Equations différentielles p-adiques: applications aux sommes exponentielles
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Paris
Hermann
1994
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Préface 1
Résumé 6
I Sommes de caractères sur les corps finis s
1 Caractères sur les corps finis 8
1.1 Caractères sur les groupes abéliens finis 8
1.2 Corps finis 10
1.3 Caractères multiplicatifs et additifs sur un corps fini 12
2 Sommes de caractères 14
2.1 Définition et exemples 14
2.2 Nombre de points d une courbe algébrique :
cas d un revêtement de Kummer 16
2.3 Nombre de points d une courbe algébrique :
cas d un revêtement d Artin Schreier 18
2.4 Fonctions L 20
2.5 Fonctions Zêta 22
3 Présentation des méthodes utilisées 25
3.1 Cohomologies p adiques 25
3.2 Frobenius et formule des traces 26
II Analyse Ultramétrique 27
4 Corps ultramétriques 27
4.1 Anneaux ultramétriques 27
4.2 Lemmes de Hensel 28
4.3 Normes ultramétriques 30
4.4 Corps algébriquement clos 31
4.5 Calculs p adiques 33
4.6 Représentants de Teichmùller 35
4.7 Corps maximalement complets 37
5 Éléments analytiques 38
5.1 Valeurs absolues sur Cp[a;] 38
5.2 Ensembles affinoïdes connexes et fractions rationnelles 41
5.3 Théorème de Mittag Leffler 44
5.4 Fonctions analytiques dans une couronne 48
5.5 L anneau H(A) 54
II Table des matières
6 Espaces dague de Monsky Washnitzer 59
6.1 Espaces dague 59
6.2 Résidus 61
6.3 Dualité 64
6.4 Intégrale de Cauchy et dualité algébrique 66
6.5 Dualité topologique 68
7 Opérateurs à indice 72
7.1 Propriétés algébriques 72
7.2 Cas des espaces de Banach 74
7.3 Indices généralisés 79
8 Opérateurs à trace 84
8.1 Bases orthogonales 84
8.2 Opérateurs complètement continus 86
8.3 Opérateurs nucléaires 92
III Formule de l indice 101
9 Solution dans le disque générique. Principe de Transfert 101
9.1 Disque générique 101
9.2 Solution au voisinage du point générique 102
9.3 Spécialisation dans un disque ordinaire 106
10 Indice dans un disque. Cas d un opérateur non soluble 107
10.1 Existence de l indice 107
10.2 Calcul de l indice 110
10.3 Formule d additivité 114
10.4 Sens de variation de l indice 115
10.5 Exemples de calcul d indices 117
10.6 p courbure 119
11 Indice dans un disque. Cas d un opérateur soluble 122
11.1 Non existence de l indice dans le cas soluble 122
11.2 Caractérisation des opérateurs solubles 124
11.3 Nombres de Liouville p adique 127
11.4 disques singulier régulier 130
12 Indice dans un disque. Cas Général 134
12.1 Formule de l indice 134
12.2 Estimation de l indice 236
13 Irrégularité 137
13.1 Irrégularité d un opérateur différentiel dans un disque. .... 137
13.2 Exponentielles de Artin Hasse généralisées 140
13.3 Application à l irrégularité 145
13.4 Irrégularité en un point 147
Table des matières III
IV Cohomologies de Monsky Washnitzer 150
14 Modules différentiels 150
14.1 Définition 150
14.2 Formule de changement de base 151
14.3 Exposants 152
14.4 Réduction au cas des fractions rationnelles 152
15 Complexe de De Rham 154
15.1 Espaces de cohomologie 154
15.2 Module trivial 155
15.3 Le théorème de décomposition 157
15.4 Calcul de la cohomologie dans le cas de rang un 159
16 L exemple fondamental 161
16.1 Le module différentiel M 161
16.2 Première réduction 162
16.3 Deuxième réduction 162
16.4 Calcul de la cohomologie 164
V Frobenius 166
17 Les opérateurs 0 et ip 166
17.1 Propriétés formelles 166
17.2 Action sur les polynômes 167
17.3 Actions sur les fractions rationnelles 171
17.4 Action sur les fonctions et éléments analytiques 171
17.5 Action sur les espaces dague 173
18 Foncteurs de Frobenius et de Dwork 175
18.1 Foncteur de Frobenius 175
18.2 Successeur : unicité 177
18.3 Successeur : existence 184
18.4 Structure de Frobenius forte 188
18.5 Exemples de successeurs 189
18.6 Foncteur de Dwork 193
VI Sommes de caractères et fonctions L 199
19 La formule de trace 199
19.1 Trace de l opérateur $t0H 199
19.2 Trace de l application de Dwork 202
20 Relèvement des caractères 204
20.1 Relèvement des caractères multiplicatifs 204
20.2 Caractères multiplicatifs sur les extensions 206
20.3 La fonction 6 207
20.4 Relèvement des caractères additifs 210
20.5 Caractères additifs sur les extensions 211
IV Table des matières
21 Sommes de caractères et fonction L 212
21.1 Expression des sommes de caractères 212
21.2 Cohomologie associée aux sommes de caractères et fonctions L . . 213
21.3 Degré des fonctions L 215
21.4 Sommes de Gauss 217
21.5 Formule de Gross Koblitz (p^2) 218
21.6 Sommes de Jacobi 221
21.7 Sommes de Kloosterman 222
VII Théorie duale 223
22 Complexe dual 223
22.1 Module différentiel dual 223
22.2 Application symplectique 227
22.3 Action de Frobenius 228
22.4 Transposées des applications de Dwork et de Frobenius .... 228
23 Autodualité 230
23.1 Cup produit 230
23.2 Equation fonctionnelle des fonctions L 232
23.3 Exemples 235
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