Basiswissen Zahlentheorie: eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche
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Berlin [u.a.]
Springer
2005
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| Series: | Mathematik für das Lehramt
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| adam_text | Vorwort XI
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen und Voraussetzungen
1.1 Mengen........................................................... 4
1.1.1 Mengen und ihre Elemente................................... 4
1.1.2 Mengen und ihre Machtigkeit................................ 6
1.1.3 Gleichheit von Mengen und Teilmengen................... 7
1.1.4 Verknupfungen von Mengen ................................. 9
1.2 Grundbegriffe des logischen SchlieBens.................... 11
1.2.1 Implikationen und die Aquivalenz von Aussagen......... 12
1.2.2 Mathematische Logik und Alltagslogik..................... 13
1.2.3 Einige (wenige) Regeln
des mathematischen Beweisens
und logischen SchlieBens...................................... 13
1.2.4 Implikationen und Beweisverfahren......................... 14
1.2.5 Quantoren ....................................................... 17
1.3 Ubungsaufgaben................................................ 19
2 Natiirliche Zahlen
2.1 Rechnen mit naturlichen Zahlen ............................ 23
2.1.1 Addition und Subtraktion..................................... 23
2.1.2 Das Prinzip des kleinsten Elements......................... 24
2.1.3 Multiplikation und Teilbarkeit................................ 27
2.1.4 Die Goldbach sche Vermutung............................... 30
2.2 Die Idee der unendlichen Mengen........................... 32
2.2.1 Gibt es unendliche Mengen?................................. 32
2.2.2 Hilberts Hotel................................................... 32
2.3 Beweise durch vollstandige Induktion...................... 34
2.3.1 Haufige Fehler.................................................. 36
2.3.2 Produkt und Induktion........................................ 37
2.3.3 Definition durch Induktion ................................... 39
2.4 Der binomische Lehrsatz...................................... 46
2.5 Evidenz und Wahrheit......................................... 52
2.6 Was sind die naturlichen Zahlen?........................... 55
2.7 Axiome fur die naturlichen Zahlen.......................... 57
2.7.1 Die Pea no-Axiome............................................. 57
2.7.2 Modelle zu den Peano-Axiomen............................. 60
2.7.3 Mengentheoretische Begriindung von N................... 62
2.8 Ubungsaufgaben................................................ 62
XII Vorwort
3 Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme
3.1 Beisptele fur Zahldarstellungen.............................. 67
3.2 Division mit Rest............................................... 71
3.3 Die Kreuzprobe................................................. 75
3.3.1 Das Prinzip der Kreuzprobe.................................. 75
3.3.2 Die Begrundung der Kreuzprobe............................ 76
3.4 Zahldarstellung in g-adischen Systemen................... 78
3.5 Rechnen in Stellenwertsystemen ............................ 82
3.5.1 Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen...... 83
3.5.2 Multiptikation und Division in g-adischen Systemen __ 85
3.6 Ubungsaufgaben................................................ 88
4 Teilbarkeit und Primzahlen
4.1 Teilbarkeit in N................................................. 91
4.2 Primzahlen....................................................... 95
4.2.1 Das Sieb des Eratosthenes................................... 96
4.2.2 Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen............ 97
4.2.3 Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln ..... 99
4.2.4 PrimfaT<torzerlegung........................................... 101
4.3 Teilbarkeit und Primfaktoren in Z.......................... 106
4.4 Ubungsaufgaben................................................ 114
5 Teller und Vietfache
5.1 Der groBte gemeinsame Teiler in Z......................... 119
5.2 Der euklidische Algorithmus................................. 125
5.3 Das kleinste gemeinsame Vielfache in Z................... 130
5.4 Vollkommene Zahlen .......................................... 133
5.5 Ubungsaufgaben................................................ 140
6 Ganze Zahlen
6.1 Definition der ganzen Zahlen................................ 147
6.2 Rechnen mit ganzen Zahlen.................................. 154
6.3 Die isomorphe Einbettung
der naturlichen in die ganzen Zahlen....................... 159
6.4 Die Anordnung der ganzen Zahlen.......................... 165
6.5 Ubungsaufgaben................................................ 166
7 Restklassen
7.1 Kongruenzen.................................................... 171
