Didaktik der Bruchrechnung:
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Heidelberg [u.a.]
Spektrum, Akad. Verl.
2002
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| Series: | Mathematik Primar- und Sekundarstufe
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Einleitung 1
I
1 Einige Argumente gegen die Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen 6
1.1 Irrelevanz für das tägliche Leben................ 6
1.2 Relikt aus längst vergangenen Zeiten.............. 6
1.3 Bequeme Spielwiese für Lehrer ................. 7
1.4 Mehr Zeit für Dezimalbrüche.................. 7
1.5 Zwei Schreibweisen für Bruchzahlen?.............. 7
1.6 Gemeine Brüche - nur ein Selektionsinstrument?....... 7
1.7 Zusammenfassung........................ 7
2 Einige Argumente zur Notwendigkeit der Bruchrechnung mit ge¬
meinen Brüchen ............................ 8
2.1 Brüche und die anschauliche Fundierung der Dezimalbruch¬
rechnung ............................. 8
2.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Bruchrechnung?...... 10
2.3 Bruchrechnung und Gleichungslehre .............. 12
2.4 Zahlbereichserweiterung von N nach Q+............ 14
2.5 Bruchrechnung und Algebra................... 15
2.6 Resümee.............................. 16
3 Problembereiche/Konsequenzen - erste Hinweise........... 16
II
1 Das Größenkonzept .......................... 18
2 Das Äquivalenzklassenkonzept .................... 19
3 Das Gleichungskonzept ........................ 21
4 Das Operatorkonzept ......................... 23
5 Resümee ................................ 31
III
1 Zur Einführung der Bruchzahlen................... 33
1.1 Anschauliche Vorkenntnisse................... 33
1.2 Komplexität der Bruchzahlen.................. 34
1.2.1 Bruchzahlaspekte..................... 35
1.2.2 Schreibweisen....................... 38
1.2.3 Repräsentationsarten................... 39
1.3 Teil vom Ganzen - zwei Grundvorstellungen.......... 41
1.3.1 Teil eines Ganzen.....................41
1.3.2 Teil mehrerer Ganzer...................44
1.3.3 Gleichwertigkeit beider Grundvorstellungen.......47
1.3.4 Kenntnis beider Grundvorstellungen...........48
1.4 Repräsentant und Bruch.....................50
1.5 Benennung einer Größe durch verschiedene konkrete Brüche . 53
1.6 Übergang zu den Bruchzahlen..................53
Erweitern/Kürzen...........................57
2.1 Anschauliche Vorkenntnisse...................57
2.2 Anschauliche Wege zum Erweitern/Kürzen...........59
2.3 Erweitern - systematische Behandlung.............65
2.4 Kürzen - systematische Behandlung..............67
2.5 Problembereiche.........................70
Größenvergleich.............................72
3.1 Anschauliche Vorkenntnisse...................72
3.2 Anschauliche Wege zum Größenvergleich............74
3.3 Systematische Behandlung....................79
3.4 Problembereiche.........................81
3.5 Zahlenstrahl ...........................83
3.6 Vertiefung.............................84
Addition ................................88
4.1 Anschauliche Vorkenntnisse...................88
4.2 Anschauliche Wege zur Addition................89
4.3 Systematische Behandlung....................94
4.4 Gemischte Zahlen.........................98
4.5 Schwierigkeitsfaktoren......................99
4.6 Problembereiche.........................101
4.7 Vorbeugung/Therapie......................105
4.8 Vertiefung.............................108
Subtraktion...............................110
5.1 Anschauliche Vorkenntnisse...................HO
5.2 Anschauliche Wege zur Subtraktion...............
5.3 Systematische Behandlung....................114
5.4 Gemischte Zahlen.........................115
5.5 Schwierigkeitsfaktoren......................115
5.6 Problembereiche.........................116
5.7 Vorbeugung/Therapie......................118
5.8 Vertiefung.............................118
Multiplikation .............................119
6.1
6.2
6.3 Natürliche Zahl mal Bruch....................126
6.4 Bruch mal natürliche Zahl....................127
6.5 Bruch mal Bruch.........................129
6.5.1 Von-Ansatz........................129
6.5.2 Gleichungsketten .....................131
6.5.3 Flächeninhalt .......................133
6.5.4 Isomorphie.........................135
6.5.5 Bewertung.........................137
6.6 Problembereiche.........................140
6.7 Vorbeugung/Therapie......................146
6.8 Vertiefung.............................146
Division.................................149
7.1 Anschauliche Vorkenntnisse...................150
7.2 Anschauliche Wege zur Division.................152
7.3 Bruch durch natürliche Zahl...................158
7.4 Bruch durch Bruch/Natürliche Zahl durch Bruch.......159
7.4.1 Messen...........................159
7.4.2 Umkehroperation.....................161
7.4.3 Gleichungsketten .....................165
7.4.4 Doppelbrüche.......................167
7.4.5 Bewertung.........................167
7.5 Natürliche Zahl durch natürliche Zahl .............169
