Einführung in partielle Differentialgleichungen: ein numerischer Zugang
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Berlin [u.a.]
Springer
2002
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ASLAK TVEITO RAGNAR WINTHER
EINFUEHRUNG
IN
PARTIELLE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
EIN NUMERISCHER ZUGANG
UEBERSETZT VON HANNA PEYWAND KIANI
SPRINGER
INHALTSVERZEICHNIS
1
DAS
PROBLEMFELD
1
1.1
WAS
IST
EINE DIFFERENTIALGLEICHUNG?
1
1.1.1 KONZEPTE
2
1.2
DIE LOESUNG
UND
IHRE EIGENSCHAFTEN
4
1.2.1 EINE GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNG
4
1.3
EINE NUMERISCHE METHODE
7
1.4
CAUCHY PROBLEM
10
1.4.1 HOMOGENE GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG
10
1.4.2 INHOMOGENE GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG
13
1.4.3 DIE WELLENGLEICHUNG
15
1.4.4 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG
17
1.5
UEBUNGSAUFGABEN
20
1.6
PROJEKTE
28
2 ZWEIPUNKT-RANDWERTAUFGABEN
39
2.1 DIE POISSON GLEICHUNG
IN
EINER RAUMDIMENSION
40
2.1.1 DIE GREENSCHE FUNKTION
42
2.1.2 GLATTHEITSEIGENSCHAFTEN
DER
LOESUNG
43
2.1.3
EIN
MAXIMUMPRINZIP
44
2.2 EINE FINITE DIFFERENZENAPPROXIMATION
46
2.2.1 TAYLOR REIHEN
46
2.2.2
EIN
SYSTEM ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN
47
2.2.3
DAS
GAUSSSCHE ELIMINATIONSVERFAHREN
FUER
TRIDIAGONALE
LINEARE SYSTEME
50
2.2.4 DIAGONAL DOMINANTE MATRIZEN
53
2.2.5 POSITIV DEFINITE MATRIZEN
55
2.3 KONTINUIERLICHE
UND
DISKRETE LOESUNGEN
56
2.3.1 DIFFERENZEN-
UND
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
57
2.3.2 SYMMETRIE
58
2.3.3 EINDEUTIGKEIT
61
2.3.4
EIN
MAXIMUMPRINZIP
FUER DAS
DISKRETE PROBLEM
61
2.3.5
KONVERGENZ
DER
DISKRETEN LOESUNGEN
63
2.4 EIGENWERTPROBLEME
65
2.4.1 DAS KONTINUIERLICHE EIGENWERTPROBLEM
65
XII
INHALTSVERZEICHNIS
2.4.2 DAS DISKRETE EIGENWERTPROBLEM 68
2.5 UEBUNGSAUFGABEN 71
2.6 PROJEKTE 82
3 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 87
3.1 EIN KURZER UEBERBLICK 87
3.2 TRENNUNG DER VERAENDERLICHEN 90
3.3 DAS SUPERPOSITIONSPRINZIP 92
3.4 FOURIERKOEFFIZIENTEN 95
3.5 ANDERE RANDBEDINGUNGEN 97
3.6 DAS NEUMANN PROBLEM 98
3.6.1 DAS EIGENWERT-PROBLEM 99
3.6.2 PARTIKULAERE LOESUNGEN 100
3.6.3 EINE FORMALE LOESUNG 100
3.7 ENERGIEARGUMENTE 102
3.8 DIFFERENTIATION VON INTEGRALEN 106
3.9 UEBUNGSAUFGABEN 107
3.10 PROJEKTE 113
4 FINITE DIFFERENZEN FUER DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 117
4.1 EIN EXPLIZITES SCHEMA 119
4.2 FOURIERANALYSE DER NUMERISCHEN NAEHERUNG 122
4.2.1 PARTIKULAERE LOESUNGEN 123
4.2.2 VERGLEICH DER ANALYTISCHEN UND DISKRETEN LOESUNG .
.
.
