Statistische Methoden: ausgewählte Kapitel für Wirtschaftswissenschaftler
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
München
Vahlen
2002
|
| Edition: | 2. Aufl. |
| Series: | Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XXII, 494 S. graph. Darst. : 23 cm |
| ISBN: | 3800626780 |
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| adam_text | Titel: Statistische Methoden
Autor: Neubauer, Werner
Jahr: 2002
Inhaltsverzeichnis
Vorwort.........................................................................................................................................V
Kapitelübersicht............................................................................................................................IX
Teil A
Grundlegung: Die statistische Prozedur
1. Kapitel:
Was ist und wozu nützt Statistik?
1. Die Funktion der Statistik in einer Realwissenschaft................................................................3
2. Statistik - eine allgemeine Definition........................................................................................5
2. Kapitel:
Die kategoriale Bestimmung des Untersuchungsobjektes
1. Erste Stufe: Bildung des idealtypischen Begriffes (Idealtypus)................................................9
2. Zweite Stufe: Adäquation (Operationalisierung): Die Anpassung eines
statistischen Begriffes an den idealtypischen..........................................................................10
3. Formale Eigenschaften des statistischen Begriffes: Massen, Merkmale, Meßkonzepte..........11
3.1. Statistische Massen und statistische Einheiten.................................................................11
3.2. Begriffsmerkmale und Untersuchungsmerkmale..............................................................11
3.3. Skalierbarkeit und Skalierung..........................................................................................13
3. Kapitel:
Die statistische Erhebung
1. Erhebungsplan.........................................................................................................................17
2. Erhebungseinheit.....................................................................................................................17
3. Erhebungstechniken................................................................................................................18
3.1. Beobachtung und Befragung............................................................................................18
3.1.1. Beobachtung..........................................................................................................18
3.1.2. Befragung...............................................................................................................19
3.1.2.1. Schriftliche Befragung, Erhebungsbogen.................................................19
3.1.2.2. Mündliche Befragung (Interview)............................................................21
XII Inhaltsverzeichnis
3.2. Primärstatistische und sekundärstatistische Erhebung......................................................22
3.3. Vollerhebung (Totalerhebung) und Teilerhebung............................................................22
3.3.1. Vollerhebung (Totalerhebung)...............................................................................23
3.3.2. Teilerhebungsarten.................................................................................................24
3.3.2.1. Bezüglich ausgewählter Merkmalssummen repräsentative
Teilerhebung: Teilerhebung nach dem Konzentrationsprinzip.................25
3.3.2.2. Bezüglich der Massenstruktur repräsentative Teilerhebung.....................26
3.3.2.2.1. Stichprobenerhebung...............................................................26
3.3.2.2.1.1. Eigenart und Anwendungsfelder der
Stichprobenerhebung...........................................26
3.3.2.2.1.2. Auswahlverfahren................................................27
3.3.2.2.1.3. Hochrechnungsverfahren und
Stichprobenfehlerrechnung..................................32
3.3.2.2.2. Quotenverfahren......................................................................32
3.3.2.2.3. Auswahl typischer Fälle...........................................................33
4. Erhebungsstrategien................................................................................................................33
5. Erhebungsfehler......................................................................................................................34
5.1. Systematischer Oberblick über die Erhebungsfehler........................................................34
5.2. Zufällige und systematische Fehler..................................................................................35
5.3. Fehlerquellen....................................................................................................................36
6. Kontrollen der erhobenen Daten.............................................................................................36
6.1. Operative Kontrolle..........................................................................................................37
6.2. Deskriptive Kontrolle.......................................................................................................37
4. Kapitel:
Die statistische Auswertung: Überblick über die Erkenntnisziele
und Methoden
1. Aufbereitung und Auswertung................................................................................................39
2. Die Auswertung: Systematischer Oberblick über Erkenntnisziele und Methoden..................39
TeilB
Deskriptive Auswertungsverfahren
5. Kapitel:
Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen.
