Mathematische Ergänzungen zur Einführung in die Physik:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Springe
Binomi
2002
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| adam_text | Titel: Mathematische Ergänzungen zur Einführung in die Physik
Autor: Korsch, Hans-Jürgen
Jahr: 2002
Inhaltsverzeichnis
1 Vektoren 1
1.1 Vektoren unci Tensoren in dor Physik..............................1
1.2 Vektorreclinung......................................................4
1.2.1 Reehnen mit Vektoren......................................5
1.2.2 Abstraktion des VektorbegrifFs............................7
1.2.3 Das Skalarprodukt..........................................10
1.2.4 Das Vektorprodukt..........................................12
1.2.5 Komponentendarstellung ..................................14
1.2.6 Das Spatprodukt............................................19
1.2.7 Das doppolte Vektorprodukt ..............................22
1.3 Differentiation ......................................................23
1.3.1 Differentiation von Vektorfunktionen......................26
1.3.2 Die partielle Ableitung......................................28
1.4 Krummlinige Koordinaten I........................................32
1.4.1 Ebenc Polarkoordinaten....................................34
1.4.2 Zylinderkoordinaten........................................38
1.4.3 Kugelkoordinaten............................................39
1.4.4 Allgeineine orthogonale Koordinatensysteme ............44
1-5 Aufgabcn............................................................45
v
VI
JjVHALTSVERZEfCHNfS
2 Datenanalyse und Fehlerrechnung*
2 1 Messungen und Mcfisfo.hlcr.................
r ()
