Lineare Funktionalanalysis: eine anwendungsorientierte Einführung
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Berlin [u.a.]
Springer
2002
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| Edition: | 4., überarb. und erw. Aufl. |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung.............................................................1
0. Strukturen.......................................................9
0.1 Skalarprodukt..................................................9
0.3 Orthogonalität................................................11
0.4 Norm.........................................................12
0.6 Metrik........................................................15
0.10
0.11 Vergleich von Topologien.....................................19
0.12 Vergleich von Normen........................................19
0.14 Konvergenz und Stetigkeit...................................21
0.15 Konvergenz in metrischen Räumen...........................22
0.16 Vollständigkeit...............................................24
0.17 Banachräume und Hilberträume..............................24
0.18 Folgenräume.................................................25
0.19 Vervollständigung............................................27
Übungen 0.....................................................29
Ü 0.9 Hausdorff-Abstand.........................................33
1. Funktionenräume..............................................35
1.1 Beschränkte Funktionen.......................................35
1.2 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen....................36
1.3 Stetige Funktionen............................................37
1.4 Träger einer Funktion.........................................38
1.5 Differenzierbare Funktionen...................................39
1.6 Hölderstetige Funktionen......................................41
1.7 Maße.........................................................42
1.9 Messbare Funktionen..........................................44
1.12 Lebesgue-Räume.............................................46
1.14 Hölder-Ungleichung..........................................48
1.15 Majorantenkriterium in
1.16 Minkowski-Ungleichung......................................50
1.17 Satz von Fischer-Riesz.......................................51
X
1.19 Vitali-Konvergenzsatz........................................52
1.21 Allgemeiner Lebesgue-Konvergenzsatz........................55
1.23 Sobolev-Räume..............................................58
Übungen 1.....................................................61
Ü 1.3 Standard Testfunktion......................................61
Ü 1.6 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.....63
AI. Lebesgue-Integral..............................................66
A
A
A
A
A
A
A
2. Teilmengen von Funktionenräumen..........................87
2.1 Konvexe Mengen..............................................87
2.2 Projektionssatz...............................................88
2.4 Fast orthogonales Element....................................91
2.5 Kompaktheit..................................................92
2.9 Satz von Heine-Borel..........................................95
2.11 Satz von Arzela-
2.12 Faltung......................................................98
2.13 Dirac-Folge..................................................99
2.15 Satz von Riesz (Kompaktheit in Lp)........................102
2.17 Beispiele separabler Räume.................................105
2.19 Partition der Eins..........................................107
2.22 Lokale Approximation von Sobolev-Funktionen..............111
2.24 Produktregel für Sobolev-Funktionen........................113
2.25 Kettenregel für Sobolev-Funktionen.........................113
Übungen 2....................................................115
Ü 2.4 Strikt konvexe Räume.....................................116
Ü 2.5 Trennungssatz im
Ü 2.6 Konvexe Funktionen.......................................118
Ü 2.7 Charakterisierung konvexer Funktionen....................119
Ü 2.8 Stützebenen...............................................120
Ü 2.9 Jensen sche Ungleichung...................................121
Ü 2.11 Raum U? mit
Ü 2.12 Kreuzprodukt normierter Vektorräume...................123
Ü 2.15 Vergleich der Hölderräume...............................124
Ü 2.16 Kompaktheit bzgl. Hausdorff-Metrik......................125
Inhaltsverzeichnis
Ü 2.17 Gleichmäßige Stetigkeit...................................126
Ü 2.18 Stetige Fortsetzung.......................................126
Ü 2.19 Satz von
Ü 2.20 Nichtapproximierbarkeit in C0 ..........................127
Ü 2.21 Kompakte Teilmengen von Lp............................127
3. Lineare Operatoren..........................................129
3.2 Lineare Operatoren..........................................130
3.7 Neumann-Reihe..............................................134
3.9 Analytische Funktionen von Operatoren......................135
3.12 Lineare Differentialoperatoren...............................137
3.13 Hilbert-Schmidt-Integraloperatoren.........................137
3.14 Distributionen..............................................138
3.16
3.17 Der Raum V(O)............................................142
3.19 Der Raum V (ü)...........................................144
Übungen 3....................................................145
Ü 3.3 Eindeutige Fortsetzung linearer Abbildungen...............145
Ü 3.4 Limes linearer Abbildungen................................146
4. Lineare Funktionale..........................................147
4.1 Riesz scher Darstellungssatz..................................147
4.2 Satz von Lax-Milgram.......................................149
4.4 Elliptische Randwertprobleme................................151
4.5 Schwache Randwertprobleme.................................153
4.6 Existenzsatz für Neumann-Problem..........................153
4.7
4.8 Existenzsatz für Dirichlet-Problem...........................155
4.10 Variationsmaß..............................................156
4.11 Satz von Radon-Nikodym...................................157
4.12 Dualraum von Iß für
4.14 Satz von Hahn-Banach......................................163
