Komplexe Zahlen: ein Lehr- und Arbeitsbuch
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München
Bayer. Schulbuch-Verl.
1995
|
| Ausgabe: | 4. Aufl., 7. unveränd. Nachdr. |
| Schriftenreihe: | BSV-Mathematik
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 135 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3762732701 |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
1. Der Körper der reellen Zahlen
IR
.............. 9
1.1. Der Gruppenbegriff.................. 9
1.1.1. Verknüpfungen auf einer Menge........... 9
1.1.2.
Def ¡nition
der Gruppe.............. 11
1.2. Der Körper der reellen Zahlen..............
ц
1.2.1. Die Menge der natürlichen Zahlen IN......... 12
1.2.2. Der Ring der ganzen Zahlen
Z
........... 12
1.2.3. Der Körper der rationalen Zahlen
(D
......... 12
1.2.4. Die Körperaxiome............... 13
1.2.5. Die Anordnungsaxiome.............. 15
1.2.6. Die Unvollständigkeit des Körpers <Q......... 16
1.2.7. Die Vollständigkeit von
IR
............. 16
1.3. Aufgaben..................... 17
2. Der Körper der komplexen Zahlen
С
............ 20
2.1. Das Problem der Bereichserweiterung............ 20
2.1.1. Ein Mangel des Körpers
IR
............. 20
2.1.2. Das historische Vorgehen............. 20
2.1.3. Kritik am historischen Vorgehen........... 21
2.1.4. Allgemeine Leitlinien bei Bereichserweiterungen..... 22
2.2. Konstruktion der komplexen Zahlen............ 22
2.2.1. Komplexe Zahlen als Paare reeller Zahlen........ 22
2.2.2. Die Menge
С
als Körper.............. 24
2.2.3. Verzicht auf die Anordnung............ 25
2.3. Aufgaben..................... 25
3. Geometrische Deutung komplexer Zahlen.......... 29
3.1. Die Ebene der komplexen Zahlen............. 29
3.1.1. Komplexe Zahlen als Punkte einer Ebene........ 29
3.1.2. Komplexe Zahlen als Vektoren einer Ebene....... 30
3.1.3. Beträge komplexer Zahlen............. 31
3.2. Deutung der Multiplikation............... 32
3.2.1. Polarform komplexer Zahlen............ 32
3.2.2. Eigenschaften von
Ε (φ).............
33
3.2.3. Produkt in Polarform.............. 34
3.2.4. Winkel zwischen Vektoren............. 35
3.3. Aufgaben..................... 36
Inhaltsverzeichnis 5
4 Punktmengen in der Zahlenebene............. 39
4
ι
Darstellung von Punktmengen durch Gleichungen........ 39
4.1.1. Kreisgleichung in Betragsform........... 39
4.1.2. Kreisgleichung in betragsfreier Form......... 40
4.1.3. Geradengleichung............... 40
4 2. Darstellung von Punktmengen durch Ungleichungen....... 42
4.2.1. Kreisscheibe, Kreisring.............. 42
4.2.2. Offene Kreisumgebungen eines Punktes........ 42
4.2.3. Parallelstreifen, Rechtecke, Sektoren......... 43
4.3. Darstellung von Punktmengen in Parameterform........ 43
4.3.1. Parameterform des Kreises............. 44
4.3.2. Parameterform der Geraden............ 44
4.4. Punktfolgen in der Zahlenebene.............. 45
4.4.1. Begriff der Punktfolge.............. 45
4.4.2. Grenzwert einer Punktfolge............ 46
4.5. Aufgaben..................... 48
5. Abbildungen in der Zahlenebene.............. 52
5.1. Funktion als Abbildung der Zahlenebene in sich........ 52
5.2. Verknüpfung von Abbildungen.............. 52
5.3. Die Gruppe der linearen Funktionen............ 53
5.3.1. Translation
z
н-
w
=
z
+
b
............. 54
5.3.2. Drehstreckung
ζ ι-»·
w
=
az
............ 54
5.3.3. Gleichsinnige Ähnlichkeit
z
»->
w
=
az
+
b
....... 54
5.3.4. Fixpunkte
von z
н>
w
=
az
+
b
........... 55
5.3.5. Fixpunktdarstellung
von
z
^
w
=
az
+
b
........ 56
5.3.6. Spiegelung
z
и-
w = z*
.............. 57
5.3.7. Die Gruppeneigenschaft der linearen Funktionen .... 57
5.4. Nichtlineare Funktionen................ 58
5.4.1. Spiegelung am Einheitskreis
z ^ w
= —^ ....... 58
z 1
5.4.2. Die Kreistreue der Abbildung
z ^ w
= —*....... 60
5.4.3. Spiegelung am Kreis mit Zirkel und Lineal....... 62
5.4.4. Abbildung eines Koordinatennetzes durch Kreisspiegelung . . 62
5.4.5. Die lokale Ähnlichkeit der Kreisspiegelung....... 64
5.4.6. Die Abbildung
ζ ι-»-
w
= —............ 66
5.5. Aufgaben..................... 67
6. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.............. 73
6.1. Stetigkeit von Funktionen................ 73
6.1.1. Stetigkeit in einem inneren Punkt der Definitionsmenge ... 73
Inhaltsverzeichnis
6.1.2. Stetigkeit
¡η
einer Menge............. 75
6.1.3. Stetigkeit der linearen Funktionen
ζ
^
w
=
az
+
b .
