Numerische Mathematik:
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Teubner
2004
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Einleitung 13
1 Fehlertheorie 15
1.1 Fehlerarten 15
1.2 Zahldarstellung 16
1.3 Rundungsfehler 17
1.4 Differenzielle Fehleranalyse 20
1.5 Ergänzungen und Beispiele 23
1.5.1 Rückwärts Fehleranalyse (backward analysis) 23
1.5.2 Numerische Stabilität 24
1.6 Software 27
2 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden 28
2.1 Der Gauß Algorithmus 28
2.1.1 Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung 28
2.1.2 Pivotstrategien 36
2.1.3 Ergänzungen 41
2.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen 45
2.2.1 Normen 45
2.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition 50
2.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften 54
2.3.1 Symmetrische, positiv definite Systeme 54
2.3.2 Bandgleichungen 60
2.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme 62
2.4 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner 65
2.4.1 Voll besetzte Systeme 66
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme 70
2.5 Anwendungen 80
2.5.1 Schaltkreistheorie 80
2.5.2 Fluss durch ein Rohrnetz mit Pumpe 82
2.5.3 Ebenes Fachwerk 83
8 Inhalt
2.6 Software 85
2.7 Aufgaben 85
3 Interpolation und Approximation 89
3.1 Polynominterpolation 90
3.1.1 Problemstellung 90
3.1.2 Lagrange Interpolation 93
3.1.3 Newton Interpolation 93
3.1.4 Hermite Interpolation 96
3.1.5 Inverse Interpolation 98
3.1.6 Anwendung: Numerische Differenziation 99
3.2 Splines 104
3.2.1 Kubische Splines 105
3.2.2 B Splines 1. Grades 110
3.2.3 Kubische B Splines 112
3.3 Zweidimensionale Splineverfahren 117
3.3.1 Bilineare Tensorsplines 118
3.3.2 Bikubische Tensorsplines 121
3.4 Kurveninterpolation 123
3.4.1 Problemstellung 123
3.4.2 Numerische Lösung mit Splines 124
3.5 Kurven und Flächen mit Bezier Polynomen 125
3.5.1 Bernstein Polynome 125
3.5.2 Bezier Darstellung eines Polynoms 127
3.5.3 Der Casteljau Algorithmus 128
3.5.4 Bezier Kurven 129
3.5.5 Bezier Flächen 135
3.6 Gauß Approximation 138
3.6.1 Diskrete Gauß Approximation 140
3.6.2 Kontinuierliche Gauß Approximation 142
3.7 Trigonometrische Approximation 143
3.7.1 Fourier Reihen 143
3.7.2 Effiziente Berechnung der Fourier Koeffizienten 152
3.8 Orthogonale Polynome 159
3.8.1 Approximation mit Tschebyscheff Polynomen 160
3.8.2 Interpolation mit Tschebyscheff Polynomen 168
3.8.3 Die Legendre Polynome 172
3.9 Software 177
3.10 Aufgaben 178
Inhalt 9
4 Nichtlineare Gleichungen 181
4.1 Theoretische Grundlagen 181
4.1.1 Problemstellung 181
4.1.2 Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz 182
4.1.3 Stabilität und Kondition 186
4.2 Gleichungen in einer Unbekannten 187
4.2.1 Das Verfahren der Bisektion 187
4.2.2 Das Verfahren von Newton 189
4.2.3 Die Sekantenmethode 192
4.2.4 Brents Black box Methode 193
4.2.5 Verfahrensvergleich 195
4.3 Gleichungen in mehreren Unbekannten 196
4.3.1 Fixpunktiteration und Konvergenz 196
4.3.2 Das Verfahren von Newton 197
4.4 Nullstellen von Polynomen 204
4.4.1 Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton Maehly 204
4.4.2 Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow 208
4.5 Software 212
4.6 Aufgaben 212
5 Eigenwertprobleme 215
5.1 Theoretische Grundlagen 216
5.1.1 Das charakteristische Polynom 216
5.1.2 Ähnlichkeitstransformationen 216
5.1.3 Symmetrische Eigenwertprobleme 217
5.1.4 Elementare Rotationsmatrizen 217
5.2 Das klassische Jacobi Verfahren 219
5.3 Die Vektoriteration 226
5.3.1 Die einfache Vektoriteration nach von Mises 226
5.3.2 Die inverse Vektoriteration 228
5.4 Transformationsmethoden 229
5.4.1 Transformation auf Hessenberg Form 230
5.4.2 Transformation auf tridiagonale Form 234
5.4.3 Schnelle Givens Transformation 236
5.5 QiJ Algorithmus 240
5.5.1 Grundlagen zur Qi2 Transformation 240
5.5.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte 245
5.5.3 Qi? Doppelschritt, komplexe Eigenwerte 250
5.5.4 QjR Algorithmus für tridiagonale Matrizen 253
5.5.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren 257
10 Inhalt
5.6 Das allgemeine Eigenwertproblem 258
5.6.1 Der symmetrisch positiv definite Fall 258
