Numerische Näherungsverfahren für elliptische Randwertprobleme: finite Elemente und Randelemente
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Inhalt
Randwertprobleme 11
1.1 Potentialgleichung. 11
1.2 Lineare Elastostatik. 15
1.2.1 Ebene Elastizitätstheorie. 19
1.2.2 Inkompressibles Materialverhalten. 21
1.3 Stokes-System. 22
Funktionenräume 25
2.1 Die Räume
2.2 Verallgemeinerte Ableitungen und Sobolev-Räume. 28
2.3 Eigenschaften von Sobolev-Räumen. 31
2.4 Distributionen und Sobolev-Räume. 35
2.5 Sobolev-Räume auf Mannigfaltigkeiten. 41
Variationsmethoden 46
3.1 Operatorgleichungen. 46
3.2 Elliptische Operatoren. 50
3.3 Operatoren und Stabilitätsbedingungen. 52
3.4 Gleichungen mit Nebenbedingungen. 55
3.5 Sattelpunktprobleme. 57
Variationsformulierungen von Randwertproblemen 63
4.1 Potentialgleichung. 63
4.1.1 Dirichlet-Randwertproblem. 65
4.1.2 Diriehlet-Problem und Sattelpunkt-Formulierung. 68
4.1.3 Neumann-Randwertproblem. 70
4.1.4 Gemischte Randbedingungen . 73
4.1.5 Robin-Randbedingungen. 75
4.2 Lineare Elastostatik. 75
4.2.1 Dirichlet-Randwertproblem. 79
4.2.2 Neumann-Randwertproblem. 81
4.2.3 Gemischte Randbedingungen . 83
4.3 Stokes-Problem. 83
8 Inhalt
5 Fundamentallösungen partieller Differentialoperatoren 89
5.1 Laplace-Operator. 90
5.2 Lineare Elastostatik. 96
5.3 Stokes-Problem. 100
6 Randintegraloperatoren 106
6.1 Newton-Potential. 106
6.2 Einfachschichtpotential. 112
6.3 Adjungiertes Doppelschichtpotential. 114
6.4 Doppelschichtpotential. 118
6.5 Hypersingulärer Integraloperator . 121
6.6 Eigenschaften der Randintegraloperatoren. 130
6.6.1 Elliptizität des Einfachschichtpotentials. 132
6.6.2 Elliptizität des hypersingulären Integraloperators. 137
6.6.3
6.6.4 Kontraktionseigenschaft des Doppelschichtpotentials . 142
6.6.5 Abbildungseigenschaften. 146
6.7 Lineare Elastostatik. 149
6.8 Stokes-System. 158
7 Randintegralgleichungen 161
7.1 Dirichlet-Randwertproblem. 162
7.2 Neumann-Randwertproblem. 165
7.3 Gemischte Randbedingungen. 169
7.4 Robin-Randbedingungen. 171
7.5 Randwertprobleme im Außenraum . 172
8 Näherungsmethoden für Variationsprobleme 174
8.1 Galerkin-Bubnov-Verfahren. 174
8.2 Approximation der Linearform. 177
8.3 Approximation des Operators. 178
8.4 Galerkin-Petrov-Verfahren. 180
8.5 Sattelpunktprobleme. 182
9
9.1 Referenzelemente. 187
9.2 Formfunktionen. 195
9.3 Ansatzräume. 200
9.4 Quasi-Interpolationsoperatoren. 209
10 Randelemente 212
10.1 Referenzelemente. 212
10.2 Ansatzräume. 215
Inhalt 9
11
11.1 Dirichlet-Randwertproblem.226
11.2 Neumann-Randwertproblem.235
11.3
12 Randelementmethoden 245
12.1 Diriclüet-Randwertproblem. 245
12.2 Neumann-Randwertproblem. 256
12.3 Gemischte Randbedingungen. 263
12.4 Robin-Randbedingungen. 269
13 Vorkonditionierte Iterationsverfahren 271
13.1 Das Verfahren konjugierter Gradienten. 271
13.2 Eine allgemeine Vorkonditionierungsstrategie. 279
13.2.1 Eine Anwendung bei Randelementmethoden. 282
13.2.2 Eine Multilevel-Vorkonditionierung in der
13.3 Lösungsverfahren für Sattelpunktprobleme. 299
14 Schnelle Randelementmethoden 307
14.1 Hierarchische
14.2 Approximation der Steifigkeitsmatrix. 312
14.2.1 Darstellung mit Taylor-Reihen . 316
14.2.2 Reihendarstellung der Fundamentallösung. 320
14.2.3
14.3
15 Gebietszerlegungsmethoden 346
Literatur 353
Index 360 |
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