Holdings: Numerische Mathematik

Numerische Mathematik: Vorlesungen, Übungen, Algorithmen und Programme

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Bibliographic Details
Main Author:	Neundorf, Werner 1948- (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Aachen Shaker 2002
Series:	Berichte aus der Mathematik
Subjects:	Numerische Mathematik Lehrbuch
Online Access:	Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	XII, 788 S. graph. Darst.
ISBN:	3832210016

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 1 NUMERISCHES RECHNEN 1 1.1 COMPUTERZAHLEN . 1 1.2 GLEITPUNKTARITHMETIK . 6 1.2.1 RUNDUNG . 6 1.2.2 MASCHINENGENAUIGKEIT . 7 1.2.3 GLEITPUNKTOPERATIONEN . 8 1.3 NUMERISCHES VERFAHREN . 10 1.3.1 FEHLERANALYSE UND KONDITIONSZAHL . 11 1.3.2 FEHLER NUMERISCHER VERFAHREN . 14 1.3.3 FEHLER MEHRSTUFIGER VERFAHREN . 18 2 VEKTOREN, MATRIZEN, NORM UND KONDITION 19 2.1 VEKTOREN UND MATRIZEN . 19 2.2 NORM . 25 2.2.1 VEKTORNORM . 25 2.2.2 MATRIXNORM . 27 2.3 KONDITION . 30 2.3.1 BEDEUTUNG DER KONDITION . 30 2.3.2 KONDITION UND KONDITIONSZAHL EINER MATRIX . 31 2.3.3 ANWENDUNG DER KONDITIONSZAHL AUF LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 32 2.3.4 WEITERE EIGENSCHAFTEN DER KONDITIONSZAHL . 32 2.3.5 FEHLERSCHAETZUNGEN MIT RUECKWAERTSANALYSE . 33 2.3.6 SCHAETZUNGEN DER KONDITIONSZAHL . 36 3 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 38 3.1 EINFUEHRUNG . 38 3.2 AUSTAUSCHALGORITHMUS . 41 VI INHALTSVERZEICHNIS 3.3 DIREKTE VERFAHREN . 49 3.3.1 ELIMINATIONSVERFAHREN UND MATRIXZERLEGUNG . 49 3.3.2 KOMPLEXITAET . 50 3.3.3 GAUSS-REDUKTION OHNE PIVOTISIERUNG . 51 3.3.4 VERKETTETER GAUSS-ALGORITHMUS . 55 3.3.5 LV-FAKTORISIERUNG OHNE PIVOTISIERUNG . 57 3.3.6 CHOLESKY-VERFAHREN . 58 3.4 PIVOTSTRATEGIEN UND SKALIERUNG . 61 3.4.1 SPALTENPIVOTISIERUNG MIT ZEILENVERTAUSCHUNG . 61 3.4.2 EXPLIZITE ZEILENSKALIERUNG . 62 3.4.3 IMPLIZITE ZEILENSKALIERUNG . 63 3.4.4 PIVOTSTRATEGIEN . 68 3.4.5 SKALIERUNG . 69 3.4.6 SKALIERUNGSVARIANTEN . 70 3.5 MATRIXFAKTORISICRUNG MIT BEISPIELEN . 74 3.6 ITERATIVE VERFAHREN . 79 3.6.1 ALLGEMEINE ITERATIONSFORM . 79 3.6.2 BASISVERFAHREN . 80 3.6.3 WEITERE ITERATIONSVERFAHREN . 99 3.7 ABSTIEGSVERFAHREN . 106 3.7.1 GRADIENTENVERFAHREN . 106 3.7.2 VERFAHREN DER KONJUGIERTEN GRADIENTEN . 109 3.8 MODELLPROBLEM MIT VERGLEICH VON ITERATIONSVERFAHREN . 112 3.9 TESTMATRIZEN UND LGS . 117 4 EIGENWERTPROBLEM UND SINGULAERWERTZERLEGUNG 121 4.1 DEFINITIONEN UND GRUNDLAGEN . 121 4.1.1 EIGENSCHAFTEN DER EIGENWERTE; . 122 4.1.2 EIGENSCHAFTEN VON MATRIZEN IN BEZUG AUF EIGENWERTE . 125 4.1.3 EIGENSCHAFTEN VON EIGENVEKTOREN . 128 4.1.4 EIGENWERTPROBLEME IN DER PRAXIS . 129 4.2 VERFAHREN ZUR LOESUNG DES EIGENWERTPROBLCMS . 129 4.2.1 KLASSIFIZIERUNG DER NUMERISCHEN VERFAHREN . 