Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection: stochastische Finanzmarktkontrolle und ihre Anwendungen
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2002
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| Edition: | 1. Aufl. |
| Series: | Finanzmathematik
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| Item Description: | Angezeigt u.d.T.: Hausmann, Wilfried: Optionen und Futures |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
2 Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) 6
2.1 Portfolio Selection 7
2.1.1 Die Beurteilung einzelner Anlageformen 7
2.1.2 Effiziente Portfolios 14
2.1.3 Die Ermittlung der effizienten Menge 23
2.2 Risikoloses Leihen und Verleihen 25
2.2.1 Die risikolose Anlageform Af 25
2.2.2 Risikoloses Leihen 27
2.3 Ein Einfaktor Marktmodell 33
2.3.1 Ein Marktmodell 33
2.3.2 Der EGP Algorithmus 37
2.4 Der Gleichgewichtszustand 39
2.4.1 Das universelle Separationstheorem für vollkommene Kapitalmärkte 39
2.4.2 Das Marktportfolio und die Kapitalmarktlinie 40
2.5 Risikobehaftete Wertpapiere und die Fundamentalgleichung des CAPM 42
2.5.1 Die Fundamentalgleichung und die Wertpapiermarktgerade .... 42
2.5.2 Anlagestrategien 47
3 Arbitrage und elementare Derivatebewertung 49
3.1 Arbitrage und Beinahe Arbitrage 49
3.1.1 Arbitrageportfolios 49
3.1.2 Beinahe Ar bitrage und die Arbitrage Preistheorie 52
3.2 Elementare Derivate 57
3.2.1 Termingeschäfte 58
Grundbegriffe 58
Marktteilnehmer 60
Kreditrisiken aus Derivaten 62
3.2.2 Futures 63
Grundlegendes 63
Clearingstellen und Market Maker 65
Margins 66
3.3 Arbitragefreie Terminpreise 69
3.3.1 Einige finanzmathematische Begriffe und Systemvoraussetzungen . 69
Zinsen, insbesondere stetige Verzinsung 69
Der Barwert einer Zahlungsreihe 71
Leerverkauf und Wertpapierleihe 72
Systemvoraussetzungen und Standardbezeichnungen 73
3.3.2 Forwardpreise 74
3.3.3 Bewertung von laufenden Termingeschäften 78
ü __ Inhaltsverzeichnis
3.3.4 Futurepreis = Forwardpreis 79
3.3.5 Spezielle Terminkontrakte 81
Futures auf Aktienindizes 81
Devisentermingeschäfte 82
Zinstermingeschäfte 83
3.3.6 Aspekte von Warentermingeschäften 83
Cost Of Carry 84
3.3.7 Forwardpreis vs. Erwartungswert des zukünftigen Preises 84
4 Optionen 86
4.1 Grundlegendes zu Optionen 86
4.2 Eigenschaften von Optionspreisen 90
4.2.1 Grundsätzliche Annahmen und Notationen 90
4.2.2 Faktoren, die den Optionspreis beeinflussen 91
4.2.3 Schranken für Optionspreise 94
4.2.4 Optimaler Ausübungszeitpunkt und Preisgrenzen bei amerikani¬
schen Optionen 96
4.2.5 Put Call Parität 100
4.3 Optionsstrategien 103
4.3.1 Strategien mit einer Option und dem Underlying 103
4.3.2 Spreads 105
Bull Spread 105
Bear Spread 106
Butterfly Spread 107
Time Spread 107
Weitere Spreads 108
4.3.3 Kombinationen 109
Straddle 109
Strangle 111
4.4 Fazit und Ausblick 112
5 Endliche arbitragefreie Systeme 114
5.1 Arbitragefreie Einperiodensysteme 115
5.1.1 Das Einperioden Binomialmodell 116
5.1.2 Allgemeine Einperiodensysteme 121
