Nichtlineare Optimierung: eine Einführung in Theorie, Verfahren und Anwendungen
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| Language: | German |
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2002
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| Series: | Vieweg-Studium : Aufbaukurs Mathematik
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| adam_text | 1 Optimierungsaufgaben 1
1.1 Aufgabenstellung und Beispiele........................ 1
1.2 Existenz von Lösungen............................. 5
1.3 Konvexe Optimierungsaufgaben........................ 7
1.4 Testfunktionen................................. 10
1.5 Numerische Lösung nichtlinearer Optimierungsaufgaben.......... 14
1.6 Software zur Lösung von Optimierungsproblemen.............. 15
1.7 Mathematische Grundlagen.......................... 16
2 Ableitungsfreie Verfahren 21
2.1 Das Verfahren von Neider und
2.1.1 Grundlagen des Verfahrens...................... 21
2.1.2 Das Verfahren ............................. 24
2.1.3 Abbruchkriterium........................... 26
2.1.4 Numerische Resultate......................... 26
2.2 Ein Mutations-Selektions-Verfahren...................... 31
2.2.1 Beschreibung des Verfahrens ..................... 31
2.2.2 Numerische Resultate......................... 31
2.3 Anwendungen.................................. 36
2.3.1 Nichtlineare Regression........................ 36
2.3.2 Parameterschätzung bei Differentialgleichungen........... 39
2.3.3 Ein Problem aus der Hydrologie ................... 42
2.3.4 Lagerhaltung.............................. 45
3 Unrestringierte Optimierungsprobleme: Theorie 49
3.1 Optimalitätsbedingungen ........................... 49
3.1.1 Notwendige Bedingungen erster Ordnung.............. 49
3.1.2 Notwendige Bedingungen zweiter Ordnung ............. 51
3.1.3 Hinreichende Bedingungen zweiter Ordnung............. 53
3.2 Konvexe Optimierungsaufgaben........................ 55
3.3 Parameterabhängige Probleme ........................ 62
4 Unrestringierte Optimierungsprobleme: Verfahren 67
4.1 Grundlagen................................... 67
4.2 Berechnung von Ableitungen ......................... 69
4.3 Das Newton-Verfahren............................. 71
4.4 Konstruktion von Abstiegsverfahren..................... 76
4.4.1 Effiziente Schrittweiten ........................ 76
4.4.2 Gradientenbezogene Suchrichtungen................. 79
4.4.3 Allgemeine Konvergenzsätze...................... 82
4.5 Schrittweitenverfahren............................. 86
4.5.1 Exakte Schrittweitenbestimmung................... 87
4.5.2 Schrittweitenverfahren von
4.5.3 Schrittweitenverfahren von Powell .................. 93
4.5.4 Allgemeine Konvergenzresultate ............. ...... 97
4.6 Das Gradientenverfahren............................ 97
4.6.1 Richtung des steilsten Abstiegs.................... 97
4.6.2 Das Verfahren ............................. 98
4.6.3 Numerische Resultate......................... 99
4.7 Das gedämpfte Newton-Verfahren....................... 106
4.7.1 Das Verfahren ............................. 107
4.7.2 Richtung des steilsten Abstiegs.................... 108
4.7.3 Konvergenz des Verfahrens...................... 109
4.7.4 Modifikationen des Verfahrens.................... 117
4.7.5 Numerische Resultate......................... 117
4.8 Variable-Metrik- und Quasi-Newton-Verfahren ............... 121
4.8.1 Allgemeine Form der Verfahren.................... 121
4.8.2 Globale Konvergenz von Variable-Metrik-Verfahren......... 121
4.8.3 Quasi-Newton-Verfahren........................ 123
4.8.4 Die BFGS-Updateformel........................ 124
4.8.5 Das BFGS-Verfahren für quadratische Optimierungsprobleme . . . 126
4.8.6 Das BFGS-Verfahren für nichtlineare Optimierungsprobleme . . . 130
4.8.7 Numerische Resultate......................... 131
4.9 Verfahren konjugierter Richtungen...................... 135
4.9.1 CG-Verfahren für quadratische Optimierungsprobleme....... 135
4.9.2 CG-Verfahren für mchtlineare Optimierungsprobleme ....... 138
4.9.3 Numerische Resultate......................... 139
4.10 Trust-Region-Verfahren............................ 142
4.10.1 Einführung............................... 142
4.10.2 Ein Trust-Region-Newton-Verfahren................. 144
4.10.3 Das Trust-Region-Hilfsproblem.................... 154
4.10.4 Numerische Resultate......................... 155
4.11 Anwendungen.................................. 157
4.11.1 Nichtlineare Ausgleichsprobleme................... 157
4.11.2 Parameterschätzung bei Differentialgleichungen........... 160
4.11.3 Optimale Steuerung.......................... 164
Optimierungsprobleme mit linearen Restriktionen: Theorie 175
5.1 Grundlagen und Beispiele........................... 175
5.1.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.............. 175
5.1.2 Quadratische Minimierungsprobleme................. 176
5.1.3 Beispiel: Lagerhaltung......................... 176
5.2 Optimalitätsbedingungen erster Ordnung.................. 179
5.3 Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung.................. 184
5.3.1 Notwendige Bedingungen....................... 184
5.3.2 Hinreichende Bedingungen....................... 185
5.4
5.4.1 Problemstellung und Beispiele .................... 189
5.4.2 Optimalitätsbedingungen erster Ordnung.............. 190
5.4.3 Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung ............. 191
5.4.4 Nullraum-Matrizen........................... 192
5.4.5 Quadratische Minimierungsprobleme.................. 196
5.4.6 Parameterabhängige Probleme.................... 197
5.4.7 Dynamische Optimierungsprobleme ................. 202
5.5 Lineare Ungleichungsnebenbedingungen................... 207
5.5.1 Problemstellung und Beispiele .................... 207
5.5.2 Notwendige Optimalitätsbedingungen................ 208
5.5.3 Hinreichende Optimalitätsbedingungen................ 215
5.5.4 Strikte Komplementarität....................... 218
5.5.5 Parameterabhängige Probleme.................... 218
5.5.6 Probleme mit Variablenbeschränkungen............... 223
6 Optimierungsprobleme mit linearen Restriktionen: Verfahren 225
6.1 Quadratische Probleme mit Gleichungsrestriktionen ............ 225
6.2 Quadratische Probleme mit Ungleichungsrestriktionen........... 229
6.3 Nichtlineare Probleme mit Gleichungsrestriktionen............. 240
6.4 Nichtlineare Probleme mit Ungleichungsrestriktionen............ 246
6.4.1 Ein Newton-SQP-Verfahren für
6.4.2 Variable-Metrik-Verfahren....................... 252
7 Optimierungsprobleme mit nichtlinearen Restriktionen: Theorie 259
7.1 Grundlagen und Beispiele...........................259
7.2 Optimalitätsbedingungen erster Ordnung..................261
7.3 Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung..................281
7.4 Parameterabhängige Probleme ........................284
8 Optimierungsprobleme mit nichtlinearen Restriktionen: Verfahren 291
8.1 Das Lagrange-Newton-SQP-Verfahren.................... 291
8.2 Sequentielle quadratische Minimierung.................... 295
8.2.1 Berechnung der Suchrichtung..................... 296
8.2.2 Berechnung der Schrittweite...................... 301
8.2.3 Grundversion des SQP-Verfahrens.................. 303
8.2.4 Globale Konvergenz im konvexen Fall................ 304
8.3 Anwendungen.................................. 305
8.3.1 Optimale Steuerung.......................... 305
8.3.2 Parameterschätzprobleme....................... 307
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