. . .76
6.1.4. Stetigkeit der Spiegelung am Einheitskreis....... 77
6.1.5. Stetig behebbare Definitionslücke.......... 77
6.1.6. Nicht stetig behebbare Definitionslücke........ 78
6.2. Grenzwerte von Funktionen............... 79
6.2.1. Grenzwert lim f{z)............... 79
z-»z0
6.2.2. Grenzwert lim f(z>...............81
Z-łOO
6.2.3. Grenzwertsätze................82
6.2.4. Anwendung der Grenzwertsätze...........82
6.3. Ausblick auf Differenzierbarkeit..............83
6.3.1. Definition der Ableitung f (z0)........... 83
6.3.2. Differenzierbarkeit und lokale Ähnlichkeit....... 83
6.3.3. Ableitung der linearen Funktion
z
н*
f (z)
=
az
+
b
.... 85
6.3.4. Funktion
z h* f(z)
=
z*
nicht differenzierbar...... 85
6.3.5.
Differenzierbarkeit von z
ь>
f(z) =
z
л
......... 86
6.4. Aufgaben..................... 86
7. Die algebraische Abgeschlossenheit von (D...........90
7.1 Problemstellungen.................. 90
7.1.1. Darstellung von Lösungen durch Radikale....... 90
7.1.2. Existenz von Lösungen.............. 91
7.1.3. Berechnung von Lösungen............. 92
7.2. Spezielle Gleichungen.................92
7.2.1. Kreisteilungsgleichung zn = 1,
n
Є
IN......... 92
7.2.2. Die Gruppe der
n.
Einheitswurzeln.......... 94
7.2.3. Reine Gleichung zn =
а, а Є
С
........... 94
7.3. Der Fundamentalsatz der Algebra............. 96
7.3.1. Abbildungen durch ganze rationale Funktionen......96
7.3.2. Beweis des Fundamentalsatzes...........97
7.4. Zerlegung in Linearfaktoren...............100
7.4.1. Reduktionssatz................100
7.4.2. Zerlegungssatz.................100
7.4.3. Folgerungen und Ergänzungen...........101
7.5. Berechnung von Lösungen................101
7.5.1. Iterationsverfahren...............101
7.5.2. Konvergenz des Iterationsverfahrens.........103
7.5.3. Geometrische Deutung des Iterationsverfahrens......104
7.6. Aufgaben.....................105
8. Anwendungen komplexer Zahlen in der Physik.........109
8.1 Beschreibung von Bewegungen in einer Ebene.........109
8.1.1. Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung.......109
Inhaltsverzeichnis
8.1.2. Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit . . .111
8.1.3. Bewegung im rotierenden Bezugssystem........112
8.1.4. Zentrifugalkraft und Corioliskraft..........113
8.1.5. Aufgaben..................115
8 2. Harmonische Schwingungen...............116
8.2.1. Zeigerdiagramm einer Schwingung..........117
8.2.2. Überlagerung von Schwingungen...........118
8.2.3. Aufgaben...................121
8.3. Wechselstrom....................125
8.3.1. Zeigerdiagramm eines Wechselstromes.........125
8.3.2. Ohmscher Widerstand..............126
8.3.3. KapazitiverWiderstand..............126
8.3.4. InduktiverWiderstand..............127
8.3.5. Komplexer Widerstand..............127
8.3.6. Serienschaltung komplexer Widerstände........128
8.3.7. Parallelschaltung komplexer Widerstände........129
8.3.8. Aufgaben..................131
Namen-und Sachverzeichnis..................133
Zeichen und Bezeichnungen..................135
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