Optimierung:
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Berlin [u.a.]
Springer
2004
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| Series: | Springer-Lehrbuch
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung................................................ 1
1.1 Modellbildung, mathematische Formulierung............... 1
1.2 Nichtlineare Programme................................. 2
1.3 Einteilung von nichtlinearen Programmen................. 3
1.4 Ausblick .............................................. 4
1.5 Zur Anwendung in der Praxis............................ 5
Teil
I
Lineare Programmierung
2 Lineare Programme, Beispiele und Definitionen........... 9
2.1 Definition und Anwendungen ............................ 9
2.2 Das Diätproblem....................................... 10
2.3 Beispiel zum Flugplanentwurf............................ 12
2.4 Die Standardform...................................... 13
2.5 Geometrische Grundlagen ............................... 16
3 Das Simplexverfahren .................................... 23
3.1 Lineare Gleichungssysteme und Basen..................... 23
3.2 Das spezielle Simplexformat ............................. 26
3.3 Durchführung der Simplexmethode....................... 31
3.3.1 Benachbarte Basen............................... 31
3.3.2 Abbruchkriterien................................. 34
3.3.3 Geometrische Interpretation....................... 36
3.3.4 Simplexschritt ................................... 36
3.3.5 Allgemeine Simplexmethode....................... 39
3.4 Die lexikographische Simplexmethode..................... 41
3.5 Ein Hilfsproblem für den Startpunkt...................... 44
3.6 Zusammenfassung...................................... 46
3.7 Dualität bei linearen Programmen........................ 48
3.7.1 Der Dualitätssatz ................................ 48
3.7.2 Duale Simplexmethode............................ 54
3.8 Beispiel für eine Sensitivitätsanalyse ..................... 58
3.9 Übungsaufgaben ....................................... 63
Innere- Punkte- Methoden für Lineare Programme....... 67
4.1 Exkurs: Newton-Verfahren, Konvergenzraten .............. 68
4.1.1 Anwendung: Newton-Verfahren.................... 69
4.1.2 Konvergenzgeschwindigkeiten,
О
-Notation.......... 71
4.2 Der Innere- Punkte-Ansatz.............................. 72
4.2.1 Das
primal-
duale
System ......................... 73
4.2.2 Der zentrale Pfad ................................ 74
4.2.3 Newton-Verfahren für das
primal-
duale
System...... 77
4.2.4 Lösung der linearen Gleichungssysteme.............. 77
4.3 Analyse des Newton - Schrittes........................... 79
4.4 Ein Kurz - Schritt - Algorithmus........................... 80
4.5 Konvergenz von Innere - Punkte-Verfahren................. 82
4.6 Zur Konvergenzrate des Kurz - Schritt-Verfahrens........... 85
4.7 Ein praktisches Innere - Punkte -Verfahren................. 88
4.8 Ein Trick zur Berechnung von Startpunkten ............... 93
4.8.1 Selbstduale lineare Programme..................... 93
4.8.2 Zusammenhang mit anderen linearen Programmen.... 94
4.9 Übungsaufgaben ....................................... 97
Lineare Optimierung: Anwendungen, Netzwerke..........101
5.1 Das Transportproblem..................................101
5.1.1 Problemstellung und Grundbegriffe der Graphentheorie 101
5.1.2 Simplexverfahren zur Lösung des Transportproblems .. 108
5.2 Das
Transshipment
- Problem ............................113
5.3 Bestimmung kürzester und längster Wege in einem Netzwerk. 117
5.3.1 Reduktion auf ein
Transshipment
- Problem..........117
5.3.2 Die Methode von Dantzig .........................117
5.3.3 Der Algorithmus von
Dijkstra
......................119
5.3.4 Die Methode von Fulkerson........................120
5.4 Übungsaufgaben .......................................122
Teil
II
Nichtlineare Minimierung
I
6 Minimierung ohne Nebenbedingungen....................127
6.1 Minimierung skalarer Funktionen, direkte Suchverfahren.....129
6.1.1 Das Verfahren des goldenen Schnitts zur Bestimmung
des Minimums einer unimodalen Funktion...........130
6.1.2 Verallgemeinerung auf stetiges ƒ:
[α,
b]
—>
Ћ.
