Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2004
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| Series: | Statistik und ihre Anwendungen
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Mengenbegriff 7
1.1.1 Relationen zwischen Mengen 8
1.1.2 Das kartesische Produkt 9
1.2 Elemente der Logik 9
1.2.1 Aussagen 10
1.2.2 Quantoren 12
1.2.3 Logische Argumente 13
1.3 Zahlsysteme und elementares Rechnen 18
1.3.1 Die natürlichen Zahlen 18
1.3.2 Die ganzen Zahlen 19
1.3.3 Die rationalen Zahlen (Bruchzahlen) 19
1.3.4 Die reellen Zahlen 20
1.4 Potenzen, Wurzeln 22
1.4.1 Motivation 22
1.4.2 Potenzen 22
1.4.3 Wurzeln 23
1.4.4 Lösen von Potenzgleichungen 23
1.4.5 Prozentrechnung, Rechnen mit Wachstumsraten 25
1.5 Kombinatorik 27
1.6 Reelle Zahlenfolgen 33
1.6.1 Motivation 33
1.6.2 Begriffsbildung 33
1.7 Reihen 36
1.7.1 Motivation 36
1.7.2 Summen (Endliche Reihen) 38
1.7.3 Unendliche Reihen 38
1.7.4 Die (endliche) geometrische Reihe 39
1.8 Funktionen und Abbildungen 40
1.8.1 Komposition von Funktionen 44
1.8.2 Umkehrfunktion 45
1.9 Stetigkeit 46
1.9.1 Motivation 46
1.9.2 Begriffsbildung 47
1.9.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 48
1.10 Exponentialfunktion 49
1.10.1 Definition 49
1.10.2 Eigenschaften 50
1.11 Kontinuierliches Wachstum 51
1.12 Der Logarithmus 52
1.12.1 Rechenregeln 53
2 Deskriptive Statistik
2.1 Grundbegriffe 57
2.2 Klassifikation von Variablen 58
2.3 Population und Stichprobe 59
2.4 Studiendesigns 60
2.4.1 Experiment versus Beobachtungsstudie 60
2.4.2 Fall Kontroll Design 61
2.4.3 Kohortenstudie 61
2.4.4 Querschnittsstudie versus Longitudinalstudie 61
2.4.5 Randomisierte Studien/Experimente 62
2.4.6 Vollständige Randomisierung ohne/mit Ausgleich, Schich¬
tenbildung 62
2.4.7 Probleme bei Beobachtungsstudien 63
2.5 Datenmatrix (Datenbasis) 64
2.6 Visualisierung empirischer Daten (I) 64
2.6.1 Nominale Daten 65
2.6.2 Metrische Daten 65
2.7 Quantifizierung der Gestalt empirischer Verteilungen 70
2.7.1 Lagemaße 70
2.7.2 Mittlerer Winkel 76
2.8 Streuung 77
2.8.1 Nominale/ordinale Merkmale: Wiener Shannon 77
2.8.2 Stichprobenvarianz und Standardabweichung 79
2.9 Quantile 81
2.10 Schiefe versus Symmetrie 82
2.11 Der Boxplot 83
2.12 QQ Plot (Quantildiagramm) 84
3 Differential und Integralrechnung
3.1 Motivation 91
3.2 Differenzierbarkeit 91
3.2.1 Erste Anwendungen 94
3.2.2 Ableitungsregeln 95
3.3 Höhere Ableitungen 97
3.4 Taylor Entwicklung 98
3.5 Optimierung von Funktionen 100
3.5.1 Notwendiges Kriterium 101
3.5.2 Monotoniekriterium 102
3.5.3 Hinreichendes Kriterium 1. Ordnung für Extrema 102
3.6 Krümmungsverhalten 103
3.6.1 Motivation 103
3.6.2 Konkav und konvex 103
3.6.3 Hinreichendes Kriterium 2. Ordnung für Extrema 105
3.6.4 Wendepunkte 105
3.7 Statistische Anwendungen der Optimierung 106
3.8 Partielle Ableitung 107
3.8.1 Optimierung 109
3.9 Motivation und Definition des Integrals 111
3.10 Hauptsatz der Integralrechnung 114
3.11 Integrationsregeln 115
3.11.1 Partielle Integration 115
3.11.2 Substitutionsregel 117
3.12 Integration empirischer Verlaufskurven 118
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4.1 Grundbegriffe 123
4.1.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit 123
4.1.2 Chancen (Odds) 126
4.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 128
4.1.4 Unabhängigkeit 130
4.1.5 Der Satz von Bayes 130
4.1.6 Zufallsvariablen und Zufallsstichproben 132
4.1.7 Bivariate diskrete Zufallsvariable 136
4.1.8 Bivariate stetige Zufallsvariable 139
4.1.9 Verteilungsfunktion, Quantiisfunktion und Überlebens¬
funktion 140
4.1.10 Erwartungswert und Varianz 142
4.2 Verteilungsmodelle 144
4.2.1 Binomialverteilung 145
4.2.2 Die geometrische Verteilung 147
4.2.3 Multinomialverteilung 149
4.2.4 Poissonverteilung 150
4.2.5 Exponentialverteilung 153