5.2 Ein einfaches Mehrperiodensystem 128
5.3 Arbitragefreie Mehrperiodensysteme 132
5.3.1 Der Systemrahmen 132
5.3.2 Selbstfinanzierende Handelsstrategien 134
5.3.3 Charakterisierung arbitragefreier Systeme 135
5.4 Vollständige arbitragefreie Mehrperiodensysteme 140
5.4.1 Vollständigkeit 140
5.4.2 Binomialmodelle 143
5.5 Mathematische Gestaltungsmöglichkeiten 143
5.5.1 Die zugehörige Baumdarstellung 143
5.5.2 Numeraire und Diskontierung 145
Numerairewechsel 149
XI
6 Binomialmodelle 151
6.1 Die Bewertung europäischer Optionen mit Binomialbäumen 151
6.1.1 Bewertung in Einperiodenmodellen 151
6.1.2 Bewertung in Mehrperiodenmodellen 155
6.2 Das Cox Ross Rubinstein Modell 161
6.2.1 Einführung 161
6.2.2 Bewertungsformeln 163
6.2.3 Zur Praxistauglichkeit der Baummodelle 165
6.2.4 Grenzwertbetrachtungen zum CRR Modell 169
6.2.5 Beweis der Sätze 137 und 140 174
6.2.6 Die Black Scholes Formel 176
7 Das Black Scholes Modell 181
7.1 Ein Modell für den Kursverlauf einer Aktie 182
7.1.1 Anforderungen 182
7.1.2 Der Wiener Prozess und verwandte stochastische Prozesse 185
7.1.3 Die Itö Formel 189
7.1.4 Schätzwerte der Parameter 195
7.2 Derivatebewertung 198
7.2.1 Die Black Scholes Differentialgleichung und die risikoneutrale Be¬
wertung 198
7.2.2 Die Black Scholes Formel 203
Grenzwerte 205
Abhängigkeit von der Volatilität 207
Die implizite Volatilität 208
7.2.3 Vorgehensweise bei Dividenden 210
7.3 Hedging und die griechischen Buchstaben 211
7.3.1 Gedeckter und ungedeckter Call, Stop Loss Strategie 212
7.3.2 Delta Hedging 214
7.3.3 Weitere griechische Buchstaben 220
Gamma 220
Theta 222
Beziehung zwischen A, T und 9 224
Lambda (Vega) und Rho 225
8 Amerikanische Optionen 228
8.1 Bewertung in Binomialmodellen 228
8.2 Der Zuschlag für das Recht der vorzeitigen Ausübung 236
8.3 Amerikanische Puts im Black Scholes Modell 242
8.4 Berücksichtigung von Dividenden 244
9 Das allgemeine Bewertungsprinzip 249
9.1 Die risikoneutrale Welt und das äquivalente Martingalmaß 249
9.2 Der Marktpreis des Risikos 252
9.3 Währungsderivate 253
9.4 Die Sicht des US Investors Numerairewechsel 255
9.5 Quantos 257
XII Inhaltsverzeichnis
10 Zinsderivate 263
10.1 Die Zinsstruktur 263
10.1.1 Zerobonds 264
10.1.2 Forwardraten 265
10.2 Einige gebräuchliche Zinsderivate 267
10.2.1 Termingeschäfte 267
OTC Zinsderivate 267
Zins Futures 270
10.2.2 Optionsgeschäfte 274
10.2.3 Exotische Varianten 275
10.3 Die Bewertung von Zinsoptionen mit dem Black Scholes Modell.... 275
10.3.1 Optionen auf Zerobonds 275
10.3.2 Zinsoptionen 279
10.4 Diskrete Zinsmodelle 281
10.5 Stetige Modelle für den kurzfristigen Zinssatz 287
10.5.1 Das Modell von Ho und Lee 288
10.5.2 Das Modell von Vasicek / Hüll und White 289
10.5.3 Das Modell von Cox Ingersoll Ross (CIR) 291
10.5.4 Das Modell von Black Karasinski 292
10.5.5 Fazit 292
10.6 Das Heath Jarrow Morton Modell (HJM) 293
10.6.1 Einfaktor Modelle 294
10.6.2 Mehrfaktor HJM Modelle 297
Ein zweidimensionales HJM Modell 298
Das LIBOR Markt Modell (BGM Modell) 299