Merkmalssummenverteilungen
Definition von Reihen, Gruppen und Verteilungen.................................................................45
1.1. Statistische Reihen. Häufigkeitsverteilungen...................................................................45
1.2. Gruppenbildung................................................................................................................46
1.3. Summenhäufigkeiten. Verteilungsfunktion......................................................................47
lAMerkmalssummenverteilung............................................................................................47
Tabellarische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen und
Merkmalssummenverteilungen: Gliederungstabellen.............................................................48
Inhaltsverzeichnis XIII
3. Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen und Merkmalssummenverteilungen.... 50
3.1. Graphische Darstellung der Merkmalswerte der Urliste..................................................50
3.2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen..................................................50
3.2.1. Balken-und Kreisdiagramme.................................................................................50
3.2.2. Histogramme..........................................................................................................51
3.2.3. Kemdichteschätzer.................................................................................................55
3.3. Graphische Darstellung von Merkmalssummenverteilungen...........................................58
3.4. Graphische Darstellung von kumulierten Verteilungen: Summenkurve .......................58
4. Mittelwerte - niveaucharakterisierende Maßzahlen................................................................59
4.1. Der häufigste Wert (dichteste Wert, Modus)...................................................................60
4.2. Der Zentralwert (Median)................................................................................................62
4.3. Das arithmetische Mittel..................................................................................................66
4.4. Das harmonische Mittel....................................................................................................68
4.5. Das quadratische Mittel....................................................................................................70
4.6. Das geometrische Mittel...................................................................................................70
4.7. Vergleich formaler Eigenschaften wichtiger Mittelwerte.................................................72
4.7.1. Größenverhältnisse.................................................................................................72
4.7.2. Reagibilität auf Ausreißer ...................................................................................73
4.7.3. Zugelassene Merkmalswerte..................................................................................73
4.8. Regel für die Wahl von Mittelwertformen.......................................................................73
5. Maßzahlen der Streuung.........................................................................................................73
5.1. Das Streuungsmaß von Gini.............................................................................................75
5.2. Die Variationsbreite (Spannweite)...................................................................................75
5.3. Quantilsabstände..............................................................................................................75
5.4. Das Intervall stärkster Besetzung (Streuungsmaß zum häufigsten Wert).........................77
5.5. Der mittlere und der totale Quartilsabstand (Streuungsmaße zum Zentralwert)...............78
5.6. Die durchschnittliche absolute Abweichung (Streuungsmaß
zum arithmetischen Mittel)...............................................................................................80
5.7. Die Standardabweichung (Streuungsmaß zum arithmetischen Mittel).............................80
5.8. Streuungmaße zum geometrischen Mittel und zum harmonischen Mittel.......................84
5.9. Die Reaktion der Standardabweichung und des totalen Quartilsabstandes
auf additive und multiplikative Transformation der Variablen........................................84
5.10. Maßzahlen der absoluten und relativen Streuung..........................................................84
6. Maßzahlender Schiefe............................................................................................................85
6.1. Schiefemaße zum häufigsten Wert...................................................................................86
6.2. Schiefemaße zum Zentralwert..........................................................................................88
6.3. Schiefemaße zum arithmetischen Mittel...........................................................................89
7. Maßzahlen der Wölbung.........................................................................................................91
7.1. Wölbungsmaße zum häufigsten Wert...............................................................................93
7.2. Wölbungsmaße zum arithmetischen Mittel......................................................................95
7.3. Wölbungsmaße zum Zentralwert......................................................................................96
8. Maßzahlen zur Beschreibung von Merkmalssummenverteilungen.........................................98
8.1. Definition von Merkmalssummenverteilungen.................................................................98
8.2. Niveaumaßzahlen (Mittelwerte) für Merkmalssummenverteilungen................................99
8.2.1. Schwerster Wert.....................................................................................................99
8.2.2. Scheidewert............................................................................................................99
8.2.3. Harmonisches Mittel einer Merkmalssummenverteilung.....................................100
8.3. Die Beschreibung der Struktur einer Merkmalssummenverteilung................................101
8.4. Maße der relativen Konzentration..................................................................................102
8.4.1. Lorenzkurve.........................................................................................................102
8.4.2. Punktuelles und summarisches Maß der relativen Konzentration aus der
Lorenzkurve.........................................................................................................104
XTV Inhaltsverzeichnis
8.5. Maße der absoluten Konzentration.................................................................................106
8.5.1. Konzentrationsraten.............................................................................................106
8.5.2. Herfindahl-Index der absoluten Konzentration....................................................107
8.6. Gegenläufige Veränderungen von absoluter und relativer Konzentration......................108
8.7. Die Beziehung zwischen summarischen Maßen der absoluten Konzentration
und Maßen der relativen Konzentration.........................................................................109
6. Kapitel:
Zeitreihen
1. Bedeutung und Definition von Zeitreihen.............................................................................111
2. Aufgaben der Zeitreihenanalyse............................................................................................112
3. Erster Schritt der Beschreibung und Analyse von Zeitreihen:
Die graphische Darstellung...................................................................................................113
3.1. Graphische Darstellung auf der arithmetischen Skala....................................................113
3.2. Halb-logarithmische graphische Darstellung..................................................................114
4. Komponenten einer Zeitreihe................................................................................................116
4.1. Der Sinn von Komponenten-Modellen .......................................................................116
4.2. Komponenten einer Zeitreihe im einzelnen....................................................................117
4.2.1. Trendkomponente................................................................................................117