7.6 Problembereiche.........................170
7.7 Vorbeugung/Therapie......................175
7.8 Vertiefung.............................176
Brüche und natürliche Zahlen -
Gemeinsamkeiten und Unterschiede..................179
Problembereiche bei den gemeinen Brüchen - Zusammenfassung
und erste Konsequenzen........................181
9.1 Anschauliche Bruchvorstellungen................181
9.2 Zusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen . . 182
9.3 Verbreitete Fehlerrahmen....................183
9.4 Regelableitungen.........................184
9.5 Dominanz der syntaktischen Ebene...............184
9.6 Erste Konsequenzen.......................185
IV
1 Vorteile der Dezimalbrüche gegenüber den gemeinen Brüchen ... 188
2 Zur Einführung endlicher Dezimalbrüche...............1°
2.1 Einführung endlicher Dezimalbrüche..............189
2.2 Problembereiche.........................194
2.2.1 Unsere empirische Untersuchung - einige Hinweise . . ■ 195
2.2.2 Ergebnisse.........................196
2.3 Zusammenfassende Bemerkungen................200
3 Vergleichen endlicher Dezimalbrüche.................201
3.1 Erweitem/Kürzen/Einbetten..................201
3.1.1 Einführung.........................201
3.1.2 Problembereiche......................203
3.2 Größenvergleich..........................203
3.2.1 Einführung.........................203
3.2.2 Problembereiche......................205
3.2.3 Einige Konsequenzen...................209
4 Zusammenhang von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen . . . .211
4.1 Endliche Dezimalbrüche.....................211
4.1.1 Umformung durch Erweitern/Kürzen..........211
4.1.2 Umformung durch Division................212
4.2 Periodische Dezimalbrüche....................213
4.3 Systembrüche...........................217
4.4 Problembereiche.........................218
4.5 Gemeine Brüche und Dezimalbrüche - zwei
verschiedene Welten?.......................220
5 Runden/Überschlagsrechnungen/Näherungsrechnungen.......221
6 Addition ................................223
6.1 Einführung............................223
6.2 Problembereiche.........................227
7 Subtraktion...............................231
7.1 Einführung............................231
7.2 Problembereiche.........................232
8 Multiplikation .............................237
8.1 Multiplikation mit Zehnerpotenzen/Division durch Zehnerpo¬
tenzen ...............................237
8.1.1 Multiplikation mit Zehnerpotenzen ...........237
8.1.2 Division durch Zehnerpotenzen..............239
8.2 Multiplikation mit natürlichen Zahlen.............240
8.3 Multiplikation mit Dezimalbrüchen...............241
8.4 Problembereiche.........................244
8.5 Konsequenzen...........................250
9 Division.................................251
9.1 Division durch Zehnerpotenzen.................251
9.2 Division durch natürliche Zahlen................251
9.3 Division durch Dezimalbrüche..................254
9.4 Problembereiche.........................256
9.5 Konsequenzen...........................264
10 Vier Konzepte zur Behandlung der Dezimalbruchrechnung - ein
Rückblick................................265
10.1 Das Größenkonzept........................265
10.2 Das Zehnerbrüchekonzept....................266
10.3 Das Stellenwertkonzept .....................267
10.4 Das Kommaverschiebungskonzept................268
10.5 Dezimalbruchlehrgänge als Mischkonzepte...........269
11 Problembereiche bei den Dezimalbrüchen - Zusammenfassung und
erste Konsequenzen ..........................269
11.1 Dezimalbruchbegriff.......................270
11.2 Dezimalbruchrechnung......................271
11.3 Fehlerstrategien - einige Bemerkungen.............272
11.4 Regelkenntnis und Regelbegründung..............272
11.5 Vorbeugung und Therapie....................273
11.6 Einige offene Fragen.......................273
V
1 Standardweg und Probleme der gegenwärtigen
Bruchrechenlehrgänge.........................275
2 Anschauliche Fundierung des Bruchzahlbegriffes in Klasse 5 .... 277
3 Anschauliche Fundierung einfacher Rechenoperationen in Klasse 5 . 279
4 Der systematische Bruchrechenlehrgang in Klasse 6.........281
4.1 Parallelbehandlung........................281
4.2 Vielfältige Zielsetzungen bei den Rechenoperationen .....282
4.3 Sorgfältige Ableitung von Rechenregeln.............282
4.4 Wiederholter Rückgriff auf anschauliche Grundlagen.....284
4.5 Kenntnis typischer Problembereiche ..............285
5 Schlussbemerkung...........................287
Anhang 289
1 Diagnostische Tests ..........................289
1.1 Anschauliche Vorkenntnisse in der Bruchrechnung.......289
1.1.1
Teiltest
1.1.2 Anschauliche Vorkenntnisse in der Bruchrechnung -
Teiltest
1.2 Diagnostischer Test zu den gemeinen Brüchen.........299
1.3 Diagnostischer Test zu den Dezimalbrüchen..........299
2 Zur mathematischen Fundierung der Bruchrechnung........300
Literaturverzeichnis 301
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