11 Exotische Optionen und strukturierte Produkte 302
11.1 Pfadunabhängige univariate exotische Optionen 303
11.1.1 Digitals 303
11.1.2 Power Optionen 306
11.1.3 Compound Optionen 308
11.1.4 Chooser Optionen 310
11.2 Pfadabhängige exotische Optionen 311
11.2.1 Barrier Optionen 311
Single Barrier Optionen 312
Double Barriers 318
Digitale Barrier Optionen 319
11.2.2 Asiatische Optionen 321
Average Price Optionen 321
Average Strike Optionen 322
11.2.3 Lookback Optionen 323
Floating Strike Lookbacks 324
Floating Rate Lookbacks 325
11.3 Multivariate Optionen 327
11.3.1 Bewertungsansatz im Black Scholes Modell 327
11.3.2 Tauschoptionen 330
11.3.3 Weitere multivariate Optionen 333
XIII
11.4 Strukturierte Produkte 335
11.4.1 DAX Garantiefonds 336
11.4.2 Aktienanleihen 338
Doppel Aktienanleihen 341
Aktienanleihen mit Mindestrückzahlung 341
Aktienanleihen mit Deaktivierungsschwelle 342
Aktienanleihen mit Aktivierungsschwelle 342
Diskont Varianten 342
11.4.3 Gap Optionen 343
12 Die mathematische Theorie stochastischer Finanzmarktprozesse 346
12.1 Einige Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 347
12.1.1 Das Axiomensystem von Kolmogorov, Filtrationen und äquivalente
Wahrscheinlichkeitsmaße 347
12.1.2 Zufallsvariablen 356
12.1.3 Folgen und Konvergenz 357
12.1.4 Integration von Zufallsvariablen 358
12.1.5 Der bedingte Erwartungswert 361
12.1.6 Unabhängigkeit 366
12.2 Stochastische Prozesse 367
12.2.1 Grundlegendes 367
12.2.2 Eigenschaften zeitstetiger Prozesse 370
12.2.3 Martingale und Stoppzeiten 372
12.2.4 Brownsche Bewegungen 377
12.3 Stochastische Integration 381
12.3.1 Einführende Diskussion 381
12.3.2 Das Lebesgue Stieltjes Integral für stochastische Prozesse 383
12.3.3 Das Itö Integral 387
12.3.4 Stochastische Differentialgleichungen 394
12.3.5 Die quadratische Variation 396
12.3.6 Die It6 Formel 398
12.4 Arbitragefreiheit und Vollständigkeit 404
12.4.1 Die Brownsche Filtration und der Martingal Darstellungssatz . . . 404
12.4.2 Der Satz von Girsanov und das äquivalente Martingalmaß 406
12.4.3 Handelsstrategien und Arbitragefreiheit 411
12.4.4 Optionsbewertung und Vollständigkeit 414
12.4.5 Mehrfaktormodelle 418
Literaturverzeichnis 422
Index 426
XIV Abbildungsverzeichnis
2.1 Der Südostbereich einer Anlageform 9
2.2 Einfluss der Risikopräferenz auf die Investitionsentscheidung 12
2.3 Indifferenzlinien eines risikoneutralen Investors 13
2.4 Die zulässige und die effiziente Menge bei beliebig kombinierbaren risiko¬
haften Anlageformen 18
2.5 Ermittlung des optimalen Portfolios eines Investors 23
2.6 Gestalt der effizienten Menge bei Vorhandensein einer risikolosen Anlageform 28
2.7 Die effiziente Menge bei risikolosem Leihen und Verleihen 30
2.8 Die effiziente Menge bei ungleichen Soll und Habenzinsen 32
2.9 Zusammenhang zwischen der Rendite der Anlageform Ai und der Index¬
rendite 33
2.10 Die Kapitalmarktlinie oder charakteristische Marktgerade 41
2.11 Die charakteristische Wertpapiermarktgerade 46
3.1 Punktionsweise einer Clearingstelle 65