. 127
4.2.3
STABILITAETSBETRACHTUNGEN 129
4.2.4 DIE GENAUIGKEIT DER APPROXIMATION 130
4.2.5 ZUSAMMENFASSUNG DES VERGLEICHES 131
4.3 VON NEUMANNSCHE STABILITAETSANALYSE 132
4.3.1 KONTINUIERLICHE UND DISKRETE SPEZIELLE LOESUNGEN 132
4.3.2
BEISPIELE 134
4.3.3 EIN NICHTLINEARES PROBLEM 136
4.4 EIN IMPLIZITES SCHEMA 139
4.4.1 STABILITAETSANALYSE 143
4.5 ENERGIEARGUMENTE UND NUMERISCHE STABILITAET 145
4.6 UEBUNGSAUFGABEN 147
5 DIE WELLENGLEICHUNG 159
5.1 TRENNUNG DER VERAENDERLICHEN 160
5.2 EINDEUTIGKEIT UND ENERGIEARGUMENTE 162
5.3 EINE FINITE DIFFERENZENAPPROXIMATION 165
5.3.1 STABILITAETSANALYSE 167
5.4 UEBUNGSAUFGABEN 170
INHALTSVERZEICHNIS
XIII
6 MAXIMUMPRINZIPIEN 175
6.1 EINE ZWEIPUNKT-RANDWERTAUFGABE 175
6.2 DIE LINEARE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 178
6.2.1 DER KONTINUIERLICHE FALL 180
6.2.2 EINDEUTIGKEIT UND STABILITAET 183
6.2.3 DAS EXPLIZITE FINITE DIFFERENZENSCHEMA 183
6.2.4 DAS IMPLIZITE FINITE DIFFERENZENSCHEMA 186
6.3 DIE NICHTLINEARE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 187
6.3.1 DER KONTINUIERLICHE FALL 188
6.3.2 EIN EXPLIZITES FINITES DIFFERENZENSCHEMA 189
6.4 HARMONISCHE FUNKTIONEN 191
6.4.1 MAXIMUMPRINZIPIEN FUER HARMONISCHE FUNKTIONEN 193
6.5
DISKRETE HARMONISCHE FUNKTIONEN 195
6.6 UEBUNGSAUFGABEN 200
7 DIE POISSON-GLEICHUNG IM ZWEIDIMENSIONALEN RAUM 207
7.1
RECHTECKIGE GEBIETE 207
7.2 POLARKOORDINATEN 210
7.2.1 DIE KREISSCHEIBE 211
7.2.2 EIN KREISSEKTOR 214
7.2.3 EINE SINGULARITAET 215
7.3 ANWENDUNGEN DES GAUSSSCHEN INTEGRALSATZES 215
7.4 DIE MITTELWERTEIGENSCHAFT HARMONISCHER FUNKTIONEN 220
7.5
EINE FINITE DIFFERENZENAPPROXIMATION 223
7.5.1 DER FUENF-PUNKTE-DIFFERENZENSTERN 223
7.5.2 EINE FEHLERSCHRANKE 226
7.6 GAUSSSCHE ELIMINATION FUER ALLGEMEINE SYSTEME 228
7.6.1 OBERE DREIECKSMATRIZEN 228
7.6.2 ALLGEMEINE SYSTEME 229
7.6.3 BANDSYSTEME 231
7.6.4 POSITIV DEFINITE SYSTEME 233
7.7 UEBUNGSAUFGABEN 235
8 ORTHOGONALITAET UND ALLGEMEINE FOURIERREIHEN 243
8.1 DIE VOLLE FOURIERREIHE 244
8.1.1 GERADE UND UNGERADE FUNKTIONEN 247
8.1.2 DIFFERENTIATION VON FOURIERREIHEN 251
8.1.3 DIE KOMPLEXE DARSTELLUNG 253
8.1.4 SKALIERUNG 254
8.2 RANDWERTAUFGABEN UND ORTHOGONALE FUNKTIONEN 255
8.2.1
ANDERE RANDBEDINGUNGSTYPEN 255
8.2.2 STURM-LIOUVILLE PROBLEME 259
8.3 DER ABSTAND IM QUADRATISCHEN MITTEL 262
8.4 ALLGEMEINE FOURIERREIHEN 265
8.5 EINE POINCARE UNGLEICHUNG 271
8.6 UEBUNGSAUFGABEN 274
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
9 KONVERGENZ VON FOURIERREIHEN 285
9.1 VERSCHIEDENE DEFINITIONEN DER KONVERGENZ 285
9.2 PUNKTWEISE KONVERGENZ 290
9.3 GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 296
9.4 KONVERGENZ IM QUADRATISCHEN MITTEL 300
9.5 GLATTHEIT UND ABKLINGVERHALTEN DER
FOURIERKOEFFIZIENTEN
302
9.6 UEBUNGSAUFGABEN 307
10 NOCH EINMAL DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 315
10.1 KOMPATIBILITAETSBEDINGUNGEN 315
10.2 EINE MATHEMATISCHE RECHTFERTIGUNG DER FOURIER-METHODE .
.
.
. 321
10.2.1
DIE GLAETTUNGSEIGENSCHAFT DER GLEICHUNG 321
10.2.2 DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG 323
10.2.3 DIE ANFANGSDATEN 325
10.2.4 GLATTE UND KOMPATIBLE ANFANGSDATEN 327
10.3 KONVERGENZ VON FINITEN DIFFERENZENAPPROXIMATIONEN 329
10.4
UEBUNGSAUFGABEN 333
11 REAKTIONS-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN 339
11.1 DAS LOGISTISCHE MODELL DES BEVOELKERUNGSWACHSTUMS 339
11.1.1
EIN NUMERISCHES VERFAHREN FUER DIE LOGISTISCHE GLEICHUNG . 341
11.2
DIE GLEICHUNG VON FISHER 343
11.3 EIN FINITES DIFFERENZENSCHEMA FUER DIE
GLEICHUNG
VON FISHER 344
11.4 EIN INVARIANTER BEREICH 345
11.5 DIE ASYMPTOTISCHE LOESUNG 348
11.6 ENERGIEARGUMENTE 351
11.6.1 EIN INVARIANTER BEREICH 352
11.6.2 KONVERGENZ GEGEN DEN GLEICHGEWICHTSZUSTAND 353
11.6.3
ABKLINGEN DER ABLEITUNGEN 354
11.7 EXPLOSION DER LOESUNG 356
11.8 UEBUNGSAUFGABEN 359
11.9 PROJEKTE 362
12 ANWENDUNGEN DER FOURIERTRANSFORMATION 367
12.1 DIE FOURIERTRANSFORMATION 368
12.2 EIGENSCHAFTEN DER FOURIERTRANSFORMATION 370
12.3 DIE INVERSE FOURIERTRANSFORMATION 374
12.4 DIE FALTUNG 377
12.5 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 379
12.5.1 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 379
12.5.2 DIE LAPLACE-GLEICHUNG IN DER HALBEBENE 382
12.6 UEBUNGSAUFGABEN 384
LITERATURVERZEICHNIS 387
INDEX 389 |
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