Algebra und Diskrete Mathematik: 2 Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen
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Berlin [u.a.]
Springer
2004
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Inhaltsverzeichnis
Teil
I
Lineare Optimierung
Einführung in die Lineare Optimierung. 3
1.1 Das Lineare Optimierungsproblem . 4
1.2 Die Normalform eines
LOP
. 7
1.3 Graphische Lösvmgsmethoden für
LOP
mit nur zwei
Unbekannten. 9
Die Simplexmethode . 13
2.1 Die theoretischen Grundlagen der Simplexmethode. 13
2.2 Her
leit ung
des Simplexalgorithmus. 24
2.3 Der Simplex-Algorithmus und einige seiner Modifikationen . 37
Das Dualitätsprinzip . 43
3.1 Primale und
duale
LOP.
43
3.2 Der Dualitätssatz. 44
3.3 Die
duale Simplexmethode.
47
Ganzzahlige Lineare Optimierung. 51
4.1 Problemstellung. 51
4.2 Das
Gomory
-Verfahren. 53
Das Transportproblem . 63
5.1 Problemstellung und mathematische Modellierung . 63
5.2 Einige Sätze zum Transportprobleni. 67
5.3 Der Transportalgorithmus. 78
Aufgaben zum Teil
I
. 85
6.1 Aufgaben zum Kapitel 1. 85
6.2 Aufgaben zum Kapitel 2. 86
6.3 Aufgaben zum Kapitel 3. 88
X
Inhaltsverzeichnis
6.4 Aufgaben zum Kapitel 4. 89
6.5 Aufgaben zum Kapitel 5. 89
Teil
II
Graphen und Algorithmen
7 Grundbegriffe und einige Eigenschaften von Graphen. 97
7.1 Gerichtete und ungerichtete Graphen. 97
7.2 Teilgraphen von Graphen und Graphenoperationen.102
7.3 Isomorphie von Graphen.103
7.4 Beschreibung von Graphen durch Matrizen.104
7.5 Kantenfolgen und Zusammenhang von Graphen.107
7.6 Abstände in Graphen und bewertete Graphen.110
7.7 Algorithmen zum Bestimmen optimaler Wege in Graphen . 112
7.8 Definitionen einiger spezieller Graphen.117
8 Wälder, Bäume und Gerüste.121
8.1 Wälder und Bäume .122
8.2 Gerüste.124
8.3 Minimalgerüste.127
9 Planare Graphen und Färbungen.129
9.1 Planare Graphen.130
9.2 Färbungen.132
10 Tourenprobleme.139
10.1 Kantenbezogene Aufgaben.139
10.1.1 Eulertouren.139
10.1.2 Das Chinesische Briefträgerproblem.143
10.2 Eckenbezogene Aufgaben .145
10.2.1 Hamiltonkreise.145
10.2.2 Das Problem des Handlungsreisenden
(Rundreiseproblem).147
11
Matching-
und Netzwerktheorie.151
11.1 Matchings .152
11.2 Matchings in bipartiten Graphen.161
11.3 Netzwerke und Flüsse in Netzwerken.163
12 Allgemeines über Algorithmen.175
12.1 Suchen und Sortieren.175
12.2 Der Greedy-Algorithmus.178
12.3 Über die Komplexität von Algorithmen.182
Inhaltsverzeichnis
XI
13 Übungsaufgaben zum Teil
II
.189
13.1 Übungsaufgaben zum Kapitel 7.189
13.2 Übungsaufgaben zum Kapitel 8.191
13.3 Übungsaufgaben zum Kapitel 9.192
13.4 Übungsaufgaben zum Kapitel 10.193
13.5 Übungsaufgaben zum Kapitel 11.194
13.6 Übungsaufgaben zum Kapitel 12.196
Teil
III
Algebraische Strukturen und
Allgemeine Algebra mit Anwendungen
14 Grundbegriffe der Allgemeinen Algebra.203
14.1 Allgemeine Algebren.203
14.2 Beispiele für allgemeine Algebren .206
14.2.1
Gruppoide
.206
14.2.2 Halbgruppen.206
14.2.3 Monoide .206
14.2.4 Gruppen.207
14.2.5 Halbringe .207
14.2.6 Ringe.207
14.2.7 Körper.207
14.2.8 Moduln.207
14.2.9 Vektorräume.208
14.2.10 Halbverbände.208
14.2.11 Verbände.208
14.2.12 Boolesche Algebren.209
14.2.13 Funktionenalgebren.209
14.3 Unteralgebren.210
15 Verbände.213
15.1 Zwei Definitionen eines Verbandes.213
15.2 Beispiele für Verbände.217
15.3 Isomorphe Verbände, Unterverbände .217
15.4 Distributive und
modulare
Verbände.220
15.5 Vollständige Verbände und Äquivalenzrelationen.226
16 Hüllensysteme und Hüllenoperatoren.229
16.1 Grundbegriffe.229
16.2 Einige Eigenschaften von Hüllensystemen und Hüllenoperatoren230
16.3 Eine Anwendung in der Formalen Begriffsanalyse .234
XII Inhaltsverzeichnis
17 Homomorphismen, Kongruenzen und
Galois-
Verbindungen . 239