4.2.6 Logistische Verteilung 154
4.2.7 Normalverteilung 155
4.2.8 2 Verteilung 156
4.2.9 t Verteilung 158
4.2.10 F Verteilung 158
4.2.11 Cauchy Verteilung 158
4.2.12 Von Mises Verteilung 159
4.3 Grenzwertsätze und ihre Anwendung 160
4.3.1 Das Gesetz der großen Zahl 160
4.3.2 Der Zentrale Grenzwertsatz 161
5 Schließende Statistik
5.1 Das Likelihood Prinzip 169
5.1.1 Die Likelihood einer Zufallsstichprobe 173
5.2 Güte statistischer Schätzer 175
5.3 Konfidenzintervalle 181
5.3.1 Konfidenzintervall für ß 182
5.3.2 Konfidenzintervall für p 182
5.4 Experimente, Wahrscheinlichkeit und Entscheidungsver¬
fahren 183
5.5 1 Stichproben Tests 188
5.5.1 Motivation 189
5.5.2 Stichproben Modell 189
5.5.3 Gauß und t Test 189
5.5.4 Vorzeichentest und Binomialtest 199
5.5.5 Robustifizierter t Tests 201
5.6 2 Stichproben Tests 202
5.6.1 Verbundene Stichproben 203
5.6.2 Unverbundene Stichproben (2 Stichproben i Test) ... 204
5.6.3 Wilcoxon Test 211
5.6.4 2 Stichproben Binomialtest 213
5.7 Korrelation und Regression 215
5.7.1 Kovarianz und Korrelation 216
5.7.2 Test auf Korrelation 218
5.7.3 Rangkorrelation nach Spearman 219
5.7.4 Grenzen der Korrelationsrechnung 220
5.7.5 Lineares Regressionsmodell 221
5.7.6 Test der Regressionskoeffizienten 226
5.7.7 Grenzen der Regressionsrechnung 227
5.8 Analyse von Kontingenztafeln 228
5.8.1 für 2 x 2 Tafeln 228
5.8.2 Vergleich diskreter Verteilungen 229
5.8.3 Test auf Assoziation (Unabhängigkeitstest, Kreuzklas¬
sifikation) 231
5.8.4 Test auf Trend 234
5.8.5 Dreidimensionale Kontingenztafeln 236
5.9 Anpassungstests 241
5.9.1 Quantildiagramm 241
5.9.2 Kolmogorov Smirnov Test 242
5.9.3 Korrelationstests und Shapiro Wilk Test 242
5.9.4 2 Anpassungstest 245
5.10 Multiples Testen 247
5.10.1 Bonferroni Prozedur 248
5.10.2 Bonferroni Holm Prozedur 249
5.11 Varianzanalyse 250
5.11.1 Einfaktorielle Varianzanalyse 250
5.11.2 Multiple Paarvergleiche 253
5.11.3 Randomisiertes Blockdesign 258
5.11.4 Zweifaktorielle Varianzanalyse 261
5.12 Nichtparametrische Varianzanalyse 267
5.12.1 Kruskal Wallis Test (Einfaktorielles Design) 267
5.12.2 Friedman Test (Blockdesign) 269
5.13 Multiple lineare Regression 272
5.14 Logistische Regression 275
6 Populationsdynamik
6.1 Biologischer Hintergrund 279
6.2 Diskrete Populationsdynamik 279
6.2.1 Grundbegriffe 280
6.2.2 Exponentielles Wachstum 282
6.2.3 Proportionale Abnahme bei konstanter Zufuhr 283
6.2.4 Lösung 284
6.2.5 Ergänzung: Ein Modell mit verzögerten Variablen .... 286
6.2.6 Logistisches Wachstum 292
6.2.7 Stabilität von Gleichgewichten 296
6.3 Stetige Populationsdynamik 298
6.3.1 Motivation 298
6.3.2 Grundbegriffe 302
6.3.3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koef¬
fizienten 305
6.3.4 Lineare DGLs 1. Ordnung 306
6.3.5 Lineare DGLs 2. Ordnung 307
6.3.6 Logistisches Entwicklungsgesetz 308
6.3.7 Enzymkinetik: Michaelis Menten Theorie 310
7 Elemente der linearen Algebra
7.1 Motivation 321
7.2 Vektoren 323
7.3 Geraden und Ebenen 326
7.4 Längenmessung: Die Norm 326
7.5 Winkelmessung: Das Skalarprodukt 327
7.5.1 Skalarprodukt 327
7.5.2 Winkel 328
7.6 Matrizen und Gleichungssysteme 330
7.6.1 Motivation 330
7.6.2 Matrizen und Vektoren 331
7.6.3 Matrizenmultiplikation 331
7.6.4 Lösung von Gleichungssystemen 332
7.6.5 Wann ist ein Gleichungssystem lösbar? 334
7.6.6 Inverse Matrix 336
7.6.7 Drehungen 337
7.7 Entwicklungsmodelle in diskreter Zeit 338
7.7.1 Motivation 338
7.7.2 Gleichgewicht 339
7.7.3 Lösungsfolgen 340
7.8 Entwicklungsmodelle in stetiger Zeit 344
7.8.1 Lineare Systeme 344
7.8.2 Periodische Systeme 346
Anhang 349
A.l Normalverteilung 351
A.2 £ Verteilung 353
A.3 x2 Verteilung 355
A.4 F Verteilung 357
A.5 Studentisierte Spannweite 366
Literaturverzeichnis 369
Index 371
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