5.7 Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität 261
5.8 Anwendung 265
5.8.1 Membranschwingungen 265
5.9 Software 267
5.10 Aufgaben 268
6 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 271
6.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen 271
6.2 Methoden der Orthogonaltransformation 275
6.2.1 Givens Transformation 276
6.2.2 Spezielle Rechentechniken 281
6.2.3 Householder Transformation 283
6.3 Singulärwertzerlegung 289
6.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme 293
6.4.1 Gauß Newton Methode 294
6.4.2 Minimierungsverfahren 297
6.5 Software 301
6.6 Aufgaben 302
7 Numerische Integration 304
7.1 Newton Cotes Formeln 305
7.1.1 Konstruktion von Newton Cotes Formeln 305
7.1.2 Verfeinerung der Trapezregel 307
7.2 Romberg Integration 310
7.3 Transformationsmethoden 312
7.3.1 Periodische Integranden 313
7.3.2 Integrale über K 315
7.3.3 Variablensubstitution 317
7.4 Gauß Integration 320
7.4.1 Eingebettete Gauß Regeln 328
7.5 Adaptive Integration 329
7.6 Mehrdimensionale Integration 333
7.6.1 Produktintegration 333
7.6.2 Integration über Standardgebiete 334
7.7 Software 335
7.8 Aufgaben 336
Inhalt
8 Anfangswertprobleme 339
8.1 Einführung 340
8.1.1 Problemklasse und theoretische Grundlagen 340
8.1.2 Möglichkeiten numerischer Lösung 342
8.2 Einschrittverfahren 347
8.2.1 Konsistenz 347
8.2.2 Runge Kutta Verfahren 350
8.2.3 Explizite Runge Kutta Verfahren 351
8.2.4 Halbimplizite Runge Kutta Verfahren 355
8.2.5 Schrittweitensteuerung 356
8.3 Mehrschrittverfahren 360
8.3.1 Verfahren vom Adams Typ 360
8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion 365
8.4 Stabilität 373
8.4.1 Inhärente Instabilität 373
8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren 375
8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren 378
8.4.4 Steife Differenzialgleichungen 381
8.5 Anwendung: Lotka Volterras Wettbewerbsmodell 385
8.5.1 Kampf um Ressourcen 385
8.5.2 Räuber und Ressourcen 387
8.6 Software 388
8.7 Aufgaben 389
9 Rand und Eigenwertprobleme 392
9.1 Problemstellung und Beispiele 392
9.2 Lineare Randwertaufgaben 396
9.2.1 Allgemeine Lösung 396
9.2.2 Analytische Methoden 398
9.3 Schießverfahren 405
9.3.1 Das Einfach Schießverfahren 405
9.3.2 Das Mehrfach Schießverfahren 410
9.4 Differenzenverfahren 415
9.4.1 Dividierte Differenzen 415
9.4.2 Diskretisierung der Randwertaufgabe 416
9.5 Software 421
9.6 Aufgaben 422
10 Partielle Differenzialgleichungen 424
10.1 Differenzenverfahren 424
12 Inhalt
10.1.1 Problemstellung 424
10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe 426
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen 431
10.1.4 Diskretisierungsfehler 441
10.1.5 Ergänzungen 443
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben 445
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode 445
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode 451
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten 456
10.2.4 Zweidimensionale Probleme 458
10.3 Methode der flniten Elemente 463
10.3.1 Grundlagen 463
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente 466
10.3.3 Elementweise Bearbeitung 468
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen 474
10.3.5 Beispiele 474
10.4 Software 479
10.5 Aufgaben 480
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren 484
11.1 Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen 484
11.2 Gesamtschritt und Einzelschrittverfahren 486
11.2.1 Konstruktion der Iterationsverfahren 486
11.2.2 Einige Konvergenzsätze 491
11.2.3 Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation 505
11.3 Methode der konjugierten Gradienten 512
11.3.1 Herleitung des Algorithmus 512
11.3.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten 517
11.3.3 Konvergenzabschätzung 520
11.3.4 Vbrkonditionierung 524
11.4 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen 530
11.4.1 Grundlagen des Verfahrens 530
11.4.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften 534
11.5 Speicherung schwach besetzter Matrizen 539
11.6 Software 542
11.7 Aufgaben 542
Literaturverzeichnis 546
Sachverzeichnis 559
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