. 60
1.6.2 Ersatzprobleme.................................. 62
1.6.3 Zweikriterielle Optimierung........................... 65
1.7 Ein polynomialer Algorithmus......................... 66
1.7.1 Komplexität des Simplexalgorithmus...................... 66
1.7.2 Der zentrale Pfad................................ 67
1.7.3 Tnnere-Punkt-Methode.............................. 68
1.8 Übungsaufgaben................................. 70
2 Iransportoptimierung 72
2.1 Das klassische Transportproblem........................ 73
2.1.1 Modell ...................................... 73
2.1.2 Qualitative Grundlagen............................. 77
2.1.3
2.1.4 Optimierungsverfahren ............................. 91
2.1.5 Ergänzungen ................................... 95
2.2 Das lineare Zuordnungsproblem....................... . 103
2.2.1 Modelle und Eigenschaften........................... 104
2.2.2 Ungarische Methode................................ 106
2.3 Offene Transportprobleme............................ 111
2.3.1 Standardmodelle................................. 111
2.3.2 Modell mit gemischten Restriktionen ...................... 132
2.4 Kapazitierte
2.4.1 Das kapazitierte klassische Transportproblem ................. 137
2.4.2 Erweiterung des primalen Lösungsverfahrens................. 141
2.5 Umladeprobleme................................. 150
2.6
2.7 Übungsaufgaben ................................. 165
3 Diskrete Optimierimg 166
3.1 Begriffe zur diskreten Optimierung....................... 167
3.2 Modellierung von Diskretheitsbedingungen.................. 170
3.2.1 Optimierungsprobleme mit Ganzzahligkeitsforderungen ........... 170
3.2.2 Modellierung mit Hilfe von 0-1-Variablen ................... 174
3.2.3 Permutationsprobleme.............................. 181
3.3 Das Verzweigungsprinzip............................ 185
3.3.1 Formulierung und Begründung des Verzweigungsprinzips .......... 186
3.3.2 Anwendung des Verzweigungsprinzips..................... 192
3.4 Das Schnittprinzip................................ 197
3.4.1 Formulierung und Begründung des Schnittprinzips.............. 197
3.4.2 Anwendung des Schnittprinzips......................... 201
3.5 Dynamische Optimierung............................ 208
3.5.1 Lösungsprinzip der dynamischen Optimierung................ 208
3.5.2 Anwendung der dynamischen Optimierung.................. 211
3.6 Näherungsverfahren............................... 215
3.6.1 Güte von Näherungsverfahren......................... 215
3.6.2 Greedy-Algorithmen............................... 218
3.6.3 Näherungsverfahren für das Rucksackproblem................. 222
3.7 Übungsaufgaben................................. 230
4 Optimierung über Graphen 231
4.1 Definitionen.................................... 231
4.2 Kürzeste Wege.................................. 232
4.3 Minimalgerüste................................. . 237
4.4 Flussprobleme.................................. 241
4.4.1 Flüsse maximaler Stärke............................. 241
4.4.2 (q — s)-Flüsse mit minimalen Kosten..................... 247
4.4.3 Das Mmimalkosten-Flussproblem......................... 249
4.5 Matchingprobleme................................ 251
4.5.1 Matchings maximaler Kantenzahl ....................... 251
4.5.2 Matchings minimalen Gewichtes........................ 254
4.6 Euler sche Kreise ................................. 256
4.7 Das Rundreiseproblem .............................. 258
4.7.1 Hamiltonkreise .................................. 258
4.7.2 Näherungsalgorithmen.............................. 259
4.7.3 Verbesserungsalgorithmus ............................ 265
4.8 Übungsaufgaben................................. 266
5 Modelle der Logistik 268
5.1 Verallgemeinerte Rundreiseprobleme...................... 268
5.1.1 Besuch eines Teiles der Knoten ......................... 269
5.1.2 Mehrere Reisende................................ 269
5.2 Das Problem des Postboten........................... 271
5.2.1 Das Problem im gerichteten Graphen ..................... 271
5.2.2 Das Problem im ungerichteten Graphen.................... 273
5.2.3 Das Problem des Postboten in gemischten Graphen............. 275
5.2.4 Das Problem des Postboten auf dem Lande.................. 276
5.2.5 Das Problem des Postboten mit richtungsabhängigen Kosten ........ 278
5.3 Tourenprobleme................................. 280
5.3.1 Modellierung.................................... 280
5.3.2 Näherungsalgorithmen.............................. 282
5.4 Standortprobleme................................ 286
5.4.1 Modellierung................................... 286
5.4.2 Das unkapazitierte Standortproblem...................... 288
5.4.3 Lösungszugänge für das kapazitierte Standortproblem ............ 290
5.5 Bestimmung optimaler Maschinenstandorte .................. 292
5.6 Übungsaufgaben................................. 297
6 Nichtlineare Optimierung 299
6.1 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen................... 299
6.1.1 Mengen und Hülloperationen .......................... 299
6.1.2 Konvexe Funktionen ............................... 301
6.2 Konvexe Optimierungsaufgaben....................... . 303
6.3 Notwendige Optimalitätsbedingungen..................... 305
6.3.1 Allgemeine Nebenbedingungen......................... 305
6.3.2 Explizite Nebenbedingungen.......................... 307
6.3.3 Regularitätsbedingungen............................ 309
6.4 Hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung........... 311
6.5 Duale Optimierungsaufgabe........................... 314
6.5.1 Definition..................................... 314
6.5.2 Beziehungen zwischen primaler und dualer Aufgabe............. 317
6.6 Sattelpunkte................................... 318
6.7 Übungsaufgabe.................................. 319
7 Mathematische Spieltheorie 320
7.1 Spiele in strategischer Form........................... 320
7.1.1
7.1.2 Existenz und Berechnung Nash scher Gleichgewichte............. 323
7.1.3 Nullsummen- und Matrixspiele......................... 324
7.2 Spiele in extensiver Form............................ 328
7.2.1 Definition und Beispiele............................. 328
7.2.2 Stackelberg-Gleichgewicht............................ 331
7.3
7.4 Kooperative Spiele................................ 336
7.4.1 Charakteristische Funktion........................... 336
7.4.2 Zuteilungen.................................... 337
7.4.3 Strategische Äquivalenz............................. 338
7.4.4 Dominante Auszahlungen............................ 339
7.4.5 Der Kern..................................... 339
7.4.6 Die Neumann-Morgenstern-Lösung....................... 341
7.4.7 Der Shapley-Vektor............................... 342
7.5 Übungsaufgaben................................. 343
8 Komplexitätstheorie 345
8.1 Notationen zum Wachstumsverhalten..................... 346
8.2 Probleme, Algorithmen, Kodierung....................... 348
8.3 Komplexität und polynomiale Transformation ................ 355
8.4 Klassifizierung von Entscheidungsproblemen................. 360
8.5 Klassifizierung von Optimierungsproblemen .................. 369
Literaturverzeichnis 373
Sachverzeichnis 378
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