Schülerkonzepte zur analytischen Geometrie: mathematikhistorische, epistemologische und empirische Untersuchungen
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Hildesheim [u.a.]
Franzbecker
2003
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Inhalt
Einleitung 10
Teil 1
Historische Entwicklung, Curriculumentwicklung und didaktische Einzelfragen 16
1.1 Historische Entwicklung der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra 17
1.1.1 Entwicklung der klassischen Analytischen Geometrie 18
1.1.2 Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen 21
1.1.3 Entwicklung früher geometrischer Kalküle: Lkibniz, MÖBIUS, Bhllavitis 24
1.1.4 Von den komplexen Zahlen zu Hamiltons Quatcmionenkalkül 31
1.1.5 Entwicklung der Vektoranalysis aus dem Quatcrnionenkalkül 35
1.1.6 Ursprünge der Vektorraumtheorie bei Grassmann 36
1.1.7 Erste Axiomatisierungen der Vektorrauinstruktur durch PliANO und Wkyl 40
1.1.8 Etablierung des axiomatischen Vektorraumbegrit fs durch die
Funktionalanalysis 43
1.1.9 Beiträge der Körpertheorie zur Entwicklung der Linearen Algebra 46
1.1.10 Entwicklung der Linearen Algebra im 20. Jahrhundert 48
1.1.11 Zusammenfassung 50
1.2 Analytische Geometrie und Lineare Algebra in der Schulniathematik 50
1.2.1 Klassische Koordinatengeometrie 52
1.2.2 Einführung der Vektorrechnung in den Mathematikunterricht 52
1.2.3 Formal-axiomatischc Lineare Algebra 55
1.2.4 Gegenentwürfe zu einer formal-axiomatischen Linearen Algebra 57
1.2.5 Derzeitig gültige Lehrpläne 61
1.2.6 Aktuelle didaktische Diskussion 64
1.3 Didaktische Einzel fragen 66
1.3.1 Vektorbegriff 66
1.3.2 Skalarprodukt 74
1.3.3 Normalcngleichung einer Ebene 78
1.4 Ein Lehrgang zur Analytischen Geometrie 81
6 Inhalt
Teil 2
Schülerkonzepte und ihre Entstehung 85
2.1 Empirische Befunde zur Analytischen Geometrie 86
2.1.1 Internationaler Mathematikleistungstest TIMSS/II1 86
2.1.2 Schülerkonzepte zur Sekundarstufen-I-Geometrie 88
2.1.3 Schülerkonzepte und Dynamische Geometrie-Software (DGS) 95
2.1.4 Studierendenkonzepte zum Kurvenbegriff 96
2.1.5 Dokumentation der Lösung einer IClausuraufgabe 97
2.1.6 Schüler- und Studierendenkonzepte zum Vektorbegriff und zu vektorieller
Analytischer Geometrie 99
2.1.7 Schülerkonzepte zum Vektorbegriff in Mathematik und Physik 100
2.1.8 Schülerkonzepte zur Einführung des Vektorbegriffs 102
2.2 Untersuchung zum Vektorbegriff in Klasse 8 103
2.3 Untersuchung zum Vektorbegriff in der Sekundarstufe II 110
2.4 Befunde zum Lösen geometrischer Probleme 123
2.5 Verstehen im Mathematikunterricht 126
2.5.1 Verstehen als Prozess individueller Sinnkonstruktion 126
2.5.2 Beschreibungsmodell für Verstehensprodukte 128
2.5.3 Kriterien zur Evaluierung des Schülerverstehens 130
2.5.4 Schülerverstellen und unterrichtliches Sinnangebot 134
2.5.5 Verstehen und Verständnis 136
2.6 Erklärungsmodelle für die Entstehung individueller Konzepte 138
2.6.1 Schema-Theorien und Aufmerksamkeitsfokussierung 139
2.6.2 Beschreibungsmodell für Fehlerprozesse beim Lösen von Gleichungen 140
2.6.3 Mikroweiten und Subjektive Erfahrungsbereiche 143
2.6.4 Rahmung, Rahmungsdift erenzen und Modulation 148
Teil 3
Untersuchungszielc und -methoden 150
3.1 Methodologische Grundlagen 150
3.1.1 Forschungsparadigma und Forschungsmethode 151
3.1.2 Stellung der Theorie im Forschungsprozess und Prinzip der Offenheit 152
