Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Vieweg
2004
|
| Edition: | 2. überarb. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XVI, 414 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3528131535 |
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Inhaltsverzeichnis viii
1 Polynominterpolation 1
1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen und Landausche Symbole. 1
1.1.1 Landausche Symbole. 2
1.2 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation. 3
1.2.1 Die Lagrangesche Interpolationsformel. 3
1.2.2 Eine erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms 4
1.3
1.4 Die Newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen. 7
1.5 Der bei der Polynominterpolation auftretende Fehler. 10
1.6 Tschebyscheff-Polynome. 12
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 16
- Übungsaufgaben. 17
2 Splinefunktionen 20
2.1 Einführende Bemerkungen. 20
2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen. 21
2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen. 21
2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen . 22
2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen. 24
2.4.1 Vorüberlegungen. 24
2.4.2 Natürliche Randbedingungen. 26
2.4.3 Vollständige Randbedingungen . 26
2.4.4 Periodische Randbedingungen. 27
2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen
Splines
2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise . 33
- Übungsaufgaben . 34
3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 35
3.1 Diskrete Fouriertransformation. 35
3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation. 36
3.2.1 Fourierreihen. 36
3.2.2 Trigonometrische Interpolation, Teil 1. 38
3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 2. 39
3.3 Schnelle
3.3.1 Einführende Bemerkungen. 42
3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang. 42
3.3.3 Bit-Umkehr. 44
3.3.4 Der FFT-Algorithmus in der Situation N = 2?. 46
3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus. 48
3.3.6
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise . 49
- Übungsaufgaben. 49
Lösung linearer Gleichungssysteme §2
4.1 Gestaffelte lineare Gleichungssysteme. 52
4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme. 52
4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme. 53
4.2 Der Gauß- Algorithmus . 54
4.2.1 Einführende Bemerkungen. 54
4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche. 57
4.3 Die Faktorisierung PA = LR. 57
4.3.1 Permutationsmatrix. 58
4.3.2 Frobeniusmatrizen. 60
4.3.3 Die Faktorisierung PA = LR. 62
4.4 LR- Faktorisierung. 65
4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen. 67
4.5.1 Grundbegriffe. 67
4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierung
trizen
4.5.3 Eine Klasse positiv definiter Matrizen. 70
4.6 Bandmatrizen. 71
4.7 Normen und Fehlerabschätzungen. 72
4.7.1 Normen. 73
4.7.2 Spezielle Matrixnormen. 76
4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix. 79
4.7.4 Störungsresultate für Matrizen. 80
4.7.5 Fehlerabschätzungen für fehlerbehaftete Gleichungssysteme. 81
4.8 Ormogonalisierungsverfahren . 82
4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen. 83
4.8.2 Die Faktorisierung
4.8.3 Die Faktorisierung
4.8.4 Anwendung 1: Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungssy¬
steme Ax = b . 88
4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung. 88
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 90
- Übungsaufgaben. 91
Nichtlineare Gleichungssysteme 94
5.1 Vorbemerkungen. 94
5.2 Der eindimensionale Fall. 95
5.2.1 Ein allgemeines Resultat. 95
5.2.2 Das Newton—Verfahren im eindimensionalen Fall . 96
5.3 Der Banachsche Fixpunktsatz. 97
5.4 Das Newton—Verfahren im mehrdimensionalen Fall. 100
5.4.1 Einige Begriffe aus der
5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz. 102
5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen. 104
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise . 108
- Übungsaufgaben . 108
Numerische Integration von Funktionen 111
6.1 mterpolatorische Quadraturformeln . 112
6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln. 113
6.2.1 Abgeschlossene Newton-
6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln. 115
6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur. 115
6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formem. 119
6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.15. 121
6.5 Summierte Quadraturformeln. 123
6.5.1 Summierte Reehteckregeln. 123
6.5.2 Summierte Trapezregel. 124
6.5.3 Summierte Simpson-Regel. 125
6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel. 126
6.6.1 Die Asymptotik. 126
6.7 Extrapolationsverfahren. 127
6.7.1 Grandidee. 127
6.7.2
6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation. 129
6.8 Gaußsche Quadraturformeln. 131
6.8.1 Einleitende Bemerkungen. 131
6.8.2 Orthogonale Polynome. 131
6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte. 135
6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte. 137
6.9 Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel . 139
6.9.1 Bernoulli-Polynome. 139
6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.22 . 140
- Weitere Bemerkungen und
- Übungsaufgaben . 142
Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 144
7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz. 144
7.2 Theorie der Einschrittverfahren. 146
7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation. 148
7.3 Spezielle Einschrittverfahren. 149
7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 1. 149
7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2. 150
7.3.3 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 4. 151
7.4 Rundungsfehleranalyse. 152
7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen. 153
7.5.1 Einführende Bemerkungen. 153
7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrens¬
fehlers, 1. Teil . 155
7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrens¬
fehlers, 2. Teil . 156
7.5.4 Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers. 159
7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren. 160
7.7 Schrittweitensteuerang. 163
7.7.1 Verfahrensvorschrift. 163
7.7.2 Problemstellung . 163
7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite h№. 164
7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite h^k+l^ im Fall
7.7.5
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 167
- Übungsaufgaben . 167
Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme 170
8.1 Grundlegende Begriffe. 170
8.1.1 Mehrschrittverfahren. 170
8.1.2 Konvergenz-und Konsistenzordnung. 171
8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung. 172
8.1.4 Übersicht. 173
8.2 Der globale Verfahrensfehler bei Mehrschrittverfahren. 173
8.2.1 Das Konvergenztheorem. 173
8.2.2 Hüfsresultot 1: Das Lemma von Gronwall. 176
8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge
8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren. 179
8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren - Vorbereitungen . 180
8.4 Adams-Verfahren . 183
8.4.1 Der Ansatz. 183
8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. 183
8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren. 187
8.5 Nyström- und Milne-Simpson-Verfahren. 188
8.5.1 Der Ansatz . . 188
8.5.2 Nyström-Verfahren. 189
8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren. 190
8.6 BDF-Verfahren. 192
8.6.1 DerAnsatz. 192
8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren. 194
8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 194
8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor. 198
8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen. 199
8.8.1 Die Testgleichung . 199
8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differenzenglei¬
chungen. 200
8.8.3 Die komplexwerüge allgemeine Lösung der homogenen Differenzen¬
gleichung
8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzenglei¬
chung Lu = 0. 205
8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung. 206
8.9 Steife Differenzialgleichungen. 209
8.9.1 Einführende Bemerkungen. 209
8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproblemen für
Differenzialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft. 211
8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differenzialgleichungen . . . 214
8.9.4 Steife Differenzialgleichungen in den Anwendungen. 216
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 217
- Übungsaufgaben. 218
Randwertprobleme 223
9.1 Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit. 223
9.1.1 Problemstellung. 223
9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. 224
9.2 Differenzenverfahren. 225
9.2.1 Numerische Differenziation. 225
9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren. 227
9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren. 228
9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil (a) des Theorems 9.10. 230
9.2.5 Nachweis der Aussage in Teil (a) von Theorem 9.10. 234
9.3 Galerkin- Verfahren. 234
9.3.1 Einführende Bemerkungen. 235
9.3.2 Eigenschaften des Differenzialoperators
9.3.3 Galerkin-Verfahren- ein allgemeiner Ansatz. 238
9.3.4 Systemmatrix. 241
9.3.5 Finite-Elemente-Methode. 242
9.3.6 Anwendungen. 244
9.3.7 Das Energieftmktional. 246
9.4 Einfachschießverfahren. 247
9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton
-Verfahren. 248
9.4.2 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit einer Fix¬
punktiteration. 249
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise . 249
- Übungsaufgaben . 250
10 Gesamtschritt-, Einzelschritt-und Relaxationsverfahren 254
10.1 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. 254
10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Gleichungs¬
systemen . 254
10.2 Lineare Fixpunktiteration. 255
10.2.1 Ein Modellbeispiel. 257
10.3 Einige spezielle Klassen von Matrizen. 259
10.3.1 Irreduzible Matrizen. 259
10.4 Das Gesamtschrittverfahren. 262
10.5 Das Einzelschrittverfahren. 264
10.5.1 Der Betrag einer Matrix. 264
10.5.2 Konvergenzergebnisse für das Einzelschrittverfahren. 265
10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate. 267
10.6.1 M-Matrizen. 269
10.7 Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen. 271
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 276
Übungsaufgaben . 277
11 CG- und GMRES- Verfahren 282
11.1 Vorbetrachtungen. 282
11.1.1 Ausbück. 283