4.2.2. Periodische (zyklische) Komponente...................................................................118
4.2.2.1. Zyklische Schwankungen und Zykluslänge............................................119
4.2.2.2. Form der Phasenfigur (Saisonfigur)........................................................119
4.2.2.2.1. Konstante Phasenfigur (Saisonfigur).....................................119
4.2.2.2.2. Variable Phasenfigur (Saisonfigur)...................................;....121
4.2.3. Irreguläre Komponente........................................................................................121
4.2.3.1. Irreguläre Komponente: Zufallsschwankungen......................................121
4.2.3.2. Irreguläre Komponente: Ausreißer.........................................................122
4.2.4. Kombination der Komponenten...........................................................................123
5. Isolierung und Eliminierung des Trends einer Zeitreihe.......................................................123
5.1. Die Darstellung des Trends durch eine mathematische Funktion.
Methode der kleinsten Quadrate.....................................................................................123
5.1.1. Festlegung eines Anpassungskriteriums...............................................................124
5.1.2. Wahl des Funktionstyps.......................................................................................125
5.1.3. Numerische Spezifikation der Parameter: Linearer Trend, parabolischer
Trend, Exponentialtrend.......................................................................................126
5.1.3.1. Lineare Trendfunktion............................................................................126
5.1.3.2. Trendpolynome höherer Ordnung..........................................................131
5.1.3.3. Exponentialtrend.....................................................................................132
5.1.4. Vorsicht bei Trendextrapolation..........................................................................133
5.2. Die Darstellung des Trends durch gleitende Mittel........................................................133
5.2.1. Warum gleitende Mittelung?................................................................................133
5.2.2. Gleitende Mittelung einer Zeitreihe ohne Periodik..............................................134
5.2.3. Gleitende Mittelung einer Zeitreihe mit Periodik: Verfahren der gleitenden
Phasendurchschnitte.............................................................................................138
5.3. Trendbereinigung...........................................................................................................139
5.3.1. Trendbereinigung durch Eliminierung des vorher berechneten Trends...............139
5.3.2. Trendbereinigung durch Berechnung von Differenzen oder Quotienten..............139
6. Isolierung und Eliminierung der periodischen Komponente.................................................140
6.1. Phasendurchschnittsverfahren........................................................................................141
6.1.1. Berechnung der mittleren Saisonfigur..................................................................141
6.1.2. Saisonbereinigung................................................................................................142
Inhaltsverzeichnis XV
6.2. Periodogrammverfahren.................................................................................................143
6.2.1. Berechnung der mittleren Saisonfigur..................................................................143
6.2.2. Saisonbereinigung................................................................................................146
6.3. Flexibles Periodogrammverfahren.................................................................................148
6.4. Vorjahresvergleich statt Saisonbereinigung: Eine Warnung..........................................152
6.5. Kalenderunregelmäßigkeiten..........................................................................................156
7. Kapitel:
Vergleichsmaßzahlen. Komponentenzerlegung.
Standardisierung
1. Überblick..............................................................................................................................159
2. Maßzahlendes Niveauvergleichs..........................................................................................159
2.1. Absolute und relative Niveauvergleiche.........................................................................159
2.2. Maßzahlen des relativierenden Niveauvergleichs: Meßzahlen und Indexzahlen...........161
2.2.1. Meßzahlen, Indexzahlen: Eine Art von Verhältniszahlen....................................161
2.2.2. Meßzahlen versus Indexzahlen............................................................................162
2.2.3. Konstruktionsprinzipien für Indexzahlen.............................................................166
2.2.3.1. Zwei Denkschulen..................................................................................166
2.2.3.2. Die Tests von I. Fisher........................................................................167
2.2.3.3. Die beiden Denkschulen: Unvereinbar?.................................................168
2.2.4. Meßzahlen und Indexzahlen für den intertemporalen Vergleich..........................169
2.2.4.1. Definitionen............................................................................................169
2.2.4.2. Rechenoperationen mit Zeitreihen aus Meßzahlen.................................170
2.2.4.2.1. Meßzahlen auf gleitender Basis und auf fester Basis.............170
2.2.4.2.2. Umbasieren...........................................................................170
2.2.4.2.3. Verketten (Verknüpfen) von 2 Meßzahlreihen
auf fester Basis.......................................................................170
2.2.4.3. Die Konstruktion praktisch wichtiger Indexzahlen.................................172
2.2.4.3.1. Ausgangsmaterial: Meßzahlen...............................................173
2.2.4.3.2. Die Mittelung der Meßzahlen zum Index..............................173
2.2.4.3.2.1. Arithmetische und harmonische Mittelung........173
2.2.4.3.2.2. Geometrische Mittelung....................................178
2.2.5. Meßzahlen und Indexzahlen für den interregionalen Niveauvergleich................179
2.2.5.1. Transitive und nichttransitive Indexformen............................................179
2.2.5.2. Vergleichbarkeit der Variablen und Gewichtungssysteme.....................181
2.2.6. Meßzahlen und Indexzahlen für den intersektoralen Niveauvergleich.................181
3. Strukturvergleich...................................................................................................................182