2.1.1 Die ................................
r. 9
2.1.2 Die Lorentz- Verteilung ..................
2.1.3 Statistische Mafic einer Messreihc..........................°3
2.2 ......................................................................00
57
2.3 Ausgleichsrcchnung....................
2.4 Aufgaben............................................................00
3 Vektorarialysis I ^
3.1 Der Gradient....................................................^
3.2 Die Divergenz........................................................^
3.3 Die notation......................................................70
3.4 Divergenz und Rotation............................................71
3.5 Aufgaben......................................74
4 Grundprobleme dcr Dynamik 75
1.1 Gradientenfelder und Energieerhaltung............................79
4.1.1 Dcr schrage Wurf............................................80
4.1.2 Das Federpendel............................................83
4.1.3 Das mathematisehe Pendel................................85
4.1.4 Bewegungsgleiehungen in Polarkoordinatcn..............90
4.2 Inipulssatz und Drehimpulssatz....................................93
4.3 Das Zweiteilehensystein............................................95
4.4 Zentralkraftfelder und Dreliimpulserhaltuug......................90
4.4.1 Keplerproblem..............................................102
4.5 Aufgaben............................................................113
5 Matrizen und Tensoren 115
5.1 Reehnen mit Matrizen..............................................116
5.2 Quadrat ische Matrizen..............................Hg
5.2.1 Taylor-Entwieklung im ................................122 j
5.2.2 Eigemverte und Eigenvektoren ............................123 I
INHALTSVERZEICHNIS vii
5.2.3 Der Traghcitstensor.................... 127
5.3 Draining des Koordinatensystcms................. 128
5.3.1 Transformation von Vektorcn............... 131
5.3.2 Transformation von Matrizen* ............................132
5.3.3 Drehungcn*..................................................134
5.4 Diagonalisierung und Matrix-Funktioncn*........................137
5.4.1 Transformation auf Diagonalform..........................137
5.4.2 Matrix- Funktionen..........................................141
5.5 Aufgaben............................................................145
6 Lineare Differentialgleichungen* 147
6.1 Gleichungen zweiter Ordnung......................................148
G.2 Systeme erster Ordnung............................................151
6.3 Aufgaben............................................................155
7 Lineare Schwingungen 157
7.1 Der harmonische Oszillator........................................158
7.1.1 Die freie Scliwingung........................................159
7.1.2 Erzwungene Schwingungen ................................166
7.1.3 Energiebilanz................................................169
7.1.4 Dynamik im Phascnrauin* ................................171
7.2 Gekoppcltc Schwingungen..........................................173
7.3 Aufgaben............................................................181
8 Nichfclineare Dynamik und Chaos 183
8.1 Numerische Losung von DifFerentialgleichungen..................183
8.2 Der Duffing-Oszillator..............................................186
8.3 Die logistische Dilferentialgleichung................................192
8.4 Iterierte Abbildungen ..............................................195
8.5 Frakt.ale..............................................................^06
8.6 Aufgaben............................................................^11
INHALTSVERZEICHNIS
viii
213
9 Vcktoranalysis II
o i(3
9.1 Integrate iiber Vektorfelder ....................
°16
9.1.1 Kurvenmtegralc.......................
9.1.2 Wegunabhangigkeit von Kurvenintegralen I....... 222
9.1.3 Fladicn- und Volumenintograle.............. 22a
9.1.4 Oberttadicnintcgrale....................
9.1.3 Fuuktionaldetoriniuantcn*................. 237
9.2 Jntegraldarstellung von Divergenz und Rotation......... 239
9.2,1 Die Divergenz als Quellenfeld............... 239
9/2.2 Die Rotation als Wirbolfeld................ 241
9.3 Integralsatze von Gaull und Stokes................ 243
9.3.1 Der Satz von GauG..................... 244
9.3/2 Der Satz von Stokes.................... 245
9.4 Knunndinige Koordinaten II ................... 24G
9.5 Elementare Anwenduugcn..................... 250
9.5.1 Die Maxwell Gleidmngen................. 251
9.5.2 Die int egralc Form der Maxwell-Gleidmngen...... 251
9.5.3 Der ZyUnderkondensator.................. 252
9.5.4 Die Kontiimitatsgleidiung................. 255
9.5.5 Wegunabhangigkeit von Kurvenintegralen II....... 25G
9.5.0 Der Zevlegnngssatz..................... 256
9.5.7 Die Poisson -Gleidvung................... 258
9.0 Aufgaben.............................. 258
10 Die Delta-Fnnktion 261
1(1.1 Elementare Delinil ion der Delta -Funktiou........................202
10.2 Figenseliaften der Delta-Fnnktion ................................265
10.3 Die dreidimensiouale Delta Funktion..............................2G9
10.4 lheorie der Distributionen*....................272
10.5 Aufgaben........................9~r
INHALTSVERZEICHNIS ix
11 Partielle Differentialgleichungen 277
11.1 Die Poisson-Gleichung..............................................278
11.1.1 Die Poisson-Gleichung in der Elcktrostatik..............279
11.1.2 Die Multipolcntwicklung....................................283
11.1.3 Die Poisson-Gleichung in der Magnetostatik..............285
11.2 Poisson-Gleichung: Numcrische Losung..........................287
11.2.1 Die eindimcnsionale Poisson-Gleichung ..................288
11.2.2 Die zweidimensionale Poisson-Gleichung..................292
11.3 Die Diffusionsgleichung..............................................294
11.3.1 Die eindimensionale Diffusionsgleichung..................295
11.3.2 Numerische Losung der Diffusionsgleichung..............300
11.3.3 Diffusion und Random Walk ..............................302
11.4 Die Wcllengleichung................................................303
11.4.1* Eindimensionale Wellen....................................304
11.4.2 Die zwcidimcnsionale Wcllengleichung....................313
11.4.3 Dreidimensionale ebene Wellen............................317
11.5 Aufgaben............................................................318
12 Orthogonale Funktionen 321
12.1 Orthogonale Polynomo..............................................322
12.2 Fourier-Reihen......................................................329
12.2.1 Beispiele fiir Fourier-Reihen................................331
12.2.2 Allgemeine Eigenschaftcn der Fourier-Reihen............335
12.3 Fourier-Transformationen..........................................338
12.3.1 Eigenschaften der Fourier-Transformation................339
12.3.2 Beispiele fur Fourier-Transformationen....................340
12.3.3 Die Unseharferelation*......................................343
12.3.4 Anwendungeii der Fourier-Transformation................345
12.4 Aufgaben............................................................349
INI IA LTS VER ZEICHNIS
13 Wahrscheinlichkeit und Entropie* 351
13.1 Walirsclieinlichkeit..............................................351
13.1.1 Grundlagen tier Walirsclicinlichkeitstheorie......352
13.1.2 Walirsclieinlichkeit und Ilaufigkeit ..........358
13.2 Entropie.......... ... . ........ • 359
13.2.1 Em MaB fur die Unbestimmtheit ..........360
13.2.2 Eigonsehaften von S(p ,... ,pn):............364
13.3 Maximale Unbestinnntlieit........................................365
13.4 Die Bolt/maim- Verteilung..........................................369
13.4.1 Der harmonisehe Oszillator................................370
13.4.2 Magnetisierung..................... . 371
13.4.3 Das ideale eiiiatumige Gas................372
13.5 Entropie und Irreversibilitat, ...... ..........374
13.6 Aufgaben..........................................................375
Anliang
A Der Vektorraum der Polynome*
B Komplexe Zalilen
B.l Konjugiert komplexe Zahlen . .
B.2 Die Polardarstellung......
B.3 Komplexe Wurzeln.......
B.4 Fundamentalsatz der Algebra .
C Kegclschmttc
C.l Die Ellipse............
C.2 Die Uyperbel..........
C.3 Die Parabel...........
C.4 Quadratisehe Formen......
C.5 Die Familie der Kogelsehnitte .
Ldsungen der Ubungsaufgaben
Index
377
377
381
384
386
388
390
391
391
398
400
401
403
472
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