Funktionentheorie: höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker
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Wiesbaden
Teubner
2004
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| Series: | Teubner-Lehrbuch Mathematik
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 Komplexe Zahlen................................... 1
1.1.1 Wiederholung und Ergänzung.......................... 1
1.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel.......................... 5
1.1.3
Topologische
Hilfsmittel............................. 7
1.1.4 Folgen von komplexen Zahlen.......................... 9
1.1.5 Reihen von komplexen Zahlen.......................... 12
1.1.6 Kurven und Gebiete in
С
............................. 14
1.2 Funktionen einer komplexen Variablen........................ 22
1.2.1 Funktionsbegriff................................. 22
1.2.2 Stetigkeit..................................... 22
1.2.3 Elementare Funktionen.............................. 26
2 Holomorphe Funktionen 33
2.1 Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie.................. 33
2.1.1 Ableitungsbegriff, Holomorphie......................... 33
2.1.2 Rechenregeln für holomorphe Funktionen.................... 35
2.1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen............... 36
2.1.4 Umkehrung der elementaren Funktionen..................... 42
2.1.5 Die Potentialgleichung.............................. 48
2.2 Komplexe Integration................................. 53
2.2.1 Integralbegriff .................................. 53
2.2.2 Der Cauchysche Integralsatz........................... 59
2.2.3 Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz................. 61
2.2.4 Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes................... 72
2.2.5 Anwendungen der komplexen Integralrechnung................. 74
2.3 Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse ............. 85
2.3.1 Folgen von Funktionen.............................. 85
2.3.2 Reihen von Funktionen.............................. 89
2.3.3 Potenzreihen................................... 90
2.3.4 Charakterisierung holomorpher Funktionen................... 95
2.3.5 Analytische Fortsetzung............................. 96
2.4 Asymptotische Abschätzungen............................ 106
2.4.1 Asymptotische Entwicklungen.......................... 107
2.4.2 Die Sattelpunktmethode............................. 111
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Isolierte Singularitäten, Laurent-Entwicklung 119
3.1 Laurentreihen..................................... 119
3.1.1 Holomorphe Funktionen in Ringgebieten.................... 119
3.1.2 Singularitäten................................... 124
3.2 Residuensatz und Anwendungen........................... 129
3.2.1 Der Residuensatz................................. 129
3.2.2 Das Prinzip vom Argument............................ 134
3.2.3 Anwendungen .................................. 135
4 Konforme Abbildungen 153
4.1 Einführung in die Theorie konformer Abbildungen................. 153
4.1.1 Geometrische Kennzeichnung holomorpher Funktionen ............ 153
4.1.2 Der Riemannsche Abbildungssatz........................ 156
4.1.3 Spezielle konforme Abbildungen ........................ 158
4.2 Anwendungen auf die Potentialtheorie........................ 179
4.2.1 Dirichletsche Randwertprobleme ........................ 179
4.2.2 Neumannsche Randwertprobleme........................ 183
4.2.3 Potential von Punktladungen........................... 185
4.2.4 Ebene stationäre Strömungen .......................... 189
5 Anwendung auf die Besselsche Differentialgleichung 199
5.1 Die Besselsche Differentialgleichung......................... 199
5.1.1 Motivierung.................................... 199
5.1.2 Die Hankeischen Funktionen........................... 201
5.1.3 Allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung........... 205
5.2 Die Besselschen und Neumannschen Funktionen.................. 207
5.2.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften.................. 207
5.2.2 Integraldarstellung der Besselschen Funktionen................. 210
5.2.3 Reihenentwicklung und asymptotisches Verhalten der Besselschen Funktionen 212
5.2.4 Orthogonalität und Nullstellen der Besselschen Funktion............ 215
5.2.5 Die Neumannschen Funktionen......................... 218
5.2.6 Verhalten der Lösung der Besselschen Differentialgleichung.......... 220
5.3 Anwendungen..................................... 221
5.3.1 Radialsymmetrische Lösungen der Schwingungsgleichung........... 221
5.3.2 Schwingungen einer Membran..........................223
5.3.3 Elastizitätstheorie in der Ebene.......................... 229
5.3.4 Streuung einer ebenen Welle........................... 232
Anhang 239
A
Eigenschaften parameterabhängiger Integrale 241
В
Lösungen zu den Übungen 245
Inhaltsverzeichnis
IX
Symbole
Literaturverzeichnis
Stichwortverzeichnis
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