11.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums.,. 283
11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft. 284
11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene A- konju¬
gierte Basen. 285
11.3 Das CG-Verfahren für positiv
11.3.1 Einleitende Bemerkungen. 287
11.3.2 Die Berechnung A- konjugierter Suchrichtungen in K.n{A,b) . 287
11.3.3 Der Algorithmus zum CG-Verfahren. 289
11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens. 290
11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen. 293
11.6
11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren. 294
11.6.2
11.7 GMRES auf der Basis des
• 11.7.1 Einführende Bemerkungen. 298
11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des Minimierangsproblems
(11.32). 299
11.7.3 Detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des Minimie¬
rangsproblems (11.32) . 300
11.7.4 MATLAB-Programm für GMRES. 302
11.8 Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens. 304
11.9 Nachtrag 1: Krylovräume . 304
ll.lONachtrag 2: Programmsysteme mit Multifunktionalität. 305
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 306
- Übungsaufgaben. 307
12 Eigenwertprobleme 309
12.1 Einleitung. 309
12.2 Störungstheorie für Eigenwertprobleme. 309
12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen. 309
12.2.2 Der allgemeine Fall. 311
12.3 Lokalisierang von Eigenwerten. 313
12.4 Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme. 316
12.5 Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen. 318
12.6 Nachtrag: Faktorisierungen von Matrizen. 318
12.6.1 Symmetrische Matrizen. 319
12.6.2 Diagonalisierbare Matrizen. 319
12.6.3 Schur-Faktorisierung. 319
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 320
- Übungsaufgaben. 320
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme 323
13.1 Einführende Bemerkungen. 323
13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen. 323
13.1.2 Vektoriteration. 324
13.2 Transformation auf Hessenbergform. 325
13.2.1
bergmatrizen . 325
13.2.2 Der symmetrische Fall. 327
13.3 Newton-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten. 328
13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman. 329
13.3.2 Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiagonaler
Matrizen. 331
13.4 Das Jacobi- Verfahren für symmetrische Matrizen. 332
13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge. 333
13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge. 333
13.4.3 Zwei spezielle Jacobi-Verfahren . 337
13.5 Das QR-Verfahren. 339
13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der Qi2-Faktorisierung einer Matrix . . . 339
13.5.2 Definition des QR- Verfahrens. 342
13.5.3 Konvergenz des Q-R-Verfahrens für betragsmäßig einfache Eigenwerte 343
13.5.4 Praktische Durchführung des QR- Verfahrens für Hessenbergmatrizen 346
13.6 Das LR-Verfahren. 351
13.7 Die Vektoriteration. 351
13.7.1 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration. 351
13.7.2 Spezielle Vektoriterationen. 353
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 354
- Übungsaufgaben . 354
14 Restglieddarstellung nach Peano 356
14.1 Einführende Bemerkungen. 356
14.2 Peano-Kerne. 357
14.3 Anwendungen. 359
14.3.1 Interpolation. 359
14.3.2 Numerische Integration. 359
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 360
- Übungsaufgaben . 360
15 Approximationstheorie 362
15.1 Einführende Bemerkungen. 362
15.2 Existenz eines Proximums. 363
15.3 Eindeutigkeit eines Proximums. 364
15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen. 365
15.3.2 Strikt normierte Räume. 366
15.4 Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt. 368
15.4.1 Einige Grundlagen. 368
15.4.2
15.5 ILj-i-Proximabzgl. Maximumnormen. 372
15.6 Anwendungen des Alternantensatzes. 375
15.6.1 Ein Beispiel. 375
15.6.2 Eine erste Anwendung des Alternantensatzes. 375
15.6.3 Eine zweite Anwendung des Alternantensatzes. 376
15.7 Haarsche Räume, Tschebyscheff- Systeme. 377
15.7.1 Alternantensatz für Haarsche Räume. 378
15.7.2 Eindeutigkeit des Proximums. 379
15.7.3 Untere Schranken für den Minimalabstand. 379
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 380
- Übungsaufgaben. ^380
16 Rechnerarithmetik 382'
16.1 Zahlendarstellungen. . _. . . 382
16.2 Allgemeine Gleitpunkt-Zahlensysteme. 383
16.2.1 Grundlegende Begriffe. 383
16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems
16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems
16.3 Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 387
16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards
16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 389
16.4 Runden, Abschneiden. 390
16.4.1 Runden. 390
16.4.2 Abschneiden. 392
16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 393
16.5.1 Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen. . . . 394
16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführung von Multiplika¬
tionen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 394
16.5.3 Fehlerverstärkung bei der Hintereinanderausführung von Additionen in
einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 398
Literaturverzeichnis 399
Index 405 |
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