Lineare Algebra und analytische Geometrie:
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| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2003
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| Edition: | 4., erg. und aktualisierte Aufl., 1., korrigierter Nachdr. |
| Series: | Springer-Lehrbuch : Grundwissen Mathematik
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Teil
Kapitel 1. Vektorräume............................. 1
§ 1. Der Begriffeines Vektorraumes..................... !
1. Vorbemerkung 2. Vektorräume 3. Unterräume 4. Geraden 5. Das Standard¬
beispiel K 6. Geometrische Deutung 7. Anlange einer Geometrie im R2
§ 2*. Über den Ursprung der Vektorräume.................. 10
1. Die GRASsMANNsche Ausdehnungslehre 2. Grassmann: Übersicht über die
allgemeine Formenlehre 3. Extensive Größen als Elemente eines Vektorraumes
4. Reaktion der Mathematiker 5. Der moderne Vektorraumbegriff
§ 3. Beispiele von Vektorräumen....................... 15
1. Einleitung 2. Reelle Folgen 3. Vektorräume von Abbildungen 4. Stetige
Funktionen 5. Reelle Polynome 6 . Reell-analytische Funktionen 7*. Lineare
Differentialgleichungen
Vektorräume
§ 4. Elementare Theorie der Vektorräume.................. 20
1. Vorbemerkung 2. Homogene Gleichungen 3. Erzeugung von Unterräumen
4. Lineare Abhängigkeit 5. Der Begriff einer Basis 6. Die Dimension eines
Vektorraums 7. Der Dimensions-Satz 8*. Der Basis-Satz für beliebige Vektor¬
räume 9*. Ein Glasperlen-Spiel
i; 5. Anwendungen............................... 30
1. Die reellen Zahlen als Vektorraum über <Q 2. Beispiele 3. Der Rang einer
Teilmenge 4. Anwendung auf lineare Gleichungssysteme
í
1. Einleitung 2. Definition und einfachste Eigenschaften 3. Kern und Bild 4. Die
Dimensionsformel für Homomorphismen 5. Äquivalenz-Satz für Homomor¬
phismen 6. Der Rang eines Homomorphismus 7. Anwendung auf homogene
lineare Gleichungen 8. Beispiele 9*. Die Funktionalgleichung fix + >■) =
Д.Х)
§ 7*. Linearformen und der
I
4. Der Dual-Raum S. Linearformen des Vektorraums der stetigen Funktionen
§ 8*. Direkte Summen und Komplemente.................. 48
I.
Summen 4. Die Bild-Kern-Zerlegung
X
Kapitel 2. Matrizen............................... 52
§ 1. Erste Eigenschaften............................ 52
1. Der Begriff einer Matrix 2. Über den Vorteil von Doppelindizes
3.
5. Spalten- und Zeilenrang 6. Elementare Umformungen 7. Die Rangglei¬
chung 8. Kästchenschreibweise und Rangberechnung 9. Zur Geschichte des
Rang-Begriffes
§ 2. Matrizenrechnung............................. 62
1. Arthur Cayley oder die Erfindung der Matrizenrechnung 2. Produkte von
Matrizen 3. Produkte von Vektoren 4. Homomorphismen zwischen Standard-
Räumen 5. Erntezeit 6. Das Skalarprodukt 7*. Rang
nung
§ 3. Algebren.................................. 70
1. Einleitung 2. Der Begriff einer Algebra 3. Invertierbare Elemente 4. Ringe
5. Beispiele
§ 4. Der Begriff einer Gruppe......................... 73
1. Halbgruppen 2. Gruppen 3. Untergruppen 4. Kommutative Gruppen
5. Homomorphismen 6. Normalteiler 7. Historische Bemerkungen
§ 5. Matrix-Algebren............................. 79
1. Mat(n ; K) und GL(n K)2. Der Äquivalenz-Satz für invertierbare Matrizen
3. Die Invarianz des Ranges 4. Spezielle invertierbare Matrizen 5*. Zentrali¬
sator und Zentrum 6. Die Spur einer Matrix 7. Die Algebra
§ 6. Der Normalformen-Satz......................... 86
1. Elementar-Matrizen 2. Zusammenhang mit elementaren Umformungen
3. Anwendungen 4*. Die WEYR-FROBENius-Ungleichungen 5. Aufgaben zum
Normalformen-Satz 6. Zur Geschichte des Normalformen-Satzes
§ 7. Gleichungssysteme............................ 89
1. Erinnerung an lineare Gleichungen 2. Wiederholung von Problemen und
Ergebnissen 3. Der Fall
5. Lösungsverfahren 6. Basiswechsel in Vektorräumen
§ 8*.
