Separable Optimierung durch Innere-Punkte-Methoden: ein Ansatz auf der Grundlage des Branch-and-bound-Prinzips
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| Published: |
Frankfurt am Main [u.a.]
Lang
2002
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| Series: | Europäische Hochschulschriften
Reihe 5, Volks- und Betriebswirtschaft ; 2934 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Abbildungverzeichnis ix
Tabellenverzeichnis xi
Symbolverzeichnis xiii
Einleitung 1
1 Anwendungen 7
2 Primal duale Innere Punkte Methoden in der
linearen Optimierung 17
2.1 Einführung 17
2.2 Mathematische Grundlagen und Notationen 21
2.3 Zulässige primal duale Innere Punkte Methoden 31
2.3.1 Pfadfolgende Methoden 31
2.3.1.1 Die Idee der pfadfolgenden Methoden .... 31
2.3.1.2 Ein Beispiel: Der Algorithmus von Monteiro
und Adler 51
2.3.2 Potentialreduzierende Methoden 61
2.3.2.1 Die Idee der potentialreduzierenden Methoden 61
2.3.2.2 Ein Beispiel: Der Algorithmus von Kojima,
Mizuno und Yoshise 64
2.3.3 Affin skalierende Methoden 81
2.3.3.1 Die Idee der affin skalierenden Methoden . . 81
2.3.3.2 Ein Beispiel: Der Algorithmus von Jansen,
Roos und Terlaky 89
2.4 Unzulässige primal duale Innere Punkte Methoden 103
vii
2.4.1 Die Idee der unzulässigen primal dualen Innere Punkte
Methoden 103
2.4.2 Ein Beispiel: Der Predictor Korrektor Algorith
mus von Mehrotra 106
2.5 Simplex Algorithmus, zulässige und unzulässige primal duale
Innere Punkte Methoden: Ansätze einer vergleichenden
Analyse 127
3 Homogene selbstduale Einbettungen 133
3.1 Einführung 133
3.2 Der Ansatz von Ye, Todd und Mizuno 135
3.2.1 Die Konstruktion der Einbettung 135
3.2.2 Die Lösung durch einen primal dualen Ansatz 145
4 Ein Branch and Bound Algorithmus für die separable Pro¬
grammierung 157
4.1 Einführung 157
4.2 Das Prinzip des Branch and Bound 159
4.3 Der Algorithmus von Falk und Soland 162
4.4 Ein Lösungsansatz mit Innere Punkte Methoden 168
4.4.1 Der Fall einer Zielfunktion mit konkaven Summan¬
denfunktionen 168
4.4.2 Eine Erweiterung für konvexe Summandenfunktionen 188
4.4.3 Die Zusammenführung beider Fälle 197
Zusammenfassung und Ausblicke 201
A Die Kuhn Karush Tucker Bedingungen 203
Literaturverzeichnis 207
viii
Abbildungsverzeichnis
2.1 Die logarithmische Barrierenfunktion/io(xi,a;2) 35
2.2 Ein Vergleich der logarithmischen Barrierefunktionen /i (xi, X2)
und /io(a:i,Z2) 37
2.3 Der Graph der Kurve (xl(fi),x^(fi),fj.) für das Beispiel 2.34. . 38
2.4 Die Kurve (x{(fi),X2((i)) für das lineare Programm 2.37 in
der xi/x2 Ebene 40
2.5 Zur prinzipiellen Vorgehens weise eines pfadfolgenden Verfah¬
rens 50
2.6 Punkte in der xi/x2 Ebene, die der Bedingung 2.63 genügen. 54
2.7 Der Pfad der Näherungslösungen in der Xi/x2 Ebene 58
2.8 Der Pfad der Näherungslösungen für das Beispiel 2.99 in der
xi/x2 Ebene 70
2.9 Ein Vergleich des Pfades der Näherungslösungen für den Pa¬
rameterwert p = n + Jn sowie der Wahl der Schrittweite
nach Satz 12 (+) und nach der heuristischen Alternative (©)