..........132
6.2 Nichtrestringierte Minimierung, Abstiegsmethoden..........135
6.2.1 Einfache Grundlagen..............................135
6.2.2 Einige negative Beispiele..........................136
6.2.3 Abstiegsverfahren................................139
6.2.4 Steilster Abstieg für konvexe quadratische Funktionen. 146
6.3 Konjugierte- Gradienten Verfahren (cg-Verfahren)..........148
6.3.1 Präkonditionierung............................... 153
6.3.2 Das Verfahren von
Polak -Ribière...................
154
6.4 Trust-Region Verfahren zur Minimierung
ohne Nebenbedingungen................................. 155
6.5 Das Newton-Verfahren.................................. 163
6.5.1 Der Satz von Newton - Kantorovich................. 163
6.5.2 Affine Invarianz.................................. 169
6.5.3 Interpretation des Newton-Verfahrens als
Trust - Region Verfahren........................... 172
6.6 Quasi- Newton-Verfahren ............................... 173
6.6.1 Nichtlineare Gleichungssysteme .................... 173
6.6.2 Minimierung glatter Funktionen.................... 177
6.7 Nichtlineare Ausgleichsprobleme.......................... 184
6.7.1 Gauß- Newton -Verfahren.......................... 186
6.7.2 Quasi-Newton Ansatz für Ausgleichsprobleme....... 189
6.8 Ein praktisches Anwendungsbeispiel ...................... 191
6.9 Übungsaufgaben ....................................... 194
6.9.1 Allgemeine Aufgaben............................. 194
6.9.2 Aufgaben zum Satz von Newton Kantorovich........ 196
Teil
III
Optimalitätsbedingungen
7 Konvexität und Trennungssätze...........................203
7.1 Allgemeine Grundlagen .................................204
7.2 Trennungssätze.........................................209
7.2.1 Schwache Trennungssätze..........................209
7.2.2 Das relativ Innere einer konvexen Menge............211
7.2.3 Eigentliche Trennung .............................214
7.3 Polare Kegel und konvexe Funktionen.....................216
7.4 Übungsaufgaben .......................................220
8 Optimalitätsbedingungen für konvexe
Optimierungsprobleme ...................................223
8.1 Konvexe Ungleichungssysteme............................223
8.2 Die KKT-Bedingungen..................................228
8.3 Die Lagrangefunktion...................................230
8.4 Dualität bei konisch konvexen Programmen................233
8.5 Dualität bei semidefiniten Programmen...................237
8.6 Übungsaufgaben .......................................241
9 Optimalitätsbedingungen für allgemeine
Optimierungsprobleme ...................................243
9.1 Optimalitätsbedingungen erster Ordnung..................243
9.1.1 Tangentialkegel und Regularität....................243
Inhaltsverzeichnis
9.1.2 Der Satz von Kuhn und
Tucker
....................249
9.1.3 Beweis von Satz 9.1.14............................250
9.2 Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung.................256
9.3 Sensitivität der Lösungen................................263
9.4 Übungsaufgaben .......................................269
Teil
IV
Nichtlineare Minimierung
II
10 Projektionsverfahren .....................................273
10.1 Allgemeine Konvergenzeigenschaften......................275
10.2 Der Spezialfall affiner Nebenbedingungen..................282
10.3 Quadratische Optimierungsprobleme......................286
10.4 Übungsaufgaben .......................................291
11 Penalty-Funktionen und die erweiterte Lagrangefunktion . 293
11.1 Straffunktionen und Penalty-Verfahren....................293
11.2 Differenzierbare exakte Penalty - Funktionen...............298
11.3 Übungsaufgaben .......................................312
12 Barrieremethoden und
primal-
duale
Verfahren...........315
12.1 Klassische Barrieremethoden.............................315
12.1.1 Das Konzept der Barrieremethoden.................315
12.1.2 Ein allgemeines
Bar riere
ver
fahr
en..................