1. Motivation 2. Der Begriff des Pseudo-Inversen 3. Ein Kriterium für
Gleichungssysteme 4. Zerlegung in eine direkte Summe
Kapitel 3. Determinanten............................ 98
§ 1. Erste Ergebnisse über Determinanten.................. 98
1. Eine Motivation 2. Determinanten-Funktionen 3. Existenz 4. Eigenschaften
5. Anwendungen auf die Gruppe GL(n ; K) 6. Die CRAMERSche Regel
§ 2. Das
1. Vorbemerkung 2. Die Entwicklungs-Sätze 3. Die komplementäre Matrix
4. Beschreibung des
§ 3. Existenzbeweise.............................. 109
1. Durch Induktion 2. Permutationen 3. Die LEiBNizsche Formel 4. Permuta¬
tionsmatrizen 5. Ein weiterer Existenzbeweis
§ 4. Erste Anwendungen........................... 112
1. Lineare Gleichungssysteme 2. Zweidimensionale Geometrie 3. Lineare
Abhängigkeit 4. Rangberechnung 5. Die Determinanten-Rekursionsformel
6. Das charakteristische Polynom 7*. Mehrfache Nullstellen von Polynomen
8*. Eine Funktionalgieichung 9. Orientierung von Vektorräumen
Inhaltsverzeichnis
§ 5. Symmetrische Matrizen.......................... 121
ł
Ergänzung 4. Die JACOBische Normalform 5. Normalformen-Satz 6*. Träg¬
heits-Satz
§ 6. Spezielle Matrizen............................ 126
1. Schiefsymmetrische Matrizen 2. Die VANDERMONDESche Determinante
3. Bandmatrizen 4. Aufgaben
§ 7. Zur Geschichte der Determinanten................... 128
1. Gottfried Wilhelm
Teil B. Analytische Geometrie
Kapitel 4. Elementar-Geometrie in der Ebene................. 130
Der pythagoreische Lehrsatz........................... 130
§ 1. Grundlagen................................ 131
1. Skalarprodukt, Abstand und Winkel 2. Die Abbildung
4. Schnittpunkt zwischen zwei Geraden 5. Abstand zwischen Punkt und Gerade
6. Fläche eines Dreiecks 7. Der Höhenschnittpunkt
§ 2. Die Gruppe 0(2)............................. 137
1. Drehungen und Spiegelungen 2. Orthogonale Matrizen 3. Bewegungen 4. Ein
Beispiel 5. Die Hauptachsen
7. Die beiden Orientierungen der Ebene
§ 3. Geometrische Sätze............................ 141
1. Der Kreis 2. Tangente 3. Die beiden Sehnensätze 4. Der Umkreis eines
Dreiecks 5. Die EuLER-Gerade 6. Der FEUERBACH-Kreis 7. Das Mittendreieck
Kapitel 5. Euklidische Vektorräume...................... 148
§ 1. Positiv
I.
4. Positiv
6. Normierte Vektorräume
§ 2. Das Skalarprodukt............................ 155
1. Der Begriff eines euklidischen Vektorraumes 2. Winkelmessung 3. Orthonor-
malbasen 4. Basisdarstellung 5. Orthogonales Komplement und orthogonale
Summe 6. Linearformen
§ 3. Erste Anwendungen........................... 162
1. Positiv
Gleichungen 4. Ein Kriterium für gleiche Orientierung 5*. LEGENDRE-Polynome
§4. Geometrie in euklidischen Vektorräumen................ 165
1. Geraden 2. Hyperebenen 3. Schnittpunkt von Gerade und Hyperebene
4. Abstand von einer Hyperebene 5*. Orthogonale Projektion 6*. Abstand
zweier Unterräume 7*. Volumenberechnung 8*. Duale Basen
§ 5. Die orthogonale Gruppe......................... 172
1. Bewegungen 2. Spiegelungen 3. Die Transitivität von 0{V,o) auf Sphären
4*. Die Erzeugung von O(V,a) durch Spiegelungen 5*. Winkeltreue Ab¬
bildungen
§6. Vermischte Aufgaben........................... 177
XII Inhaltsverzeichnis
Kapitel
§ 1. Der
1. Der euklidische Vektorraum R 2. Orthogonale Matrizen 3. Die Gruppe
0(n) 4. Spiegelungen 5. Erzeugung von O(n) durch Spiegelungen 6*. Drehungen
7. Anwendung der Determinanten-Theorie 8*. Eine Parameterdarstellung
9. Euler, Cauchy, Jacobi und Cayley
§ 2. Die Hauptachsentransformation..................... 187
1. Problemstellung 2. Der Vekiorraum der symmetrischen Matrizen 3. Positiv
semi-definite
die Hauptachsentransformation 6. Eigenwerte 7. Eigenräume
§ 3. Anwendungen............................... 195
1. Vorbemerkung 2. Positiv
4*. Der Quadratwurzel-Satz 5*. Polar-Zerlegung 6*. Orthogonale Normalform
7*. Das MooRE-PENROSE-Inverse
§ 4*. Topologische Eigenschaften....................... 201
1. Zusammenhang 2. Kompaktheit 3. Hauptachsentransformation
Kapitel 7. Geometrie im dreidimensionalen Raum............... 204
§ 1. Das Vektorprodukt............................ 204
1. Definition und erste Eigenschaften 2. Zusammenhang mit Determinanten
