Stochastik: Theorie und Anwendungen
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Berlin
Springer
[2005]
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Teil
I
Maßtheorie
1 Grundlagen der Maßtheorie ............................... 3
1.1 Das Maßproblem........................................ 3
1.2 Mengensysteme......................................... 9
1.3 Messbare Abbildungen................................... 16
1.4 Maße.................................................. 20
2 Das Lebesgue-Integral..................................... 27
2.1 Lebesgue-Integral und Konvergenzsätze .................... 27
2.2 Vergleich von
Riem
ann-
und Lebesgue-Integral.............. 37
2.3 Der Satz von Fubini..................................... 42
2.4 Norm-Ungleichungen und
V-
Konvergenz ................... 45
2.
б
Der Satz von Radon-Nikodvm............................. 49
Teil
II
Wahrscheinlichkeitstheorie
3 Wahrscheinlichkeitsräume................................. 57
3.1 Die
Axiomatik
.......................................... 57
3.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße ......................... 62
3.3 Stetige Verteilungen ..................................... 68
3.4 Anwendung Physik: Quantum
Computation
................ 77
4 Zufallsvariablen............................................ 89
4.1 Grundbegriffe........................................... 89
4.2 Momente............................................... 91
4.3 Mehrdimensionale Verteilungen ...........................107
4.1 Anwendung Finanzmathematik:
Value at Risk
..............113
5 Unabhängigkeit............................................119
õ.l
Bedingte Wahrscheinlichkeiten............................119
5.2
Stochastische
Unabhängigkeit.............................123
5.3 Summen und Produkte...................................127
5.4 Anwendung Nachrichtentechnik: Decodierimg...............132
6 Folgen und Reihen unabhängiger Zufallsvariablen..........143
6.1 O-l-Gesotzc.............................................143
6.2 Gesetze der großen Zahlen................................150
6.3 Das Drei-Reihen-Theorem................................162
6.4 Anwendung Informationstheorie: Datenkompression..........165
7 Der zentrale Grenzwertsatz................................173
7.1 Seil wache Konvergenz....................................173
7.2 Charakteristische Funktionen.............................180
7.3 Die Normalverteihmg....................................194
7.4 Der zentrale Grenzwertsatz...............................201
7.5 Anwendung Nachrichtentechnik: Mobilfunkkanäle............209
8 Bedingte Erwartungen.....................................215
8.1 Definition. Existenz und Eindeutigkeit .....................215
8.2 Eigenschaften bedingter Erwartungen......................219
Teil
III
Stochastische
Prozesse
9 Markov-Ketten............................................227
9.1 Übergangswahrscheinlichkeiten............................227
9.2 Erweiterungen der Markov-Eigenschaft.....................235
9.3 Klassifikation von Zuständen..............................240
9.4 Stationarität............................................250
9.5 Grenzverhalten..........................................254
9.6 Anwendung Biologie: Ein Populationsmodell................263
10 Poisson-Prozesse...........................................267
10.1 Terminologie stochastischer Prozesse.......................267
10.2 Definition des Poisson-Prozesses...............-............275
10.3 Konstruktionen rund um den Poisson-Prozess...............283
10.4 Nichthomogene Poisson-Prozesse ..........................292
10.5 Anwendung Versicherungsmathematik: Ruinwahrscheinlichkeit 296
11 Zeitdiskrete
Martingale
....................................301
11.1 Definition und Beispiele1...................................301
11.2 Gleichgradige Integrierbarkcit.............................308
11.3 Stoppzeiten und Stoppsätze...............................314
11.4 Konvergenz von
Martinga len
..............................320
11.
б
Das Optional
Sampling
Theorem..........................329
11.6 Anwendung Regelungstechnik: Stochastische Filter...........334
12 Brownsche Bewegung......................................341
12.1 Brownschc Bewegung und Gauß-Prozesse...................341
12.2 Konstruktionen rund um die Brownsche Bewegung ..........346
12.3 Pfadeigenschaften.......................................351
12.4 Die starke Markov-Eigenschaft............................359
12.5 Anwendung numerische Mathematik: Globale Minimierung . . . 367
13 Zeitstetige
Martingale
.....................................375
13.1 Definition..............................................375
13.2 Stoppsätze in stetiger Zeit................................377
13.3 Brownsche Bewegung und
Martingale
......................380
13.4 Konvergenz von Martingalen..............................387
13.5 Anwendung Finanzinathematik: Preisformeln ...............392
14
Itô-Integrale
...............................................405
14.1
Stieltjes-Integrale
und Variation...........................406
14.2 Das
Itô-Integral
.........................................413
14.3 Lokalisierung...........................................427
14.4 Die
Itô-Formel
..........................................436
14.5 Anwendung Mikroelektronik: Schaltkreissimulation ..........448
Teil
IV
Mathematische Statistik
15 Schätztheorie..............................................155
15.1 Das statistische Modell...................................455
15.2 Suffizienz und Vollständigkeit.............................460
15.3 Das
Maximum-Likelihood-
Verfahren.......................464
15.4 Bayes-Schät/ung........................................475
15.5 Anwendung Nachrichtentechnik: Wortfehleroptimale
Decodierung............................................480
16 Testtheorie................................................483
16.1 Das Neyman-Pearson-Lemma.............................483
16.2 Einseitige Tests .........................................491
16.3 Nichtparametrische Tests.................................499
16.4 Anwendung medizinische Biometrie: Arzneimittelprüfung.....504
17 Lineare statistische Modelle................................509
17.1 Das lineare Modell.......................................509
17.2 Kleinste-Quadrate-Schätzung............................. 512
17.3 Normalverteilte Fehler ...................................518
XIV Inhaltsverzeichnis
17.4 Anwendung Verfahrenstechnik: Datenanalyse bei einem
Recovery
Boiler.........................................530
Teil
V
Anhang
A
Existenzaussagen..........................................543
A.l Das Lebesgue-Maß....................................... 543
A.2 Existenz von Markov-Ketten.............................. 553
A.3 Ein Existenzsatz von Kolmogorov .........................555
A.4 Brownsche Bewegungen...................................562
B Lp-Räume
..................................................569
С
Wertetabellen.............................................577
C.l Verteilung der Standardnormal Verteilung...................577
C.2 Quantile der
í-
Verteilung.................................578
C.3 Quantile der x2-Verteilung................................579
D
Wahrscheinlichkeitstheorie zum Nachschlagen .............581
E
Literaturhinweise..........................................585
Literatur......................................................589
Symbolverzeichnis.............................................595
Index...........................................................601
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