3.1. Ein summarisches Maß des Unterschiedes von Anteilsstrukturen..................................182
3.2. Strukturunterschiede zwischen Häufigkeitsverteilungen bezüglich der Streuung, der
Schiefe und der Wölbung...............................................................................................183
4. Analytischer Niveau-und Strukturvergleich: Standardisierung............................................184
4.1. Wozu analytische Vergleiche?.......................................................................................184
4.2. Standardisierung gewichteter Mittelwerte......................................................................184
4.2.1. Standardisierung bezüglich der Struktur..............................................................185
4.2.2. Standardisierung bezüglich der Gruppenmittel....................................................188
4.3. Standardisierung gewichteter Varianzen........................................................................188
5. Analytischer Niveau- und Strukturvergleich: Komponentenzerlegung.................................189
5.1. Niveaueffekt, Struktureffekt, Mischeffekt......................................................................189
5.1.1. Vergleiche durch Differenzenbildung..................................................................190
5.1.2. Vergleich durch Quotientenbildung.....................................................................191
5.2. Das allgemeine Problem der Komponentenzerlegung: die adäquate
Komponentenfiinktion....................................................................................................194
6. Kombination aus Niveau-und Strukturvergleich..................................................................196
XVI Inhaltsverzeichnis
8. Kapitel:
Regression und Korrelation
1. Die Messung von Beziehungen zwischen Variablen: Relationsmaße...................................199
2. Beziehungszahlen..................................................................................................................199
2.1.Definition.......................................................................................................................199
2.2. Klassifikation von Beziehungszahlen.............................................................................200
2.3. Statisch-punktuelle und dynamische Maße der Relation................................................201
3. Regression und Korrelation bei zwei quantitativen kardinal skalierten Variablen................203
3.1. Zwei Fälle kovariierender Variabler: Kovariierende Zeitreihen und
zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen....................................................................203
3.1.1. Kovariierende Zeitreihen.....................................................................................203
3.1.2. Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen für quantitative Merkmale...............205
3.1.3. Formale Übereinstimmungen zwischen kovariierenden Zeitreihen und
zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen........................................................207
3.2. Eine Maßfunktion für die Art des Zusammenhanges. Regressionslinie.........................207
3.2.1. Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate.............................207
3.2.2. Die zweite Regressionsfunktion X = f(Y).......................................................211
3.2.3. Nichtlineare Regressionsfunktionen.....................................................................212
3.2.4. Regression zwischen Frequenzreihen...................................................................212
3.2.5. Interpretation der Regressionsfunktion................................................................213
3.3. Maßzahlen des Grades des Zusammenhanges zwischen zwei quantitativen Variablen..213
3.3.1. Der Regressionskoeffizient als Maß der Stärke der Abhängigkeit der erklärten
Variablen von der erklärenden.............................................................................213
3.3.2. Die Streuung um die Regressionslinie als Maß des Grades der Abhängigkeit.....214
3.3.3. Die Kombination von Regressionskoefßzient und Standardabweichung
von der Regressionslinie......................................................................................215
3.3.4. Bestimmtheitsmaß. Korrelationskoeffizient.........................................................216
3.3.4.1. Herleitung des Bestimmtheitsmaßes und des Korrelations-
koeffizienten aus der Streuungszerlegung..............................................216
3.3.4.2. Zur Interpretation des linearen Korrelationskoeffizienten nach
Bravais-Pearson......................................................................................220
3.3.4.3. Eine einfache Herleitung des linearen Korrelationskoeffizienten...........223
3.3.4.4. Empfehlung............................................................................................224
3.3.4.5. Warnung: Scheinkorrelationen...............................................................225
3.4. Nicht-lineare Regression und Korrelation......................................................................225
3.5. Kern-Regression.............................................................................................................226
4. Regression und Korrelation bei mehreren quantitativen kardinal skalierten Variablen........228
4.1. Multiple Regression.......................................................................................................228
4.1.1. Aufgabenstellung.................................................................................................228
4.1.2. Herleitung und Interpretation einer multiplen Regressionsfunktion.....................229
4.1.2.1. Die Normalgleichungen für die partiellen Regressionskoeffizienten......229
4.1.2.2. Die Effekte von Interkorrelation zwischen erklärenden Variablen.........232
4.1.3. Standardabweichung von der Regressionsebene..................................................238
4.1.4. Einige Anmerkungen zur multiplen Regressionsfunktion....................................238
4.2. Multiple und partielle Korrelation..................................................................................240
4.2.1. Multiple Korrelation............................................................................................240
4.2.2. Partielle Korrelation.............................................................................................242
4.2.3. Die Varianz-Kovarianz-Matrix............................................................................243
5. Die Beschreibung der Beziehung zwischen ordinal skalierten Variablen.............................244
5.1. Definition und Interpretation von Beziehungen zwischen ordinal
skalierten Variablen.......................................................................................................244