3. Geometrische Deutung 4. Ebenen 5. Parallelotope 6. Vektorrechnung im
Anschauungsraum
§ 2*. Sphärische Geometrie.......................... 210
1. Über den Ursprung der Sphärik 2. Das sphärische Dreieck 3. Das
Polardreieck 4. Entfernung auf der Erde
íj
1. Beschreibung durch das Vektorprodukt 2. Erzeugung durch Drehungen
3. Spiegelungen 4. Fix-Geraden 5. Die
7*. Die EuLERsche Formel 8*. Drehungen um eine Achse
§ 4. Bewegungen................................ 222
1. Fixpunkte 2. Bewegungen mit Fixpunkt 3. Schraubungen
Teil C. Lineare Algebra
Kapitel 8. Polynome und Matrizen....................... 225
§ 1. Polynome................................. 225
1. Der Vektorraum Pol
Hauptidealring 5*. Unbestimmte
§ 2. Die komplexen Zahlen.......................... 230
1. Der Körper <T der komplexen Zahlen 2. Konjugation und Betrag 3. Der
Fundamentaisatz der Algebra
§ 3. Struktursatz für zerfallende Matrizen.................. 232
1. Der Begriff der Diagonalisierbarkeit 2. Das charakteristische Polynom
3. Äquivalenz-Satz für Eigenwerte 4. Nilpotente Matrizen 5. Idempotente
Matrizen 6. Zerfallende Matrizen 7. Diagonalisierbarkeits-Kriterium 8*. Ein
Beispiel zum Struktur-Satz 9*. Elementarsymmetrische Funktionen und Po¬
tenzsummen
Inhaltsverzeichnis XIII
§4. Die Algebra K[Ä ............................ 242
L
5. Das Rechnen mit Kästchen-Diagonalmatrizen 6. Satz von Cayley 7. Äqui¬
valenz-Satz für Diagonalisierbarkeit 8. Spektralscharen 9. Eigenräume
§ 5. Die JORDAN-CHEVALLEY-ZerlegUng.................... 251
1. Existenz-Satz 2. Summen von diagonalisierbaren Matrizen 3. Die Ein¬
deutigkeit 4. Anwendungen
§ 6. Normalformen reeller und komplexer Matrizen............ 254
1. Normalformen komplexer Matrizen 2. Reelle und komplexe Matrizen
3*. Hermitesche Matrizen 4. Invariante Unterräume 5. Die Stufenform 6. Der
Satz über die Stufenform 7. Orthogonale Matrizen 8. Schiefsymmetrische
Matrizen 9*. Normale Matrizen
§ 7*. Der höhere Standpunkt......................... 261
1. Einfache und halbeinfache Algebren 2. Kommutative Algebren 3. Die
Struktursätze 4. Die weitere Entwicklung 5. Der
Kapitel 9. Homomorphismen von Vektorräumen................ 264
§ 1. Der Vektorraum Hom(F,
1. Der Vektorraum Abb(M,
3. Mat(m, n K) als Beispiel 4. Verknüpfungen von Hom(K,
Hom(F ,
§ 2. Beschreibung der Homomorphismen im endlich-dimensionalen Fall. 266
1. Isomorphie mit Standard-Räumen 2. Darstellung der Homomorphismen
3. Basiswechsel 4. Die Algebra
multiplikation in Mat(n;K) 7. Polynome
§ 3. Euklische Vektorräume.......................... 270
1. Der Satz über die Hauptachsentransformation 2. Spiegelungen 3 . Unitäre
Vektorräume
§ 4. Der Quotientenraum........................... 273
1. Einleitung 2. Nebenklassen 3. Der Satz über den Quotientenraum 4. Der Satz
über den kanonischen Epimorphismus 5. Kanonische Faktorisierung
6. Anwendungen 7. Beispiele
§ 5*. Nilpotente Endomorphismen...................... 276
1. Problemstellung 2. Zyklische Unterräume 3. Der Struktur-Satz 4. Nilzykli¬
sche Matrizen 5. Die
7. Anwendungen auf Differentialgleichungen
Literatur..................................... 28t
Namenverzeichnis................................ 282
Sachverzeichnis................................. 284
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| spelling | Koecher, Max 1924-1990 Verfasser (DE-588)117714291 aut Lineare Algebra und analytische Geometrie Max Koecher 4., erg. und aktualisierte Aufl., 1., korrigierter Nachdr. Berlin [u.a.] Springer 2003 XIII, 291 S. Ill., graph. Darst. txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Springer-Lehrbuch : Grundwissen Mathematik Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Lehrbuch Lineare Algebra (DE-588)4035811-2 gnd rswk-swf Analytische Geometrie (DE-588)4001867-2 gnd rswk-swf (DE-588)4123623-3 Lehrbuch gnd-content Lineare Algebra (DE-588)4035811-2 s DE-604 Analytische Geometrie (DE-588)4001867-2 s Digitalisierung UB Regensburg application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=010220921&sequence=000002&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis |
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