316
12.2 Ein
Primal
-
Duales
Innere - Punkte-Verfahren..............319
12.3 Beziehungen zwischen beiden Verfahren...................321
12.3.1 Vergleich der Newton - Schritte.....................322
12.3.2 Unterschiede bei beiden Verfahren..................324
12.4 Übungsaufgaben .......................................325
13 SQP-Verfahren...........................................327
13.1 Der SQP-Ansatz .......................................328
13.2 Quasi-Newton-Updates ................................330
13.3 Konvergenz............................................332
13.3.1 Modifikation zur globalen Konvergenz............... 333
13.3.2 Der Maratos- Effekt.............................. 336
13.3.3 Schlussbemerkung................................ 337
13.4 Übungsaufgaben ....................................... 338
14 Global konvergente Verfahren ............................339
14.1 Trust-Region-Methoden
II
..............................339
14.2 Filter-Verfahren........................................349
14.3 Übungsaufgaben .......................................353
15 Innere-Punkte-Verfahren für konvexe Programme........355
15.1 Theoretische Grundlagen................................355
15.1.1 Ein konvexes Programm und Voraussetzungen.......356
15.1.2 Die Methode der Zentren..........................357
15.1.3 Selbstkonkordanz.................................359
15.1.4 Assoziierte Normen zu selbstkonkordanten
Barrierefunktionen ...............................364
15.1.5 Das Newton-Verfahren zur Minimierung
selbstkonkordanter Funktionen.....................368
15.1.6
θ
- selbstkonkordante Barrierefunktionen und äußere
ellipsoïdale
Approximationen ......................371
15.1.7 Ein einfacher Modellalgorithmus ...................377
15.2 Ein implementierbares Verfahren.........................382
15.2.1 Probleme mit linearen Gleichungen als
Nebenbedingungen ...............................382
15.2.2 Die Berücksichtigung linearer Gleichungen im
Newton -Verfahren................................383
15.2.3 Berechnung eines strikt zulässigen Startpunktes......386
15.2.4 Ein primaler Prediktor-Korrektor-Algorithmus......389
15.2.5 Einige Anwendungen .............................393
15.3 Übungsaufgaben .......................................395
16
Semidefinite
Programme..................................403
16.1 Notation und einige Grundlagen..........................403
16.1.1 Ein semidefmites Programm und seine
duale
Form .... 404
16.1.2 Darstellung des zentralen Pfades ...................406
16.2 Ein
primal
-
duales
Verfahren.............................407
16.2.1 Bestimmung der Newtonrichtungen.................408
16.2.2 Die Klasse MZ...................................408
16.2.3 Numerischer Aufwand zur Lösung der linearen
Gieichungssysteme................................410
16.2.4 Einige spezielle Suchrichtungen.....................412
16.2.5 Skalierungsinvarianz..............................415
16.2.6 Konvergenz eines Kurzschrittverfahrens.............416
16.3 Anwendungen..........................................417
16.3.1 Lyapunovungleichung.............................417
16.3.2 Strikte Matrixungleichungen.......................419
16.3.3 Eigenwertoptimierung.............................419
16.3.4 Das Schurkomplement ............................420
16.3.5 Ein Rezept zur Lagrangedualität...................421
16.4 Anwendungen auf kombinatorische Probleme...............426
16.4.1 Das Problem der maximalen stabilen Menge.........427
16.4.2 Das Max- Cut Problem ...........................434
16.4.3 Das Graphenpartitionierungsproblem...............442
16.4.4 Lineare 0 -1 - Programme..........................444
16.4.5 Nichtlineare semidefmite Programme................447
16.5 Übungsaufgaben .......................................451
17 Direkte Suchverfahren bei mehreren Variablen ...........453
17.1 Die „Simplexmethode von Neider und
Mead
...............453
17.2 Das Kriging-Verfahren..................................456
17.2.1 Modellbildung ...................................457
17.2.2 Minimierungsschritt ..............................460
17.3 Übungsaufgaben .......................................461
Literaturverzeichnis ..........................................463
Index.........................................................471
Dieses Buch gibt eine Einführung in die
Theorie und Methoden der stetigen
Optimierung mit einigen Anwendungen,
auch im Bereich der diskreten Opti¬
mierung. Bei der linearen Optimierung
werden zunächst die klassische Simplex¬
methode und die neueren Innere-Punkte-
Methoden vorgestellt. Es werden dann
J
konvexe und glatte nichtlineare Probleme Jf
sowie semidefinite lineare Programme
Л
betrachtet, wobei stets das Verständnis ||
der Optimalitätsbedingungen benutzt
Щ
wird, um die Lösungsverfahren, darunteijl
auch Innere-Punkte-Methoden, vorzu-
Щ
stellen. Zu einigen praktischen Anwen-
Ц
dungen
werden ausführliche Beispiele
Ш
beschrieben.
β
|
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| author | Jarre, Florian 1961- Stoer, Josef 1934- |
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