129 4.2.2 UEBERSICHT ZU VERFAHREN . 130 4.3 VEKTORITERATION . 134 4.3.1 BASISALGORITHMUS DER VEKTORITERATION . 134 INHALTSVERZEICHNIS VII 4.3.2 KONVERGENZVERBESSERUNG . 137 4.3.3 SONDERFAELLE . 141 4.3.4 BERECHNUNG DER NAECHSTEN EIGENWERTE . 147 4.3.5 WEITERE BEISPIELE . 155 4.4 INVERSE VEKTORITERATION . 157 4.5 SIMULTANE VEKTORITERATION . 157 4.5.1 AUSGANGSPROBLEM . 158 4.5.2 DIAGONALISIERUNG BEI MEHRFACHEN EIGENWERTEN . 158 4.5.3 ORTHONORMIERUNG NACH CHOLESKY . 160 4.5.4 LOESUNG DES EWP AX = XX . 161 4.5.5 PARTIELLE LOESUNG DES EWP AX = XA . 162 4.5.6 VERBESSERUNGEN DER SIMULTANEN VEKTORITERATION . 163 4.6 AHNLICHKEITSTRANSFORMATION, ORTHOGONAL UND ELEMENTARMATRIZEN . . . 174 4.6.1 SPEZIELLE ORTHOGONALMATRIZEN . 178 4.6.2 ELEMENTARMATRIZEN . 182 4.7 QR-FAKTORISIERUNG . 185 4.7.1 QR-FAKTORISIERUNG UND GRAM-SCHMIDT-VERFAHREN . 185 4.7.2 QR-FAKTORISIERUNG MIT GIVENS-ROTATIONEN . 188 4.7.3 QR-FAKTORISIERUNG MIT HOUSEHOLDER-REFLEXIONEN . 191 4.8 JACOBI-VERFAHREN . 193 4.8.1 KLASSISCHES JACOBI-VERFAHREN . 193 4.8.2 ZYKLISCHES JACOBI-VERFAHREN . 200 4.8.3 NACHBESSERUNG DES JACOBI-VERFAHRENS . 205 4.8.4 HYPERMATRIX-VERSION DES JACOBI-VERFAHRENS . 209 4.8.5 VERALLGEMEINERTES JACOBI-VERFAHREN . 211 4.9 EIGENWERTPROBLEM MIT ORTHOGONALISIERUNGSVERFAHREN . 218 4.9.1 QR VERFAHREN . 218 4.9.2 QR-VERFAHREN ALS ZWEISTUFEN-VERFAHREN . 227 4.9.3 GIVENS-VERFAHREN . 232 4.9.4 HOUSEHOLDER-VERFAHREN . 235 4.9.5 METHODE VON LANCZOS . 239 4.9.6 HESSENBERG-VERFAHREN . 245 4.10 EIGENWERTPROBLEM FUER TRIDIAGONALMATRIZEN . 259 4.10.1 VARIANTEN ZUR BERECHNUNG EINES EIGENWERTS . 260 4.11 SINGULAERWERTZERLEGUNG . 265 VIII INHALTSVERZEICHNIS 4.11.1 ALGORITHMUS DER SINGULAERWERTZERLEGUNG . 267 4.11.2 BEISPIELE . 269 4.11.3 SINGULAERWERTZERLEGUNG UND KLEINSTE-QUADRATE-METHODE . 274 4.12 ALLGEMEINE EIGENWERTPROBLEME . 279 4.13 TESTMATRIZEN ZUM EIGENWERTPROBLEM . 281 5 NICHTLINEARE GLEICHUNGEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 289 5.1 ALLGEMEINES ITERATIONSVERFAHREN . 289 5.2 SPEZIELLE ITERATIONSVERFAHREN . 297 5.3 EINSCHACHTELUNGSVERFAHREN . 300 5.4 VERFAHREN HOEHERER ORDNUNG . 302 5.4.1 VERFAHREN MITTELS TAYLOR-REIHE DER FUNKTION . 302 5.4.2 VERFAHREN MITTELS TAYLOR-REIHE DER INVERSEN FUNKTION . 305 5.4.3 FEHLERABSCHAETZUNG . 306 5.5 NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME . 309 5.5.1 ALLGEMEINES ITERATIONSVERFAHREN . 309 5.5.2 NEWTON-VERFAHREN FUER SYSTEME . 310 5.5.3 KONVERGENZ DES NEWTON-VERFAHRENS . 312 6 POLYNOME, INTERPOLATION, SPLINES UND DIFFERENTIATION 315 6.1 POLYNOME . 315 6.1.1 EINFACHES HORNER-SCHEMA . 315 6.1.2 VOLLSTAENDIGES HORNER-SCHEMA . 316 6.1.3 INVERSES HORNER-SCHEMA . 317 6.2 ALLGEMEINES INTERPOLATIONSPROBLCM . 