Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen:
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| Previous Title: | Großmann, Christian Numerik partieller Differentialgleichungen |
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| Language: | German |
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Wiesbaden
Teubner
2005
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| Series: | Teubner Studienbücher Mathematik
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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Vorwort 5
Notation
1 Grundbegriffe 13
1.1 Klassifikation und Korrektheit......................... 13
1.2 Fouriersche Methode, Integraltransformationen............... 17
1.3 Maximumprinzip, Fundamentallösung.................... 20
1.3.1 Elliptische Randwertaufgaben..................... 20
1.3.2 Parabolische Aufgaben und Anfangs-Randwertaufgaben...... 26
1.3.3 Hyperbolische Anfangs- und Anfangs-Randwertaufgaben...... 29
2 Differenzenverfahren 33
2.1 Grundkonzepte................................. 33
2.2 Einführende Beispiele ............................. 40
2.3 Transportprobleme und Erhaltungsgleichungen............... 45
2.3.1 Der eindimensionale lineare Fall ................... 46
2.3.2 Eigenschaften nichtlinearer Erhaltungsgleichungen......... 56
2.3.3 Differenzenverfahren für nichtlineare Erhaltungsgleichungen .... 61
2.4 Elliptische Randwertaufgaben.........................69
2.4.1 Elliptische Randwertaufgaben..................... 69
2.4.2 Der klassische Zugang zu Differenzenverfahren ........... 70
2.4.3 Diskrete Greensche Funktionen.................... 80
2.4.4 Differenzensterne und Diskretisierung in allgemeineren Gebieten . 82
2.4.5 Gemischte Ableitungen, Operatoren vierter Ordnung und Rand¬
bedingungen 2. und 3. Art....................... 88
2.4.6 Lokale Gitteranpassung........................ 93
2.5 Differenzenverfahren und
2.6 Parabolische Anfangs-Randwert-Probleme..................107
2.6.1 Räumlich eindimensionale Aufgaben.................107
2.6.2 Räumlich mehrdimensionale Aufgaben................112
2.6.3 Semidiskretisierungen.........................116
2.7 Hyperbolische Probleme 2. Ordnung.....................120
INHALTSVERZEICHNIS
Schwache Lösungen 127
3.1 Einführung...................................127
3.2 Angepaßte Funktionenräume .........................130
3.3 Variationsgleichungen und konforme Approximation............144
3.4 Abschwächungen der F-Elliptizität......................165
3.5 Nichtlineare Probleme.............................169
Methode der finiten Elemente 175
4.1 Ein Beispiel...................................175
4.2 Finite-Elemente-Räume............................180
4.2.1 Lokale Elemente und globale Eigenschaften.............180
4.2.2 Einige wichtige Finite-Elemente-Ansätze im R2 und R3 ......190
4.3 Zur Realisierung der Finite-Elemente-Methode ...............203
4.3.1 Struktur der Teilaufgaben.......................203
4.3.2 Beschreibung der Ausgangsaufgabe..................205
4.3.3 Erzeugung der endlichdimensionalen Probleme...........207
4.3.4 Gittergenerierung und Gitterveränderung..............212
4.4 Konvergenz konformer Methoden.......................218
4.4.1 Basisaussagen zur Interpolation in Sobolev-Räumen........218
4.4.2 Hilbert-Raum-Fehlerabschätzungen..................228
4.4.3
4.5 Nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden..................239
4.5.1 Einführung...............................239
4.5.2 Ansatzräume mit geringerer Glattheit................241
4.5.3 Näherungsweise Integration......................245
4.5.4 Die
4.5.5 Approximation krummliniger Ränder.................254
4.6 Gemischte
4.6.1 Gemischte Variationsgleichungen und Sattelpunkte.........257
4.6.2 Konforme Approximation gemischter Variationsgleichungen .... 264