3.1.3 Theoriebildung und Grounded Theory 154
3.1.4 Personenzentrierte Fallstudien 156
3.1.5 Pädagogische Handlungs- oder Aktionsforschung 158
3.2 Präzisierung der Untersuchungsziele 159
Inhalt 7
3.3 Rahmenbedingungen und Untersuchungsverlauf 161
3.4 Interviewführung 164
3.4.1 Interviews zur Erfassung von Schülerkonzepten 164
3.4.2 Fokussiertc Interviews, Netzinterviews und Concept Mapping 167
3.4.3 Interviewleitfaden und Fragetechnik 171
3.5 Transkription der Interviews 175
3.6 Interpretation der Interviews 179
3.6.1 Vorüberlegungcn zur Interpretation 180
3.6.2 Vorgehen bei der Interpretation 181
3.6.3 Einordnung des Interpretationsverfahrens 185
3.7 Verlauf der Theoriebildung 186
Teil4
Personenzentrierte Fallstudicn 190
4.1 Fallstudie Martina 193
4.1.1 Mittelpunkt einer Strecke 193
4.1.2 Vektorbegriff 196
4.1.3 Parameterglcichung einer Geraden 199
4.1.4 Parameterglcichung einer Ebene 208
4.1.5 Normalenglcichung einer Ebene 210
4.1.6 Skalarprodukt 218
4.2 Fallstudie Ralf 222
4.2.1 Mittelpunkt einer Strecke 222
4.2.2 Vektorbegriff 226
4.2.3 Betrag eines Vektors und Skalarprodukt 230
4.2.4 Paramctergleichung einer Geraden 236
4.2.5 Parameterglcichung einer Ebene 248
4.2.6 Normalenglcichung einer Ebene 252
4.3 Fallstudie Sabine 257
4.3.1 Nornialengleichung einer Ebene 257
4.3.2 Parameterglcichung einer Ebene 263
4.3.3 Normalengleichung einer Ebene 270
4.3.4 Vektorbegriff 274
4.3.5 Mittelpunkt einer Strecke 281
4.3.6 Betrag eines Vektors 282
4.3.7 Skalarprodukt 288
_8 Inhalt
4.4 Fallstudie Wolfgang 289
4.4.1 Mittelpunkt einer Strecke 289
4.4.2 Vektorbegriff 292
4.4.3 Betrag eines Vektors 299
4.4.4 Parametergleichung einer Geraden 302
4.4.5 Parametergleichung einer Ebene 306
4.4.6 Normalengleichung einer Ebene 309
4.5 Fallstudie Christina 315
4.5.1 Mittelpunkt einer Strecke 316
4.5.2 Vektorbegriff 318
4.5.3 Parametergleichung einer Geraden 321
4.5.4 Parametergleichung und Normalengleichung einer Ebene 329
4.6 Fallstudie Helmut 336
4.6.1 Mittelpunkt einer Strecke 336
4.6.2 Vektorbegriff 339
4.6.3 Parametergleichung einer Geraden 345
4.6.4 Parametergleichimg einer Ebene 350
4.6.5 Normalengleichung einer Ebene 353
Teil 5
Kategorisierung von Schülerkonzepten und Diskussion von Einflussfaktoren 358
5.1 Sichtweisen von Analytischer Geometrie 359
5.1.1 Schülerkonzepte 359
5.1.2 Vorerfahrungen und Aufmerksamkeitsfokussierung 363
5.1.3 Visualisierungen 366
5.1.4 Einordnung in fachlich-epistemologische Kategorien 369
5.2 Vektorbegriff 371
5.2.1 Schülerkonzepte 371
5.2.2 Lernbiographien und curricularc Ausrichtung des Kurses 374
5.3 Parametergleichung einer Geraden 377
5.3.1 Schülerkonzepte 377
5.3.2 Funktionales Denken 381
5.3.3 Variablenbegriff 383
5.3.4 Aufmerksamkeitsfokussierung und Ziele von Zeichnungen 385
5.3.5 Orientierung an Standardaufgaben 388
5.4 Parametergleichung einer Ebene 389
Inhalt 9
5.5 Normalengleichimg einer Ebene 391
5.5.1 Schülerkonzepte 392
5.5.2 Algebraische Struktur der Normalcnglcichung 394
Teil 6
Rück- und Ausblick 396
6.1 Curriculare Folgerungen 396
6.1.1 Vektorbegriff 397
6.1.2 Lerninhalte der Analytischen Geometrie 400
6.2 Schülerkonzeptc als Forschungsgegenstand 403
6.2.1 Forschungsmethoden 403
6.2.2 Forschungsfragen 404
Literatur 405
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