5.2. Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman..................................................................245
Inhaltsverzeichnis XVII
6. Die Beschreibung der Beziehung zwischen qualitativen (nominal skalierten)
Variablen: Assoziationsmaße................................................................................................248
6.1. Definition und Interpretation von Beziehungen zwischen qualitativen Variablen.........248
6.2. Assoziationsmaße: Anteilsdifferenzen...........................................................................249
6.3. Assoziationsmaße: (P-Koeffizient als Korrelationskoeffizient.......................................251
6.4. Assoziationsmaße: Der (^-Koeffizient als mittlere quadratische Kontingenz................253
TeilC
Stochastische Statistik
9. Kapitel:
Stochastisches Schließen:
Stichproben, Schätzen, Testen. Ein Überblick
1. Was heißt: Stochastische Statistik ?...................................................................................257
2. Arten von Urteilen der stochastischen Statistik.....................................................................259
2.1. Indirekter Schluß, direkter Schluß, Transponierungsschluß...........................................259
2.2. Stochastisches Schätzen und stochastisches Testen.......................................................259
3. Grundgesamtheiten und stochastische Prozesse....................................................................260
4. Wahrscheinlichkeitstheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stochastik,
stochastische Statistik...........................................................................................................261
10. Kapitel:
Grundbegriffe der Stochastik: Wahrscheinlichkeitsmaße.
Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1. Wahrscheinlichkeit, Zufällige Ereignisse..............................................................................263
1.1. Was ist Wahrscheinlichkeit?..........................................................................................263
1.1.1. Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeit......................................................264
1.1.1.1. Objektive Wahrscheinlichkeit. Allgemeine (konstante)
und zufällige (variable) Ursachen...........................................................264
1.1.1.2. Subjektive Wahrscheinlichkeit...............................................................266
1.1.2. Ereigniswahrscheinlichkeit und Geltungswahrscheinlichkeit...............................267
1.1.3. A priori-Wahrscheinlichkeiten und a posteriori-Wahrscheinlichkeiten...............270
1.1.4. Zur Geschichte des Wahrscheinlichkeitsbegriffes................................................271
1.1.5. Zufall und Kausalität............................................................................................273
1.1.6. Wahrscheinlichkeitsdefinitionen und Wahrscheinlichkeitsrechnung...................275
1.2. Zufallsvorgänge, zufälliges Ereignis, Elementarereignis................................................276
1.2.1. Zufallsvorgang.....................................................................................................276
1.2.2. Zufälliges Ereignis. Elementarereignis.................................................................277
2. Wahrscheinlichkeit von Ereignissen.....................................................................................278
2.1. Implikationen der Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace......................................278
2.2. Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff....................................................................279
XVIII Inhaltsverzeichnis
2.3. Rechenoperationen mit Wahrscheinlichkeiten...............................................................280
2.3.1. Der Additionssatz der Wahrscheinlichkeiten.......................................................280
2.3.2. Der Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeiten..............................................282
2.3.3. Bedingte Wahrscheinlichkeit...............................................................................284
2.3.4. Totale Wahrscheinlichkeit...................................................................................286
2.3.5. Der Satz von Bayes..............................................................................................287
3. Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung..............................................................289
3.1. Zufallsvariable................................................................................................................289
3.2. Wahrscheinlichkeitsverteilung.......................................................................................290
3.2.1. Wahrscheinlichkeitsfunktion................................................................................291
3.2.2. Verteilungsfunktion..............................................................................................293
4. Die Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsvariabler
durch Maßzahlen...................................................................................................................294
4.1. Entstehen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Zufallsziehung aus einer
Häufigkeitsverteilung.....................................................................................................295
4.2. Maßzahlen zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Erwartungswert und Varianz..........................................................................................296
4.2.1. Erwartungswert....................................................................................................296
4.2.2. Varianz................................................................................................................297
4.2.3. Wahrscheinlichkeitsverteilung und Häufigkeitsverteilung
der Grundgesamtheit............................................................................................297
5. Regeln des Rechnens mit Erwartungswerten und Varianzen................................................298
6. Wahrscheinlichkeitsverteilungen wichtiger Stichprobenmaßzahlen.....................................299
6.1. Binomialverteilung: exakte Wahrscheinlichkeitsverteilung einer relativen
oder absoluten Häufigkeit..............................................................................................300
6.1.1. Ableitung der Binomialverteilung........................................................................300
6.1.2. Eigenschaften der Binomialverteilung.................................................................302
6.1.3. Hinweise für das Arbeiten mit der Binomialverteilung........................................304