17.1 Homomorphismen und Isomorphismen.239
17.2 Kongruenzrelationen und Faktoralgebren von Algebren.240
17.3 Beispiele für Koiigruenzrelationen und spezielle
Homomorphiesätze.245
17.3.1 Kongruenzen auf Gruppen.245
17.3.2 Kongruenzen auf Ringen .246
17.3.3 Beispiele für Kongruenzen auf Verbänden.248
17.3.4 Kongruenzen auf Booleschen Algebren.248
17.4 Isomorphiesätze.254
17.5
Galois-
Verbindungen.258
18 Direkte und subdirekte Produkte.263
18.1 Direkte Produkte.263
18.2 Subdirekte Produkte.268
18.3 Zwei Anwendungen .271
19 Körper.281
19.1 Grundbegriffe und einige elementare Eigenschaften.281
19.2 Primkörper, Charakteristik.283
19.3 Allgemeines über Körpererweiterungen .287
19.4 Polynomringe und Körpererweiterungen .290
19.5 Endliche Körper.306
19.6 Zerfällungskörper und normale Körpererweiterungen .314
19.7 Irreduzibilitätskriterien und Faktorisierung von Polynomen . . . 319
19.8 Eine Anwendung der Körpertheorie in der Kombinatorik.324
19.9 Anwendung der Körpertheorie in der Codierungstheorie.326
19.9.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen.327
19.9.2 Lineare Codes.330
19.9.3 Polynomcodes.338
20
Galois-
Theorie.343
20.1 Reine Gleichungen und das Lösen von Gleichungen durch
Radikale.345
20.2 Die Galois-Gruppe einer Körpererweiterung.350
20.3 Der Hauptsatz der Galois-Theorie.360
20.4 Normalreihen von Gruppen, Auflösbarkeit von Gruppen.365
20.5 Über die Lösbarkeit von Gleichungen durch Radikale.368
20.6 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.372
21 Varietäten, gleichungsdefinierte Klassen und freie Algebren 381
21.1 Varietäten .382
21.2 Tenne, Termalgebren und
Termfunktionen
.384
21.3 Gleichungen und gleichungsdefinierte Klassen.387
21.4 Freie Algebren.389
Inhaltsverzeichnis XIII
21.5 Beziehungen zwischen Varietäten und gleichungsdefinierten
Klassen.392
21.6 Deduktiver Abschluß von Gleichungsmengen und
Gleichungstheorie.393
22 Punktionenalgebren .397
22.1 Funktionen über endlichen Mengen.397
22.2 Operationen über PA, Funktionenalgebren .400
22.3
Superpositionen,
Teilklassen und Klone.402
22.4 Erzeugendensysteme für PA .404
22.5 Einige Anwendungen der Funktionenalgebren.409
22.5.1 Klassifikation von allgemeinen Algebren.409
22.5.2 Mehrwertige Logiken (mehrwertige Kalküle) .409
22.5.3 Informationswandler.410
22.6 Die Galois-Beziehung zwischen Funktionen- und
Relationenalgebren.413
22.6.1 Relationen.414
22.6.2 Diagonale Relationen.415
22.6.3 Elementare Operationen über Rk.415
22.6.4 Relationenalgebren, Ko-Klone, Ableiten von Relationen416
22.6.5 Aus den elementaren Operationen ableitbare
Operationen über Rk .416
22.6.6 Das Bewahren von Relationen; Pol. luv .418
22.6.7 Die Relationen
χη
und G„.421
22.6.8 Der Operator
ΓΑ
.422
22.6.9 Die Galois-Theorie für Funktionen- und
Relationenalgebren.423
22.7 Die Teilklassen von P2.425
22.7.1 Definitionen der Teilklassen von
Ą
und der Satz von
Post.425
22.7.2 Ein Beweis des Satzes von Post .429
22.7.3 Ein Vollständigkeitskriterium für P2 .436
22.8 Die Teilklassen von Pk. die
F¿
enthalten.438
22.9 Die maximalen Klassen der k-wertigen Logik.441
22.10 Vollständigkeitskriterien für Pk.447
22.11 Eigenschaften des Verbandes der Teilklassen der k-wertigen
Logik.452
23 Übungsaufgaben zum Teil
III
.455
23.1 Übungsaufgaben zum Kapitel 14.455
23.2 Übungsaufgaben zum Kapitel 15.457
23.3 Übungsaufgaben zum Kapitel 16.460
23.4 Übungsaufgaben zürn Kapitel 17.461
23.5 Übungsaufgaben zum Kapitel 18.463
23.6 Übungsaufgaben zum Kapitel 19.464
XIV Inhaltsverzeichnis
23.7 Übungsaufgaben zum Kapitel 20.469
23.8 Übungsaufgaben zum Kapitel 21.470
23.9 Übungsaufgaben zum Kapitel 22.472
Literaturverzeichnis .477
Index.483
Glossar.491 |
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