Komplexitätstheorie: Grenzen der Effizienz von Algorithmen
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Berlin [u.a.]
Springer
2003
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung................................................ 1
1.1 Was ist Komplexitätstheorie?............................ 1
1.2 Zum didaktischen Hintergrund........................... 6
1.3 Überblick.............................................. 7
1.4 Weiterführende Literatur................................ 10
2. Algorithmische Probleme und ihre Komplexität.......... 13
2.1 Was sind algorithmische Probleme?....................... 13
2.2 Einige wichtige algorithmische Probleme................... 15
2.3 Wie wird die Rechenzeit eines Algorithmus gemessen?....... 20
2.4 Die Komplexität algorithmischer Probleme ................ 25
3. Die grundlegenden Komplexitätsklassen.................. 29
3.1 Die Sonderrolle polynomieller Rechenzeiten................ 29
3.2 Randomisierte Algorithmen.............................. 31
3.3 Die grundlegenden Komplexitätsklassen für algorithmische
Probleme.............................................. 35
3.4 Die grundlegenden Komplexitätsklassen für Entscheidungs¬
probleme .............................................. 40
3.5 Nichtdeterminismus als Spezialfall von Randomisierung..... 44
4. Reduktionen — algorithmische Beziehungen zwischen Pro¬
blemen ................................................... 47
4.1 Wann sind sich Probleme algorithmisch ähnlich? ........... 47
4.2 Reduktionen zwischen den verschiedenen Varianten eines Pro¬
blems ................................................. 50
4.3 Reduktionen zwischen verwandten Problemen.............. 53
4.4 Reduktionen zwischen nicht verwandten Problemen......... 58
4.5 Die Sonderrolle polynomieller Reduktionen ................ 65
5. Die NP-Vollständigkeitstheorie........................... 69
5.1 Grundlegende Überlegungen............................. 69
5.2 Probleme in NP........................................ 73
5.3 Alternative Charakterisierungen von NP................... 75
VIII
Inhaltsverzeichi
5.4 Das Theorem von Cook................................. 77
6. NP-vollständige und NP-äquivalente Probleme........... 83
6.1 Grundlegende Überlegungen............................. 83
6.2 Rundreiseprobleme..................................... 83
6.3 Rucksackprobleme...................................... 84
6.4 Aufteilungsprobleme und Lastverteilungsprobleme.......... 87
6.5 Cliquenprobleme....................................... 87
6.6 Teambildungsprobleme.................................. 89
6.7 Meisterschaftsprobleme.................................. 91
7. Die Komplexitätsanalyse von Problemen ................. 95
7.1 Die Trennlinie zwischen einfachen und schwierigen Varianten
eines Problems......................................... 95
7.2 Pseudopolynomielle Algorithmen und starke NP-Vollständig¬
keit ................................................... 99
7.3 Ein Überblick über die betrachteten NP-Vollständigkeits¬
beweise ...............................................102
8. Die Komplexität von Approximationsproblemen - klassi¬
sche Resultate............................................105
8.1 Komplexitätsklassen.................................... 105
8.2 Approximationsalgorithmen.............................. 109
8.3 Die Lückentechnik...................................... 113
8.4 Approximationserhaltende Reduktionen................... 116
8.5 Vollständige Approximationsprobleme..................... 119
9. Die Komplexität von Black-Box-Problemen...............123
9.1 Black-Box-Optimierung.................................123
9.2 Das Minimax-Prinzip von Yao ...........................126
9.3 Untere Schranken für die Black-Box-Komplexität...........129
10. Weitere Komplexitätsklassen und Beziehungen zwischen den
Komplexitätsklassen......................................135
10.1 Grundlegende Überlegungen.............................135
10.2 Die Komplexitätsklassen innerhalb von NP und co-NP......136
10.3 Orakelklassen..........................................138
10.4 Die polynomielle Hierarchie..............................140
10.5 BPP, NP und die polynomielle Hierarchie .................147
11. Interaktive Beweise.......................................153
11.1 Grundlegende Überlegungen.............................153
11.2 Interaktive Beweissysteme...............................154
11.3 Zur Komplexität des Graphenisomorphieproblems..........156
11.4 Beweissysteme, die kein Wissen preisgeben.................163
Inhaltsverzeichnis
IX
12. Das PCP-Theorem und die Komplexität von Approximati¬
onsproblemen .............................................169
12.1 Randomisierte Verifikation von Beweisen..................169
12.2 Das PCP-Theorem .....................................172
12.3 Das PCP-Theorem und Nichtapproximierbarkeitsresultate . . . 182
12.4 Das PCP-Theorem und APX-Vollständigkeit...............186
13. Weitere klassische Themen der Komplexitätstheorie......195
13.1 Überblick..............................................195
13.2 Speicherplatzbasierte Komplexitätsklassen.................196
13.3 PSPACE-vollständige Probleme..........................199
13.4 Nichtdeterminismus und Determinismus bei Platzschranken . . 202
13.5 Nichtdeterminismus und Komplementbildung bei präzisen
Platzschranken.........................................203
13.6 Komplexitätsklassen innerhalb von
Ρ
.....................206
13.7 Die Komplexität von Anzahlproblemen....................209
14. Die Komplexität von nichtuniformen Problemen..........213
14.1 Grundlegende Überlegungen.............................213
14.2 Simulationen von Turingmaschinen durch Schaltkreise.......216
14.3 Simulationen von Schaltkreisen durch nichtuniforme Turing¬
maschinen .............................................218
14.4 Branchingprogramme und Platzbedarf.................... 222
14.5 Polynomielle Schaltkreise für Probleme in BPP.............224
14.6 Komplexitätsklassen für Berechnungen mit Hilfsinformationen 226
14.7 Gibt es polynomielle Schaltkreise für alle Probleme in NP? . . 227
15. Kommunikationskomplexität..............................231
15.1 Das Kommunikationsspiel ...............................231
15.2 Untere Schranken für die Kommunikationskomplexität ......236
15.3 Nichtdeterministische Kommunikationsprotokolle...........245
15.4 Randomisierte Kommunikationsprotokolle.................251
15.5 Kommunikationskomplexität und VLSI-Schaltkreise.........260
15.6 Kommunikationskomplexität und die Rechenzeit von Turing¬
maschinen .............................................261
16. Die Komplexität boolescher Funktionen..................265
16.1 Grundlegende Überlegungen.............................265
16.2 Die Größe von Schaltkreisen.............................266
16.3 Die Tiefe von Schaltkreisen..............................269
16.4 Die Größe von tiefenbeschränkten Schaltkreisen............274
16.5 Die Größe von tiefenbeschränkten Thresholdschaltkreisen .... 279
16.6 Die Größe von Branchingprogrammen.....................282
16.7 Reduktionskonzepte ....................................286
X
Inhaltsverzeichnis
Schlussbemerkungen..........................................293
Α.
Anhang...................................................295
A.l Größenordnungen und die O-Notation.....................295
A.2 Ergebnisse aus der Wahrscheinlichkeitstheorie..............299
Literaturverzeichnis ..........................................311
Sachverzeichnis...............................................315
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