Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe:
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Introduction 1
Partie I. Préliminaires
1. Fonctions holomorphes de plusieurs variables 29
1.1. Fonctions holomorphes d une variable 30
1.2. Fonctions holomorphes de plusieurs variables 35
1.3. L équation dg/Sz = f 41
Exercices 43
2. Variétés complexes 45
2.1. Variétés et fibres vectoriels 46
2.2. Intégrabilité des structures presque complexes 50
2.3. Opérateurs 8 et 8 58
2.4. Exemples de variétés complexes 64
Exercices 65
3. Métriques kahlériennes 67
3.1. Définition et premières propriétés 68
3.2. Caractérisations des métriques kahlériennes 72
3.3. Exemples de variétés kahlériennes 77
Exercices 83
4. Faisceaux et cohomologie 85
4.1. Faisceaux 86
4.2. Foncteurs et fondeurs dérivés 95
4.3. Cohomologie des faisceaux 102
Exercices 111
vi TABLE DES MATIÈRES
Partie II. La décomposition de Hodge
5. Formes harmoniques et cohomologie 115
5.1. Laplaciens 116
5.2. Opérateurs différentiels elliptiques 122
5.3. Applications 125
Exercices 131
6. Cas des variétés kâhlériennes 133
6.1. La décomposition de Hodge 134
6.2. Décomposition de Lefschetz 139
6.3. Théorème de l indice de Hodge 144
Exercices 14/
7. Structures de Hodge et polarisations 149
7.1. Définitions, premières propriétés 150
7.2. Exemples 158
7.3. Fonctorialité 165
Exercices 172
8. Complexes de de Rham holomorphes et suites spectrales 175
8.1. Hypercohomologie 176
8.2. Complexes de de Rham holomorphes 185
8.3. Filtrations et suites spectrales 188
8.4. Théorie de Hodge des variétés ouvertes 195
Exercices 201
Partie III. Variations de structure de Hodge
9. Familles et déformations 207
9.1. Familles de variétés 208
9.2. Connexion de Gauss Manin 215
9.3. Le cas kâhlérien 219
10. Variation de structure de Hodge 225
10.1. Domaine et application des périodes 226
10.2. Variations de structure de Hodge 234
10.3. Applications 238
Exercices 243
Partie IV. Cycles et classes de cycles
11. Classes de Hodge 247
11.1. Classe de cycle 248
11.2. Classes de Chern 258
11.3. Classes de Hodge 261
Exercices 268
TABLE DES MATIÈRES vii
12. Cohomologie de Deligne Beilinson et application d Abel Jacobi 271
12.1. Application d AbelJacobi 272
12.2. Propriétés 280
12.3. Cohomologie de Deligne 284
Exercices 291
Partie V. Topologie des variétés algébriques
13. Le théorème de Lefschetz sur les sections hyperplanes 295
13.1. Théorie de Morse 296
13.2. Application aux variétés affines 302
13.3. Théorème d annulation et théorème de Lefschetz 309
Exercices 311
14. Étude des pinceaux de Lefschetz 313
14.1. Pinceaux de Lefschetz 314
14.2. Dégénérescence de Lefschetz 318
14.3. Application aux pinceaux de Lefschetz 323
Exercices 331
15. Monodromie 335
15.1. Action de monodromie 336
15.2. Cas des pinceaux de Lefschetz 344
15.3. Application : le théorème de Noether Lefschetz 355
Exercices 359
16. Suite spectrale de Leray 363
16.1. Définition de la suite spectrale 364
16.2. Le théorème de Deligne 376
16.3. Théorème des cycles invariants 380
Exercices 386
Partie VI. Variation de structure de Hodge
17. Transversalité et applications 391
17.1. Complexes associés aux VISH 392
17.2. Suite spectrale de Leray holomorphe 399
17.3. Étude locale des lieux de Hodge 403
Exercices 412
18. Filtration de Hodge des hypersurfaces 415
18.1. Filtration par l ordre du pôle 416
18.2. VISH des hypersurfaces 424
18.3. Premières applications 433
Exercices 438
vin TABLE DES MATIÈRES
19. Fonctions normales et invariants infinitésimaux 443
19.1. Fibration jacobienne 444
19.2. Application d Abel Jacobi 447
19.3. Cas des hypersurfaces de haut degré de P 458
Exercices 463
20. Travaux de Non 467
20.1. Le théorème de connexité 469
20.2. Equivalence algébrique 478
20.3. Application du théorème de connexité 485
Exercices 489
Partie VII. Cycles algébriques
21. Groupes de Chow 493
21.1. Construction 495
21.2. Intersection et classes de cycles 503
21.3. Exemples 513
Exercices 519
22. Le théorème de Mumford et ses généralisations 521
22.1. Variétés à CHo représentable 523
22.2. La construction de Bloch Srinivas 532
22.3. Généralisation 541
Exercices 543
23. La conjecture de Bloch et ses généralisations 545
23.1. Surfaces avec pg = 0 546
23.2. Filtration sur les groupes de Chow 558
23.3. Cas des variétés abéliennes 562
Exercices 573
Bibliographie 577
Index 589
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