4.1 Payoff und P L Profil eines Calls 88
4.2 Payoff und P L Profil eines Puts 89
4.3 Preisgrenze für einen Call 95
4.4 Preisgrenzen für einen europ äischen Put 97
4.5 Preisgrenzen für einen amerikanischen Put QQ
4.6 P L Diagramm Aktie (long) und Option 104
4.7 P L Diagramm Aktie (short) und Option 104
4.8 P L Profil eines Bull Spreads (Aufbau über 2 Calls) 106
4.9 P L Profil eines Bear Spreads 107
4.10 P L Diagramm eines Long Butterfly Spreads 108
4.11 Condor und Call Ratio Spread 108
4.12 P L Profil eines Straddles HO
4.13 P L Profil eines Strangles 112
5.1 Ein arbitragefreies Dreiperiodensystem mit zwei Anlageformen und sto
chastischer risikoloser Rendite 138
6.1 Kalkulierter und tatsächlicher Kursverlauf 168
6.2 CRR Modelle mit n = 1,2 und 3 zu vorgegebenen Werten /i und a . . . . 171
7.1 Pfad einer Brownschen Bewegung 186
7.2 Pfad einer verallgemeinerten Brownschen Bewegung dX = a dt + b ¦ dW 187
7.3 Möglicher Kursverlauf einer Aktie 188
7.4 Kursverlauf einer Aktie und erwartete mittlere Werte 194
7.5 Black Scholes Preise und zugehörige Zeitwerte in Abhängigkeit von S/K . 206
7.6 Lokale Approximation einer Funktion durch eine Tangente 215
XV
7.7 Das Delta eines europäischen Calls 217
7.8 Der Theta Wert europäischer Calls und Puts in Abhängigkeit von S/K . 223
7.9 Theta in Relation zum Black Scholes Preis 224
7.10 Zeitliche Entwicklung des Zeitwerts europäischer Call und Put Optionen 224
7.11 Gamma und Vega 226
8.1 Typische Lage des Bereichs mit vorteilhafter sofortiger Ausübung bei ei¬
nem amerikanischen Put 241
10.1 Zinsstrukturkurven 264
10.2 Ertrag aus FRA Verkauf und Verkauf des exakten Future Hedge 273
10.3 Pull to Par von Zerobondpreisen 277
10.4 Ein Trinomialmodell für den risikoneutralen Prozess des kurzfristigen Zins¬
satzes 285
10.5 Abgeleitete Bondpreise 286
11.1 Long Position eines Digital Calls bzw. Digital Puts 304
11.2 Payoff von Power Optionen 307
11.3 Down and In Put ohne Rebate 314
11.4 Up and Out Call mit Rebate at hit bzw. at expiry 314
11.5 Payoff von Lookback Optionen des Floating Strike Typs 325
11.6 Payoffs von Lookforward Optionen 326
11.7 Rendite einer Aktienanleihe im Vergleich zu Anlagealternativen 339
11.8 Payoff Profil eines Gap Calls 344
11.9 P L Profile von Gap Calls 345
12.1 Zu einem Ereignis gehörende Elementarereignisse 351
12.2 Atomare Mengen einer aufsteigenden Folge von cr Algebren (=Filtration) 352
12.3 Zwei äquivalente diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 355
12.4 Definitionsbereiche der Pfade und Zufallsvariablen eines stochastischen
Prozesses 368
12.5 Pfad eines zeitstetigen Prozesses 369
12.6 Originalprozess und gestoppter Prozess 375
12.7 Veränderte Erwartungswerte eines Martingals im Lauf der Zeit 377
12.8 Eine messbare Menge stetiger Funktionen 379
12.9 Beispiel einer Funktion mit unendlicher Variation 385
12.lOEine linksseitig stetige Treppenfunktion mit Sprungstellen £j. ..., £4 .... 388
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