319 6.3 POLYNOMINTERPOLATION IM R 1 . 319 6.3.1 LAGRANGE-INTERPOLATION . 322 6.3.2 KONDITION DER INTERPOLATION . 325 6.3.3 NEWTON-INTERPOLATION . 333 6.3.4 POLYNOMWERTBERECHNUNG . 343 6.4 HERMITE-INTERPOLATION . 345 6.4.1 BESTIMMUNG DES HERMITE-INTERPOLATIONSPOLYNOMS . 346 6.4.2 ALLGEMEINE REFERENZ . 349 6.4.3 KUBISCHE HERMITE-BASIS . 350 6.5 FEHLER UND KONVERGENZ . 352 6.5.1 FEHLERFORTPFIANZUNG IN SCHEMATA . 352 INHALTSVERZEICHNIS IX 6.5.2 KONVERGENZ DER INTERPOLATION . 352 6.5.3 KONVERGENZSAETZE . 354 6.5.4 BEMERKUNGEN ZUR WAHL DER TSCHEBYSCHEFF-REFERENZ . 356 6.6 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION . 358 6.6.1 UEBERSICHT UND MERKMALE . 358 6.6.2 KOMPLEXE UND REELLE TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION . 361 6.6.3 DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION . 366 6.7 SPLINEINTERPOLATION IM R 1 . 375 6.7.1 EINFACHE TYPEN VON SPLINES . 376 6.7.2 KUBISCHE SPLINES . 381 6.7.3 B-SPLINES . 385 6.7.4 KRUEMMUNG EINER KURVE . 400 6.7.5 PARAMETRISCHE SPLINES ZUR KURVENDARSTELLUNG . 403 6.8 DIFFERENTIATION . 404 7 ORTHOGONALE FUNKTIONENSYSTEME UND TERMREKURSION 406 7.1 ORTHOGONALE POLYNOME . 406 7.1.1 LEGENDRE-POLYNOME . 407 7.1.2 TSCHEBYSCHEFF-POLYNOME 1. ART . 410 7.1.3 HERMITE-POLYNOME . 419 7.1.4 LAGUCRRE-POLYNOME . 422 7.1.5 GAUSS-JACOBI-POLYNOME . 425 7.1.6 BESSEL-FUNKTIONEN . 425 7.2 TERMREKURSION . 428 7.2.1 ZWEI-TERM-REKURSION . 429 7.2.2 DREI-TERM-REKURSION . 430 7.3 ORTHOGONALITAET UND DRCI-TERM-REKURSION . 433 7.3.1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN . 434 7.3.2 HOMOGENE UND INHOMOGENE REKURSION . 437 7.3.3 NUMERISCHE ASPEKTE . 439 7.3.4 ALLGEMEINE ADJUNGIERTE SUMMATION . 442 8 APPROXIMATION, AUSGLEICHSRECHNUNG UND FOURIER-ANALYSE 444 8.1 APPROXIMATIONSARTEN IM UEBERBLICK . 444 8.1.1 INTERPOLATION . 444 8.1.2 ENTWICKLUNG IN FUNKTIONENREIHEN . 445 X INHALTSVERZEICHNIS 8.1.3 APPROXIMATION IN LINEAREN NORMIERTEN RAEUMEN . 447 8.2 DISKRETE APPROXIMATION IM MITTEL . 453 8.2.1 DIE METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE . 453 8.2.2 AUSGLEICH DURCH POLYNOME IM R 1 . 460 8.2.3 NICHTLINEARER AUSGLEICH . 465 8.2.4 AUSGLEICH DURCH LINEARE FUNKTIONEN IM R" . 468 8.3 STETIGE APPROXIMATION IM MITTEL . 470 8.3.1 NORM UND QUASINORM . 470 8.3.2 LINEARES APPROXIMATIONSPROBLEM . 470 8.3.3 APPROXIMATION IM MITTEL MIT ORTHOGONALSYSTEMEN . 477 8.3.4 APPROXIMATION IM MITTEL MIT TRIGONOMETRISCHEN POLYNOMEN . 485 8.3.5 DAS FALTUNGSSCHEMA VON RUNGE . 491 8.3.6 DIE SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION . 502 8.4 GLEICHMAESSIGE STETIGE APPROXIMATION . 509 8.4.1 DAS VERFAHREN VON REMEZ . 514 8.5 GLEICHMAESSIGE DISKRETE APPROXIMATION . 518 8.6 ZUR APPROXIMATION VON ABLEITUNGEN . 