7.2 Verkniipfungen von Restklassen............................. 177
7.2.1 Der Ring Zm der Restklassen modulo m.................. 186
7.3 Teilbarkeitsregeln............................................... 188
Vorwort XIII
7.3.1 Quersummenregeln............................................. 188
7.3.2 Endstellenregeln................................................ 191
7.4 Pseudozufallszahlen und Kongruenzen..................... 192
7.4.1 Die Erzeugung von PseudozufaHszahlen................... 194
7.5 Ubungsaufgaben................................................ 195
8 Lineare und quadratische Kongruenzen
8.1 Lineare Kongruenzen und ihre Losbarkeit................. 199
8.2 Anwendungen linearer Kongruenzen........................ 204
8.3 Satze von Euler................................................. 207
8.4 Chinesischer Restsatz.......................................... 212
8.5 Quadratische Kongruenzen................................... 214
8.6 U bungsaufgaben................................................ 224
9 Teilbarkeit in Integritatsringen
9.1 Integritatsringe.................................................. 228
9.2 Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente................ 233
9.3 Primelemente................................................... 242
9.4 Nebenklassen, Ideale und Hauptidealringe ................ 250
9.5 Eigenschaften von Hauptidealringen........................ 257
9.6 Ubungsaufgaben................................................ 263
10 Rationale Zahlen
10.1 Definition der rationalen Zahlen............................. 267
10.2 Q ist eine groBe Menge: Dezimaldarstellung.............. 277
10.3 <Q> ist eine kleine Menge: Abzahlbarkeit.................... 286
10.3.1 Abzahlen nach der Summe von Zahler und Nenner..... 287
10.3.2 Die Abzahlbarkeit der rationalen Zahlen................... 289
10.4 Q ist eine kleine Menge:
Rationale und reelle Zahlen.................................. 290
10.5 Kettenbriiche.................................................... 296
10.5.1 Darstellung von rationalen Zahlen
durch Kettenbruche............................................ 299
10.5.2 Darstellung von irrationalen Zahlen
durch Kettenbruche............................................ 301
10.6 Ubungsaufgaben................................................ 302
11 Reelle Zahlen
11.1 Konvergenz...................................................... 309
11.2 Die Erweiterung von Q auf R................................ 320
11.3 Nachweis des Grenzwerts..................................... 327
11.4 Ubungsaufgaben................................................ 333
XIV Vorwort
12 Komplexe Zahlen
12.1 Definition der komplexen Zahlen............................ 338
12.1.1 Die Zahtenebene................................................ 338
12.1.2 Polarkoordinaten ............................................... 339
12.2 Addition und Multiplikation.................................. 343
12.3 Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen........................ 346
12.4 Rechnen mit komplexen Zahlen............................. 348
12.5 Quadratische Gleichungen.................................... 353
12.6 Gleichungen hoherer Ordnung............................... 358
12.7 Ubungsaufgaben................................................ 363
13 Zahlentheoretische Funktionen
13.1 Begriffsbestimmung............................................ 367
13.2 Primzahlverteilung............................................. 368
13.3 Die Euler sche v?-Funktion.................................... 370
13.4 Die Riemann sche ^-Funktion................................ 377
13.4.1 Ungerade natiirliche Zahlen
und die Riemann sche C-Funktion........................... 379
13.4.2 Zusammenhange der Riemann schen C-Funktion
mit den Primzahlen............................................ 379
13.5 Ubungsaufgaben................................................ 382
14 Anwendungen der elementaren Zahlentheorie
14.1 Verwaltung von Lagerbestanden ............................ 387
14.1.1 EAN (European Article Number)........................... 387
14.1.2 ISBN (International Standard Book Number)............ 390
14.2 Kryptogra phie................................................... 393
14.2.1 Einheiten in Xm................................................ 398
14.2.2 Grundlagen des RSA-Verfahrens ............................ 399
14.2.3 Praktische Zahlenkodierung.................................. 400
14.2.4 Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung............. 402
14.2.5 Praktische Textkodierung..................................... 403
14.3 Ubungsaufgaben................................................ 407
Losungshinweise zu den Ubungsaufgaben........... 411
Ldsungen zu den Ubungsaufgaben.................. 425
Literaturverzeichnis................................ 461
Index............................................... 463
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