in der xi/x2 Ebene 78
2.10 Der Pfad der Näherungslösungen in einem Ausschnitt des
zulässigen Bereiches in der xi /x2 Ebene für den Algorithmus
von Monteiro und Adler (+) und den von Kojima, Mizuno
und Yoshise (?) 79
2.11 Ein Beispiel für die Beziehung 2.116 83
2.12 Zur Motivation der Formel 2.133 88
2.13 Der Pfad der Näherungslösungen für das Beispiel 2.143 in der
xi/x2 Ebene nach dem Algorithmus von Jansen, Roos und
Terlaky (?) und dem Algorithmus von Kojima, Mizuno und
Yoshise (+) 93
ix
2.14 Der Pfad der Näherungslösungen in einem Ausschnitt des
zulässigen Bereichs in der rcj/a;2 Ebene für den Algorithmus
von Monteiro und Adler (+), für den von Kojima, Mizuno
und Yoshise (?) und den von Jansen, Roos und Terlaky (©). 103
2.15 Der Pfad der Näherungslösungen in der a;i/a;2 Ebene für den
Algorithmus von Mehrotra 115
2.16 Die Funktionen (i Q*(i ff*)) + ^^((i 2ff*) + ((7*)2) (links)
und(l a*(i a*))+^li((i 2 r*) + 3((r*)i!) (rechts) 121
2.17 Der Pfad der Näherungslösungen in einem Ausschnitt des
zulässigen Bereichs in der a;i/a;2 Ebene für den Algorithmus
von Monteiro und Adler (+), von Kojima, Mizuno und Yoshi¬
se (El), von Jansen, Roos und Terlaky (©) und von Mehrotra
(•) 126
2.18 Der Pfad der Näherungslösungen in der x /a;2 Ebene für den
Algorithmus von Kojima, Mizuno und Yoshise (+), von Jan¬
sen, Roos und Terlaky (?) und von Mehrotra (•) 126
3.1 Der zulässige Bereich B von Beispiel 3.68 in der ii/x2 Ebene
(links). Der zulässige Bereich des Beispiels 3.72 ist leer (rechts).152
3.2 Der Pfad der Näherungslösungen in der zx/a^ Ebene 154
4.1 Ein Flussdiagramm zum Branch and Bound Prinzip 160
4.2 Der zulässige Bereich und die Zielfunktion f{x ,X2) des Bei¬
spiels 4.30 4.34. Die Funktion ^°(xi,x2) von P° 171
4.3 Zur Abschätzung der oberen und der unteren Schranke an
den Endpunkten der Intervalle 180
4.4 Der zulässige Bereich /(xi,x2) und die Funktion ip°(xi,X2)
von P° für das Beispiel 4.88 4.92 189
x
Tabellenverzeichnis
2.1 Die Entwicklung der Dualitätslücke und des Quotienten n™Ü%* )
bei der Wahl des Parameters p und der Schrittweite nach Satz
12 74
2.2 Die Anzahl der Iterationen in Abhängigkeit von dem Wert
des Parameters p bzw. a und der Wahl der Schrittweite. ... 75
2.3 Die Entwicklung der Dualitätslücke und des Quotienten ffijlf^
für p — An und der Wahl der Schrittweite nach der heuristi¬
schen Methode 78
2.4 Die Entwicklung von U^lp. in Abhängigkeit von p .... 80
2.5 Die Komplexität der Algorithmen aus Abschnitt 2.3 128
3.1 Die Entwicklung der Werte für das Beispiel 3.68 153
3.2 Die Entwicklung der Werte für das Beispiel 3.72 155
4.1 Ergebnisse zu Po 180
4.2 Ergebnisse zu P1 182
4.3 Ergebnisse zu P2 182
4.4 Ergebnisse zu P3 183
4.5 Ergebnisse zu P4 183
4.6 Ergebnisse zu P5 184
4.7 Ergebnisse zu P6 184
4.8 Ergebnisse zu P7 184
4.9 Ergebnisse zu P9 185
4.10 Ergebnisse zu P° 194
4.U Ergebnisse zu P1 194
4.12 Ergebnisse zu P2 194
4.13 Ergebnisse zu P3 195
4.14 Ergebnisse zu P4 195
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