524 9 NUMERISCHE INTEGRATION 527 9.1 NUMERISCHE INTEGRATION IM R 1 . 527 9.1.1 GRUNDLAGEN . 527 9.1.2 BERECHNUNG VON INTEGRATIONSKNOTEN UND -GEWICHTEN . 531 9.1.3 GENAUIGKEIT DER INTEGRATION UND FEHLERABSCHAETZUNGEN . 533 9.2 NEWTON-COTES-FORMELN . 538 9.2.1 ABGESCHLOSSENE NEWTON-COTES-FORMELN . 538 9.2.2 HALBABGESCHLOSSENE NEWTON-COTES-FORMELN . 552 9.2.2 OFFENE NEWTON-COTES-FORMELN . 554 9.3 TSCHEBYSCHEFF-FORMELN . 560 9.3.1 EINFACHSTE TSCHEBYSCHEFF-FORMELN . 560 9.3.2 UEBERSICHTEN . 563 9.3.3 ZUR BESTIMMUNG DES POLYNOMS UND FEHLERS . 566 9.4 GAUSS-LEGENDRE-FORMELN . 568 9.4.1 UEBERSICHT ZU DEN GAUSS-LEGENDRE-FORMELN . 572 9.4.2 ZUR EXPLIZITEN BERECHNUNG DER GEWICHTE . 573 9.4.3 EINFACHE GAUSS-LEGENDRE-FORMELN . 577 9.4.4 BEISPIELE . 578 INHALTSVERZEICHNIS XI 9.5 HERMITE-INTEGRATION . 583 9.5.1 INTERPOLATIONSQUADRATUR VON HERMITE . 583 9.6 DIE FORMELN VON GAUSS-CHRISTOFFEL . 589 9.6.1 GAUSS-LEGENDRE-QUADRATUR . 593 9.6.2 GAUSS-TSCHEBYSCHEFF-QUADRATUR (1. ART) . 594 9.6.3 GAUSS-HERMITE-QUADRATUR . 597 9.6.4 GAUSS-LAGUERRE-QUADRATUR . 599 9.6.5 ZUR PRAKTISCHEN BERECHNUNG VON KNOTEN UND GEWICHTEN . . . 601 9.7 ZUSAMMENGESETZTE QUADRATURFORMELN . 603 9.7.1 GRUNDLAGEN . 603 9.7.2 ZUSAMMENGESETZTE NEWTON-COTES-FORMELN . 607 9.7.3 FEHLERSCHAETZUNG NACH DEM RUNGE-PRINZIP . 610 9.7.4 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN QUADRATURFORMELN . 613 9.7.5 ZUSAMMENGESETZTE GAUSS-LEGENDRE-FORMELN . 622 9.7.6 VERGLEICH DER FORMELTYPEN . 626 9.8 EXTRAPOLATION UND ROMBERG-VERFAHREN . 630 9.8.1 QUADRATURFEHLER UND EXTRAPOLATION DER TRAPEZREGEL . 630 9.8.2 DAS ROMBERG-VERFAHREN . 632 9.8.3 ALLGEMEINE EXTRAPOLATIONSMETHODEN . 641 9.8.4 ADAPTIVE QUADRATUREN . 645 9.9 AUFGABEN UND BEISPIELE . 660 9.9.1 UEBERSICHT ZU QUADRATURFORMELN . 660 9.9.2 ANWENDUNGEN . 661 9.9.3 TESTBEISPIELE FUER QUADRATURFORMELN . 666 A UEBUNGSAUFGABEN 668 A.L SER.L - NUMERISCHES RECHNEN . 668 A.2 SER.2 - VEKTOREN, MATRIZEN, NORM UND KONDITION . 670 A.3 SER. 3 - LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME . 673 A.4 SER.4 - EIGENWERTPROBLEM UND SINGULAERWERTZERLEGUNG . 688 A.5 SER.5 - NICHTLINEARE GLEICHUNGEN UND GLEICHUNGSSYSTEME . 697 A.6 SER. 6 - POLYNOME, INTERPOLATION, SPLINES UND DIFFERENTIATION . 710 A.7 SER.7 - ORTHOGONALE FUNKTIONENSYSTEME UND TERMREKURSION . 732 A.8 SER. 8 - APPROXIMATION, AUSGLEICHSRECHNUNG UND FOURIER-REIHEN . 735 A.9 SER. 9 - NUMERISCHE INTEGRATION . 745 XII INHALTSVERZEICHNIS B PROGRAMME IN TURBO PASCAL 761 C ARBEITSBLAETTER IN MATLAB UND MAPLE 763 C.L MATLAB . 763 C.2 MAPLE . 764 D PROGRAMMSYSTEME ZUR NUMERIK 767 D.L NUMI2 . 767 D.2 MAYA . 768 LITERATURVERZEICHNIS 769 SYMBOLVERZEICHNIS 775 AKRONYME UND ABKUERZUNGEN 780 INDEX 782
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