6.2. Hypergeometrische Verteilung: exakte Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer relativen oder absoluten Häufigkeit.......................................................................305
6.2.1. Ableitung der hypergeometrischen Verteilung.....................................................305
6.2.2. Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung..............................................307
6.2.3. Hinweise für das Arbeiten mit der hypergeometrischen Verteilung.....................309
6.3. Die exakte Wahrscheinlichkeitsverteilung des arithmetischen Stichprobenmittels........310
6.4. Die Normalverteilung von Gauß-Laplace......................................................................311
6.4.1. Historisches..........................................................................................................311
6.4.2. Definition und Eigenschaften der Normalverteilung............................................312
6.4.2.1. Dichtefunktion der Normalverteilung.....................................................312
6.4.2.2. Verteilungsfunktion der Normalverteilung.............................................314
6.4.3. Die Normalverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung des arithmetischen
Stichprobenmittels...............................................................................................318
6.4.3.1. Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeit...............................318
6.4.3.2. Die numerische Spezifikation der Wahrscheinlichkeitsverteilung
des arithmetischen Stichprobenmittels....................................................319
6.4.3.3. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für x mit Hilfe der Tafel der
normierten Normalverteilung..................................................................321
6.4.4. Die Normalverteilung als Approximationsverteilung für die
Binomialverteilung...............................................................................................322
6.4.4.1. Bedingungen der Approximation............................................................322
6.4.4.2. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten des homograden Falles
mit Hilfe der Tafel der normierten Normalverteilung.............................324
6.4.5. Die Normalverteilung als Approximationsverteilung für die
hypergeometrische Verteilung.............................................................................326
6.5. Die Poisson-Verteilung als Approximation der Binomialverteilung und der
hypergeometrischen Verteilung......................................................................................327
7. Die Ungleichung von Tschebyscheff....................................................................................329
Inhaltsverzeichnis XIX
Das Gesetz der großen Zahlen. Bernoullisches Theorem......................................................332
8.1. Die allgemeine Leitidee..................................................................................................332
8.2. Konsistente Schätzwerte. Bernoullisches Theorem........................................................333
8.3. Andere Erscheinungsformen des Gesetzes der großen Zahlen: Stabilität von
Ergebnissen aus großen Beobachtungszahlen................................................................334
11. Kapitel:
Stochastisches Schätzen
1. Stochastisches Schätzen und Schätzwerte.............................................................................337
2. Erwünschte Eigenschaften von Punktschätzwerten...............................................................338
2.1. Genauigkeit, Sicherheit..................................................................................................338
2.2. Stochastische Eigenschaften der Schätzwerte................................................................339
2.2.1. Konsistenz............................................................................................................339
2.2.2. Erwartungstreue (Unverzerrtheit).........................................................................340
2.3.3. Effizienz...............................................................................................................342
2.3.4. Verzerrte, aber genauere Schätzwerte..................................................................342
3. Schätzverfahren zur Punktschätzung.....................................................................................343
3.1. Konstruktion von Schätzfunktionen...............................................................................343
3.2. Maximum-Likelihood-Methode.....................................................................................343
3.2.1. Leitidee..................................................................... .........................................343
3.2.2. Maximum-Likelihood-Schätzung der Parameter/ , X und ax.........................344
3.2.2.1. Die Schätzung des Anteils P in der Grundgesamtheit............................344
3.2.2.2. Arithmetisches Mittel und Standardabweichung einer
normalverteilten Grundgesamtheit..........................................................345
3.2.2.3. Voraussetzung einer Maximum-Likelihood-Schätzung:
Die Kenntnis des Verteilungstyps...........................................................348
3.3. Die Methode der kleinsten Quadrate..............................................................................348
3.4. Das Prinzip der erwartungstreuen Schätzwerte..............................................................348
4. Intervallschätzung.................................................................................................................349
4.1. Punktschätzung und Intervallschätzung..........................................................................349
4.2. Die Konstruktion eines Konfidenzintervalles für das Grundgesamtheitsmittel..............349
4.2.1. Symmetrisches Konfidenzintervall.......................................................................349
4.2.2. Einseitige Konfidenzintervalle..........................................................................353
4.2.3. Prognoseintervall für ein Stichprobenergebnis auf Grund einer
anderen Stichprobe: Transponierungsschluß........................................................353
4.2.4. Verhältnis von Sicherheit und Genauigkeit bei der Intervallschätzung................355
4.3. Die Konstruktion von Konfidenzintervallen für eine relative Häufigkeit in der
Grundgesamtheit............................................................................................................356
4.3.1. Die Konstruktion von symmetrischen Konfidenzintervallen................................356
4.3.2. Einseitige Konfidenzintervalle..........................................................................358
4.3.3. Absolute und relative Genauigkeit.......................................................................358
