Keine Probleme mit Inversen Problemen: eine Einführung in ihre stabile Lösung
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Wiesbaden
Vieweg
2003
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|---|---|
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
vii
Inhaltsverzeichnis
x
Symbolverzeichnis xiii
1 Einführung: Was ist ein
inverses
Problem? 1
1.1 Computer-Tomographie...................... 1
1.2 Impedanz-Tomographie...................... 4
1.3 Ein
inverses
Streuproblem: Ultraschall-Tomographie...... 6
1.4
Inverse
Wärmeleitungsprobleme ................. 9
1.4.1 Eindimensionales Wärmeleitungsproblem.......... 9
1.4.2 Bestimmung der Wandstärke eines Hochofens........ 11
1.5 Abstrakte Formulierung
inverser
Probleme........... 14
1.6 Übungsaufgaben.......................... 18
2 Schlecht gestellte Operatorgleichungen 20
2.1 Verallgemeinerte
Inverse
(Moore-Penrose-Inverse) ....... 20
2.2 Kompakte Operatoren....................... 24
2.3 Singulärwertzerlegung kompakter Operatoren.......... 28
2.4 Ein Funktionalkalkül für kompakte Operatoren......... 35
2.5 Ein weiteres Beispiel zur SWZ: Die Radon-Transformation . . 37
2.6 Übungsaufgaben.......................... 47
3 Regularisierung linearer Probleme und Optimalität 52
3.1 Vorbetrachtungen ......................... 52
3.2 Klassifizierung von Regularisierungsverfahren.......... 54
3.2.1 Grundlagen........................... 54
3.2.2 Abstrakte Glattheit ...................... 56
3.2.3 Optimalität von Rekonstruktionsalgorithmen........ 58
3.3 Eine allgemeine Theorie linearer Regularisierungen....... 62
3.4 Das Diskrepanzprinzip....................... 71
3.5 Ein verallgemeinertes Diskrepanzprinzip............. 76
3.6 Heuristische ( e-freie ) Parameterstrategien........... 82
3.7 Übungsaufgaben.......................... 90
4 Tikhonov—Phillips-Regularisierung 93
4.1 Verallgemeinerte Tikhonov-Phillips-Regularisierung...... 93
4.2 Iterierte Tikhonov-Phillips-Regularisierung........... 101
4.3 Übungsaufgaben.......................... 104
Xl
5 Iterative Regularisierungen 106
5.1 Land web er-Verfahren .......................106
5.2
Semi-iterative
Verfahren......................115
5.2.1 Die zz-Methoden ........................119
5.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg-Verfahren) . . . 121
5.3.1 Herleitung............................122
5.3.2 Historische Herleitung des cg-
Ver
fahren...........126
5.3.3 cg-Polynome und ihre Orthogonalität ............128
5.3.4 Stabilität und Konvergenz...................132
5.3.5 Das Diskrepanzprinzip.....................137
5.3.6 Anzahl der Iterationen.....................146
5.4 Übungsaufgaben..........................149
6 Diskretisierung und Regularisierung 153
6.1 Projektionsverfahren........................153
6.1.1 Diskretisierung durch Projektions verfahr
en
.........153
6.1.2 Konvergenz von Projektionsverfahren ............156
6.1.2.1 Anwendung der Fehlerquadratmethode auf die
Symmsche Integralgleichung ............161
6.1.3 Regularisierung durch Projektionsverfahren.........163
6.1.3.1 Ein numerisches Experiment zur Fehlerquadrat¬
methode .......................166
6.2 Regularisierung von Projektionsverfahren............171
6.2.1 Ein Diskrepanzprinzip für lineare Verfahren.........173
6.2.2 Ein Diskrepanzprinzip für das cg-Verfahren.........182
6.2.3 Numerische Experimente ...................188
6.2.4 Gebrochene Potenzen von Operatoren: Normabschätzungen 190
6.3 Semi-diskrete Probleme: Die Approximative
Inverse
......195
6.3.1 Einführende Betrachtungen..................195
6.3.2 Konvergenz und Stabilität...................202
6.3.3 Anwendung der Approximativen
Inversen
auf die Tomogra¬
phie ...............................208
6.3.3.1 Konvergenz und Stabilität .............208
6.3.3.2 Algorithmus der gefilterten Rückprojektion .... 213
6.4 Übungsaufgaben..........................219
7 Nichtlineare schlecht gestellte Probleme 223
7.1 Lokale Schlechtgestelltheit.....................223
7.2
Fréchet-Differenzïerbarkeit
....................228
7.3 Charakterisierung nichtlinearer schlecht gestellter Probleme . . 232
7.4 Nichtlineare Tikhonov-Phillips-Regularisierung.........240
7.5 Iterative Methoden vom Newton-Typ..............247
7.5.1 Das nichtlineare Landweber-Verfahren............248
7.5.2 Regularisierungen vom Gauß-Newton-Typ..........249
xii Inhaltsverzeichnis
7.5.3 Inexakte Newton-Verfahren..................250
7.5.3.1
Termination
der repeat-Schleife..........252
7.5.3.2
Termination
der while-Schleife...........253
7.5.3.3 Konvergenz und Regularisierungseigenschaft . . . 263
7.5.3.4 Dynamische Steuerung der Toleranzen.......265
7.5.3.5 Numerische Experimente..............266
7.6 Übungsaufgaben..........................271
8 Anhang: Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis 275
8.1 Normierte Räume und lineare Abbildungen...........275
8.2 Drei Hauptsätze der Funktionalanalysis.............280
8.3 Innenprodukträume........................280
8.3.1 Orthogonalität und Orthogonalprojektoren.........283
8.3.2 Orthonormalbasen.......................284
8.3.3 Adjungierte Operatoren....................286
Literaturverzeichnis 288
Index 297
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