4.15 Satz von Hahn-Banach für lineare Funktionale..............165
4.19 Räume additiver Maße......................................168
4.20 Räume regulärer Maße......................................168
4.22 Satz von Riesz-Radon.......................................170
4.24 Funktionen beschränkter Variation..........................174
Übungen 4....................................................177
Ü 4.1 Duale Norm auf E .......................................177
Ü 4.2 Dualraum des Kreuzprodukts..............................177
Ü 4.3 Positiver Integraloperator..................................178
Ü 4.5 Dualraum von Cm{I)......................................179
XII Inhaltsverzeichnis
Ü 4.6 Dualraum von cq und
Ü 4.8 Positive Funktionale auf Cg...............................183
Ü 4.9 Funktionen mit beschränkter Variation....................185
Ü 4.10 Darstellung von C°([a, b]) ................................187
A4. Aussagen aus der Maßtheorie...............................189
А
А
А
А
А
А
5. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.................203
5.1 Baire scher Kategoriensatz...................................203
5.2 Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit....................204
5.3 Satz von Banach-Steinhaus...................................204
5.7 Satz von der offenen Abbildung..............................206
5.8 Satz von der
5.9 Satz vom abgeschlossenen Graphen...........................207
Übungen 5....................................................208
Ü 5.1 Zur adjungierten Abbildung...............................208
Ü 5.2 Punktweise Konvergenz in L(X; Y)........................208
Ü 5.4 Sesquilinearformen........................................209
6. Schwache Konvergenz........................................211
6.1 Schwache Konvergenz........................................211
6.2 Einbettung in den Bidualraum...............................212
6.7 Schwache
6.8
6.11 Trennungssatz..............................................223
6.13 Lemma von
6.15 Allgemeine
6.16 Elliptisches Minimumproblem...............................227
Übungen 6....................................................232
Ü 6.4 Schwache Konvergenz in C°...............................233
Ü 6.7 Schwache Konvergenz oszillierender Funktionen............236
Ü 6.8 Variationsungleichung.....................................237
A6. Eigenschaften von Sobolev-Funktionen.....................240
А
А
Inhaltsverzeichnis XIII
A
A
A
A
A
A
A
A
A
7. Endlich-dimensionale Approximation.......................267
7.6
7-7 Orthonormalbasis............................................273
7.10 Weierstraß scher Approximationssatz........................277
7.13 Lineare Projektionen........................................280
7-14 Stetige Projektionen........................................281
7.15 Satz vom abgeschlossenen Komplement.....................281
7.21 Stückweise konstante Approximation........................285
7.22 Stetige stückweise lineare Approximation....................289
7.23 Ritz-Galerkin-Approximation...............................292
7.25
Übungen 7....................................................294
Ü 7.1
Ü 7.2 Unstetige lineare Abbildungen.............................294
Ü 7.8 Projektoren in L2 (] -
8. Kompakte Operatoren.......................................299
8.1 Kompakte Operatoren.......................................299
8.6 Einbettungssatz in Hölder-Räumen...........................305
8.7 Sobolev-Zahl.................................................307
8.8 Satz von Sobolev............................................309
8.9 Einbettungssatz in Sobolev-Räumen..........................312
8.11 Satz von Morrey............................................315
8.13 Einbettungssatz von Sobolev-Räumen in Hölder-Räume.....317
8.14
8.15 Hilbert-Schmidt-Integraloperatoren.........................319
8.16 Schur-Integraloperatoren....................................321
8.17 Fundamentallösung des Laplace-Operators..................325
8.18
8.19 Hölder-Korn-Lichtenstein-Ungleichung......................328
8.20 Calderon-Zygmund-Ungleichung.............................330
XIV Inhaltsverzeichnis
Übungen 8....................................................331
Ü 8.2 Ehrling-Lemma............................................331
Ü 8.8 Sobolev-Räume auf En....................................334
Ü 8.9 Einbettungssatz im K ....................................335
Ü 8.10
Ü 8.13 Nukleare Operatoren.....................................336
Ü 8.15 Dimensionsabschätzung für Eigenräume..................337
A8. Calderon-Zygmund- Ungleichung............................339
9. Spektrum kompakter Operatoren...........................351
9.6 Fredholm-Operatoren........................................355
9.8 Spektralsatz für kompakte Operatoren.......................359
9.10 Eredholm-Alternative.......................................363
9.11 Endlich-dimensionaler Fall..................................363
9.12 Jordan-Normalform.........................................363
9.13 Reeller Fall.................................................364
10. Selbstadjungierte Operatoren...............................365
10.1 Adjungierter Operator......................................365
10.2 Hilbertraum-Adjungierte....................................366
10.4 Annihilator.................................................366
10.6 Satz von Schauder..........................................368
10.8 Satz von Fredholm..........................................369
10.9 Normale Operatoren........................................369
10.12 Spektralsatz für kompakte normale Operatoren............372
10.14 Eigenwertproblem als Variationsproblem...................374
10.15. Selbstadjungierter Integraloperator........................375
10.16 Eigenwertproblem für den
Übungen 10...................................................384
Ü 10.1 Adjungierte Abbildung auf C°............................384
AIO.
A
Literaturverzeichnis................................................395
Symbolverzeichnis..................................................397
Sachverzeichnis.....................................................401
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