4.3.4. Kleine Werte von P..............................................................................................359
5. Kleine Stichproben................................................................................................................359
6. Modifikation des Auswahlverfahrens zur Steigerung der Effizienz der Schätzung:
Schichtenverfahren................................................................................................................361
6.1. Streuungsreduzierung durch geschichtete Auswahl........................................................361
6.2. Rückschluß: Konfidenzintervall.....................................................................................363
6.3. Effizienzsteigerung: Schichteneffekt..............................................................................364
7. Die Bestimmung des erforderlichen Stichprobenumfangs....................................................365
7.1. Vorgabe der absoluten Genauigkeit und der Sicherheit.................................................365
7.1.1. Schätzung eines arithmetischen Mittels...............................................................365
7.1.2. Schätzung einer relativen Häufigkeit...................................................................366
XX Inhaltsverzeichnis
7.2. Vorgabe der relativen Genauigkeit und der Sicherheit...................................................367
7.2.1. Schätzung eines arithmetischen Mittels...............................................................367
7.2.2. Schätzung einer relativen Häufigkeit...................................................................368
8. Zur Validität von Intervallschätzungen.................................................................................368
8.1. Intervallschätzung in der amtlichen Statistik unüblich...................................................368
8.2. Die Beurteilung des Genauigkeitsgrades........................................................................369
8.3. Die Beurteilung des Sicherheitsgrades...........................................................................369
8.3.1. Aussagesicherheit und Irrtumswahrscheinlichkeit: absolute und relative
Unterschiede........................................................................................................369
8.3.2. Interpretation der Irrtumswahrscheinlichkeit als effektive Häufigkeit................370
8.3.3. Interpretation der Irrtumswahrscheinlichkeit über den Erwartungswert
eines Verlustes.....................................................................................................371
8.3.4. Der Regelfall der Bevölkerungs- und Wirtschaftsstatistik:
Irrtumswahrscheinlichkeit kaum interpretierbar...................................................371
8.4. Tauschverhältnis zwischen Ungenauigkeit und Unsicherheit.........................................372
12. Kapitel:
Stochastisches Testen
1. Grundlegende Begriffe und Konzepte...................................................................................375
1.1. Stochastischer Test: Hypothesetest................................................................................375
1.2. Ein exemplarischer Fall von Hypothesetest...................................................................375
1.3. Das Verhältnis von stochastischem Testen und stochastischem Schätzen......................377
1.4. Arten von Hypothesetests über Parameterwerte.............................................................378
1.4.1. Parametertest und Verteilungstest........................................................................378
1.4.2. Test von Punkthypothesen und Test von Intervallhypothesen.............................378
1.4.2.1. Punkfhypofhesen.....................................................................................378
1.4.2.2. Intervallhypofhesen.................................................................................380
1.4.3. Einseitiger Test und zweiseitiger Test..................................................................381
1.4.4. Signifikanztest und Alternativtest........................................................................382
1.4.4.1. Signifikanztest........................................................................................382
1.4.4.2. Verwerfung von Ho: Annahme von Hi...................................................383
1.4.4.3. Spezifizierender Alternativtest...............................................................384
1.4.5. Ein-Stichproben-Test und Zwei-Stichproben-Test: Signifikanztest für den
Unterschied zwischen den Maßzahlen zweier Stichproben..................................389
1.5. Vorgegebenes Signifikanzniveau versus empirische
Überschreitungswahrscheinlichkeit................................................................................392
2. Zusammenstellung wichtiger Signifikanztests.......................................................................394
2.1. Parametertest mit normalverteilter Stichprobenmaßzahl................................................394
2.1.1. Test von Hypothesen über das arithmetische Mittel einer Grundgesamtheit........394
2.1.1.1. Zweiseitiger Test....................................................................................394
2.1.1.1.1. Zweiseitiger Test einer Punkthypothese................................394
2.1.1.1.2. Zweiseitiger Test einer Intervallhypothese............................395
2.1.1.2. Einseitiger Test.......................................................................................397
2.1.2. Signifikanztest einer Hypothese über eine relative Häufigkeit in einer
Grundgesamtheit..................................................................................................398
2.1.2.1. Zweiseitiger Test einer Punkfhypofhese.................................................398
2.1.2.2. Zweiseitiger Test einer Intervallhypothese.............................................400
2.1.2.3. Einseitiger Test einer Intervallhypothese................................................402
2.1.3. Test einer Hypothese über die Differenz zwischen Parameterwerten
zweier Grundgesamtheiten...................................................................................403
Inhaltsverzeichnis XXI
2.2. Test einer Hypothese über Häufigkeiten bei fehlender Normalverteilung der
Stichprobenmaßzahlen...................................................................................................403
2.2.1. Test einer Intervallhypothese mittels der Binomialverteilung oder
hypergeometrischen Verteilung............................................................................404
2.2.2. Test einer Intervallhypothese mittels der Poisson-Verteilung..............................407
2.3. Test einer Hypothese über eine Varianz.........................................................................407