4.6.3 Abschwächungen von Glattheitsforderungen bei der
der biharmonischen Gleichung.....................271
4.6.4 Penalty-Methoden und modifizierte Lagrange-Funktionen.....276
4.7 Fehlerschätzer und
4.7.1 Ein residualer Fehlerschätzer.....................287
4.7.2 Mittelung und zielorientierte Schätzer................290
4.8 Die diskontinuierliche Galerkin-Methode...................292
4.8.1 Die
4.8.2 Ein hyperbolisches Problem erster Ordnung.............297
4.8.3 Konvergenzanalysis für ein Konvektions-Diffusion-Problem .... 299
4.9 Hinweise zu weiteren Aspekten........................303
4.9.1 Zur Kondition der Steifigkeitsmatrix im symmetrischen Fall .... 303
4.9.2 Eigenwertprobleme...........................305
4.9.3 Superkonvergenz............................307
INHALTSVERZEICHNIS
4.9.4
5
5.1 Parabolische Aufgaben.............................313
5.1.1 Zur schwachen Formulierung.....................313
5.1.2 Semidiskretisierung mit
5.1.3 Zeitdiskretisierung mit Standardverfahren..............325
5.1.4 Zeitdiskretisierung mit der diskontinuierlichen Galerkin-Methode . 332
5.1.5 Die Rothe-Methode ..........................337
5.1.6 Fehlerkontrolle.............................342
5.2 Hyperbolische Aufgaben zweiter Ordnung..................350
5.2.1 Zur schwachen Formulierung.....................350
5.2.2 Semiskretisierung mit finiten Elementen...............353
5.2.3 Zeitdiskretisierung...........................357
5.2.4 Die Rothe-Methode bei hyperbolischen Problemen.........362
5.2.5 Bemerkungen zur Fehler
6 Singular gestörte Randwertaufgaben 367
6.1 Zweipunkt-Randwertaufgaben.........................367
6.1.1 Zum analytischen Verhalten der Lösungen..............367
6.1.2 Diskretisierung auf Standardgittern .................374
6.1.3 Grenzschichtangepaßte Gitter.....................385
6.2 Räumlich eindimensionale parabolische Probleme..............390
6.2.1 Zum analytischen Verhalten der Lösung...............390
6.2.2 Diskretisierungsverfahren.......................392
6.3 Mehrdimensionale Konvektions-Diffusions-Probleme ............396
6.3.1 Zur
6.3.2 Diskretisierung auf Standardgittern .................402
6.3.3 Grenzschichtangepaßte Gitter.....................416
6.3.4 Zu parabolischen Problemen, mehrdimensional im Raum......418
7 Variationsungleichungen, optimale Steuerung 423
7.1 Aufgabenstellung................................423
7.2 Diskretisierung von Variationsungleichungen.................434
7.3 Penalty-Methoden...............................444
7.3.1 Grundkonzept von Penalty-Methoden ................444
7.3.2 Abstimmung von Straf- und Diskretisierungsparametern......460
7.4 Optimale Steuerung partieller DGLN.....................467
7.4.1 Zur
7.4.2 Diskretisierung mittels Finite-Elemente-Methoden.........476
і
8.1 Besonderheiten der Aufgabenstellung.....................485
8.2 Direkte Verfahren................................488
8.2.1 Das Gauß-Verfahren für Bandmatrizen................488
10 INHALTSVERZEICHNIS
8.2.2 Schnelle Lösung diskreter Poisson-Gleichungen, FFT........490
8.3 Iterationsverfahren...............................496
8.3.1 Basisstruktur und Konvergenz ....................496
8.3.2 Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren..................499
8.3.3 Block-Iterations-Verfahren.......................505
8.3.4
8.4 CG - Verfahren.................................515
8.4.1 Grundkonzept, Konvergenzeigenschaften...............515
8.4.2 Vorkonditionierte CG-Verfahren ...................523
8.5 Mehrgitterverfahren ..............................533
8.6 Gebietszerlegung, parallele Algorithmen...................544
Literaturverzeichnis 553
Bücher
Zeitschriftenartikel..................................559
Index 566
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