2.3.1. Der Testansatz......................................................................................................407
2.3.2. Eigenschaften der r2-Verteilung..........................................................................408
2.3.3. Die Prozedur des x -Tests einer Varianz.............................................................409
2.4. Ein Verteilungstest.........................................................................................................414
2.4.1. % -Anpassungstest ohne Parameterschätzung......................................................414
2.4.2. x -Test einer Hypothese über den Verteilungstyp bei
unbekannten Parametern......................................................................................416
Grundbegriffe der statistischen Qualitätskontrolle................................................................418
3.1. Arten der statistischen Qualitätskontrolle.......................................................................418
3.2. Laufende Fertigungskontrolle........................................................................................419
3.3. Abnahmeprüfung............................................................................................................422
Zur Validität und Verläßlichkeit von stochastischen Hypothesetests....................................424
4.1. Es müssen wirkliche Stichproben sein...........................................................................424
4.2. Signifikanzniveau: Nach welchen Kriterien bemessen?.................................................424
4.3. Signifikanztest: Nichtablehnung von Wo ist nicht gleichbedeutend *
mit Annahme von Ho......................................................................................................425
4.4. Punkthypothesen sind fast immer falsch und meistens wenig fruchtbar.........................425
4.5. Stochastische Signifikanz bedeutet nicht quantitative Relevanz....................................426
4.6. Verteilungsfiktionen.......................................................................................................427
4.7. Hypothesetests: Hypothetischer direkter Schluß oder Rückschluß?...............................427
13. Kapitel:
Stochastische Regression
1. Einfuhrung............................................................................................................................429
2. Lineare Einfachregression.....................................................................................................432
2.1. Die Annahmen des stochastischen Regressionsmodells.................................................432
2.2. Bestimmung der Parameter............................................................................................434
2.3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Parameter.........................................................434
2.3.1. Erwartungswerte der Regressionsparameter.........................................................435
2.3.2. Varianz und Standardabweichung der Regressionsparameter..............................435
2.3.3. Konfidenzintervalle für Regressionsparameter....................................................438
2.3.4. Tests von Hypothesen über Regressionsparameter..............................................439
2.3.4.1. Vorüberlegungen....................................................................................439
2.3.4.2. Zur Testprozedur....................................................................................440
2.4. Konfidenzintervalle um die Regressionslinie.................................................................441
2.4.1. Das Konfidenzintervall für Regressionswerte......................................................441
2.4.2. Das Konfidenzintervall für individuelle Werte....................................................443
3. Multiple lineare Regression..................................................................................................443
3.1. Das multiple Regressionsmodell in Matrixnotation.......................................................444
3.2. Stochastische Annahmen................................................................................................448
3.3. Varianz und Standardabweichung für Regressionskoeffizienten sowie
partielle Bestimmtheitsmaße..........................................................................................449
3.4. Der F-Test zur Signifikanzbeurteilung der Regression..................................................451
XXII Inhaltsverzeichnis
4. Verletzungen der Modellannahmen......................................................................................453
4.1.Multikollinearität............................................................................................................453
4.2. Autokorrelation..............................................................................................................455
4.3.Heteroskedastizität.........................................................................................................456
4.3.1. Der Goldfeld-Quandt-Test...................................................................................456
4.3.2. Der White-Test.....................................................................................................457
Tabellen
1. Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung......................................................................460
2. Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung..............................................................461
3. Poisson-Verteilung.................................................................................................................465
2
4. % -Verteilung..........................................................................................................................466
5. r-Verteilung.............................................................................................................................469
5.1. Kritische Werte ta/2,vdes zweiseitigen /-Tests................................................................469
5.2. Überschreitungswahrscheinlichkeit ( 5) des zweiseitigen ï-Tests.....................................470
6. Kritische Werte des einseitigen F-Tests für a=0,05...............................................................472
7. Durbin-Watson-Statistik für eine Irrtumswahrscheinlichkeit «=0,05.....................................475
Symbolverzeichnis......................................................................................................................477
Literatur......................................................................................................................................487
Sachwortverzeichnis...................................................................................................................489
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